珍珠層復合堆疊材料中彈性波傳播特性研究

黃 佳，尹 進，張 盛，陳飆松，張洪武

（大連理工大學工業(yè)裝備結構分析國家重點實驗室運載工程與力學學部工程力學系，大連 116024）

珍珠層復合堆疊材料中彈性波傳播特性研究

黃 佳，尹 進，張 盛，陳飆松，張洪武

（大連理工大學工業(yè)裝備結構分析國家重點實驗室運載工程與力學學部工程力學系，大連 116024）

通過建立珍珠層復合堆疊材料的拉伸剪切鏈模型和二維有限元模型，利用多重多級子結構方法研究聲子晶體材料帶隙特性。結果表明，珍珠層材料是一種具有較低及較寬一階帶隙且多個高頻平直帶的Bragg型聲子晶體，這意味著此材料會導致非常寬的頻率衰減區(qū)出現(xiàn)，并且其結構與帶隙產生機理均不同于局域共振型聲子晶體，所以不會出現(xiàn)類Fano干涉現(xiàn)象，更利于實現(xiàn)低頻減振的目的。傳輸特性計算驗證了多重多級子結構帶隙計算結果的正確性和有效性。進一步研究表明帶隙特性主要取決于硬材料（“Brick”）的密度以及軟材料（“Mortar”）的彈性模量，珍珠層材料的一階帶隙受到這兩個材料參數的耦合作用，適當匹配兩種材料參數值可以獲得更大的相對帶隙，也可以進行帶隙調控，為設計新型減振隔振材料提供指導。

珍珠層；聲子晶體；多重多級子結構；低頻減振；帶隙

大多數天然（或生物）材料都是由復雜的復合材料構成的，其成分多為較弱的材料。但經過十億年的進化，由這些力學性能較弱的材料構成的復雜生物材料卻往往具有出色的力學特性。這引起了很多材料學者和力學這極大的興趣。Meyers等［1］描述了多種生物材料的特性、層級結構、多功能性以及自愈合自組織能力，主要力學特性以及材料結構和力學特性之間的關系，并對生物啟發(fā)性材料和結構進行了探討。Gao等［2］的研究表明納米復合材料就是自然界中的一般機械結構，其礦物質粒子的納米尺度使其具有最優(yōu)的強度以及對于缺陷的最強的魯棒性。廣泛用于工程中的缺陷處應力集中的概念對納米材料不再適用。貝殼主要成分是納米復合材料，其具有出色的韌性，剛度特性以及缺陷不敏感等力學性能，因而稱為近年來生物材料研究的一個熱點。Jackson等［3－4］的研究證實海洋貝類的殼有很好的微觀結構組織，其由交錯排列的礦物質薄片以及將其粘結在一起的蛋白質層構成，礦物質薄片的長度尺寸一般在100～500nm之間。Tushtev等［5］分析發(fā)現(xiàn)珍珠層材料的有機層在復合材料變形過程中不可壓縮的性質使整體復合材料具有很大的剛度，礦物質薄片則在材料發(fā)生剪切及橫向拉伸時使整體具有很大的剛度。Lin等［6］通過力學拉伸和剪切試驗測試了某種珍珠層材料層間界面的破壞，并得到三種破壞機制。Yao等［7］計算了珍珠層復合材料的應力狀態(tài)并發(fā)現(xiàn)該類材料對裂紋缺陷導致的應力集中以及裂紋尺寸的影響有自抑制作用，并指出該特性是由其“Brick and Mortar（瓦磚加水泥）”結構以及瓦磚（礦物質）和水泥（蛋白質）相力學特性的結合導致的。然而珍珠層材料的振動特性卻少有人問津。

周期性復合材料或結構可以阻擋某些頻率的彈性波、聲波或電磁波的傳播，這種現(xiàn)象就稱為帶隙（Band gap）或禁帶（Stop band）［8］。阻擋彈性波或聲波傳播的材料就稱為聲子晶體。該周期性復合材料或結構的最小單元稱為單胞。聲子晶體的這種帶隙特性使得其在減振、降噪、聲學器件等［9］領域都有著潛在的廣闊應用前景。其中局域共振型聲子晶體［10］實現(xiàn)了“小尺寸控制大波長”，為聲子晶體在低頻減振降噪領域的應用奠定了理論基礎，但由于這種類型的聲子晶體具有類Fano干涉現(xiàn)象［11－12］（響應譜有反對稱共振峰），所以帶隙內彈性波的衰減較小，而且?guī)秾挾纫话爿^小。珍珠層材料具有一定的周期結構，但目前尚未有學者對其帶隙特性進行研究。

鑒于此，本文建立珍珠層材料（Brick and Mortar）拉伸剪切鏈模型和有限元模型，并出于計算效率的考慮，借助一種高效的多重多級子結構方法［13－15］計算其帶隙特性。由于聲子晶體單胞的內部剛度陣不隨波矢變化，所以通過多重多級子結構的方法將其凝聚到Bloch邊界上會大大減小計算規(guī)模。同時進一步分析珍珠層材料的傳輸特性以及材料參數對帶隙特性的影響。

1 珍珠層材料拉伸剪切鏈模型

關于Brick and Mortar珍珠層復合堆疊材料，研究者提出很多理論和本構模型來考查材料的應力分布。而本文主要關心這種材料波傳播和帶隙特性，采用一種拉伸剪切鏈模型［2］，并考慮材料的慣性因素，即Mortar主要發(fā)生剪切變形，由于模型具有周期性和對稱性，可以采用Bloch理論在一個單胞內進行分析，如圖1所示，單胞由兩塊bricks（被標記為＃1和＃2）中間夾著一層mortar構成。

假設mortar為彈性材料，剪切模量為GMO，bricks也是彈性材料，楊氏模量為EBR，材料密度為ρ，忽略

mortar的慣性效應。

圖1 珍珠層材料的拉伸剪切鏈模型圖Fig.1 The tension-shearmodel of nacreousmaterial

在頻域上建立關于brick＃1和brick＃2的波動方程。

波矢可寫成實部與虛部之和的形式，k＝kRe＋i klm。

模型的幾何尺寸設定為：hMO＝5 mm，hBR＝10 mm，l＝30 mm。設定Brick部分材料為鋁，Mortar部分材料為硅橡膠，材料參數分別為：EBR＝70 GPa，ρ＝2 700 kg/m3，GMD＝40 kPa。

對于任意給定的圓頻率ω，當波矢虛部klm≠0時，ω都位于帶隙的頻率范圍內；當波矢虛部klm＝0時，ω都位于通帶的頻率范圍內。表征聲子晶體能帶結構的頻散關系如圖2（a）所示，其描述了波矢實部與頻率之間的關系。帶隙內的衰減特性如圖2（b）所示，其描述了波矢虛部與頻率之間的關系。同時，波矢虛部的絕對值越大，彈性波的衰減量越大。

圖2 波矢與頻率關系圖Fig.2 Relations between wave vectors and frequencies

從能帶結構圖可以發(fā)現(xiàn)一些和常規(guī)聲子晶體不同的有意思的現(xiàn)象，一維珍珠層堆疊材料模型會出現(xiàn)一個非常寬的帶隙范圍174 Hz～42 431.33 Hz，寬的程度幾乎使所有頻率范圍都處于禁帶內，從通帶的放大圖可以看出，這種模型的兩個通帶頻率范圍都較小，一個是0 Hz～173 Hz，另一個是42 431.34 Hz～42 431.55 Hz，這意味著一階帶隙的下邊界會處在很低的頻率位置。從波矢的虛部與頻率的關系同樣可以看出，這種模型幾乎在所有頻率范圍都會使彈性波衰減，只在很小的通帶頻率范圍內不衰減，而且在一階帶隙范圍內，各個頻率的衰減程度都很強，klml的最大可達到11.14，平均可達到9.933。二階帶隙范圍內，各個頻率的衰減程度會更強。這正是由于brick＃1的始端和brick＃2的末端自由，使得彈性波在珍珠層材料中產生一種特殊的拉伸剪切鏈運動，不同于在單一材料中的傳播方式，而且這種運動的波長較小，更容易通過小尺寸來控制。

2 珍珠層材料帶隙特性計算與分析

鑒于珍珠層復合堆疊材料具有優(yōu)良的力學性能，并在宏觀層面上能抑制應力集中效應，本文進一步研究彈性波在這種材料中的傳播特性?？紤]這種材料的二維頻散關系，同樣采用Brick and Mortar模型，幾何模型尺寸如圖3（a）所示，并用有限元法［16］進行計算，Brick和Mortar的材料參數選取如表1所示。

圖3 珍珠層復合堆疊材料模型Fig.3 Themodel of stacking compositematerial like nacre

表1 珍珠層兩相材料參數Tab.1 Two-phase parameters of nacre-likematerial

為了提高計算效率并減少內存用量，本文采用多重多級子結構方法［17－18］將模型剖分為四個基本子結構，如圖3（b）所示，采用Matlab語言以及Core i7－2600 CPU＠3.40GHz計算環(huán)境，考查78個簡約波矢點以及前20階頻率，整體有限元耗時22.8 s，內存用量8.42 MB，而多重多級子結構耗時14.4 s，內存用量5.13 MB，而且問題規(guī)模越大計算效率相對越高，為進一步研究材料參數對帶隙的影響提供便利。針對子空間迭代法，其基本計算流程為：

（1）逆迭代策略

其中：上角標t為迭代次數；［K］為聲子晶體單胞的剛度陣；｛y｝t為t時的慣性力向量；｛u＾｝t＋1為t＋1時的位移自由度向量。

通過子結構周游樹技術逐層凝聚并累加，可得到頂層子結構（Bloch邊界自由度）的等效靜力平衡方程，

如果上述計算收斂，則迭代停止，否則繼續(xù)計算方程（16）。在第一簡約布里淵區(qū)的邊界遍歷簡約波矢點即可得到能帶結構。

考查這種材料的平面應力問題和平面應變問題，其中平面應力問題的厚度選取為1 cm。

平面應力問題和平面應變問題的帶隙計算結果如圖4所示，從結果可以看出，多重多級子結構具有和整體有限元相同的精度，對于平面應力問題，會出現(xiàn)非常寬的一階帶隙，且?guī)兜南陆珙l率很低，并且還會出現(xiàn)頻率更低的ΓX方向帶隙（156.48 Hz～279.64 Hz），和剪切鏈模型的傳遞矩陣法計算結果一致，這正是由于邊界和內部的空腔使得這種材料產生了拉伸剪切鏈運動而導致的，但對于平面應變問題，一階帶隙會變得很窄，帶隙的下界頻率也相比稍高一些，這說明這種復合堆疊材料的厚度對其一階帶隙的寬度和下界頻率影響很大。但是兩種模型的頻散關系也有相似之處，即較高階的頻散曲線會出現(xiàn)多條平直帶，從而出現(xiàn)多個較連續(xù)的帶隙，這意味著這種材料會出現(xiàn)多個彈性波衰減區(qū)，并且這些頻率區(qū)域相隔不遠，甚至彼此連續(xù)，可以預見這會導致非常寬的頻率衰減區(qū)出現(xiàn)。

另外，對于平面應力問題，其一階帶隙的結果也會得到非常有趣的結論，定義相對帶隙的概念，

圖4 珍珠層復合堆疊材料二維頻散關系Fig.4 Two-dimensional dispersion relation of stacking compositematerial like nacre

其中：fupband為帶隙上邊界的頻率，fdownband為帶隙下邊界的頻率。

可以發(fā)現(xiàn)其相對帶隙為0.486，這意味著一階帶隙不僅很寬，而且其中心頻率還很低（中心頻率為398.87 Hz），這么高的相對帶隙，往往見于局域共振型聲子晶體（經典局域共振型聲子晶體［10］相對帶隙為0.472 2），但考查其帶隙中心頻率的簡約頻率即可知道，這種材料并不是局域共振型聲子晶體，而是傳統(tǒng)Bragg散射型聲子晶體，如果取Brick的縱波波速，簡約頻率為0.004 7，而取Mortar的縱波波速，簡約頻率為1.22，由于Brick較剛，而Mortar較柔，所以這種材料是通過Mortar的剪切運動傳遞彈性波的。

另外，傳統(tǒng)的珍珠層復合材料的尺寸一般在納米尺度，本文設計材料結構為厘米尺度，主要是為產生百赫茲左右的工程振動低頻帶隙，目的是為工程設計新型減震材料提供一種思路和參考，而且這種尺度材料有可能更容易制造加工和使用。

3 珍珠層材料傳輸特性分析

圖5 珍珠層材料平面應力問題位移傳輸特性模型Fig.5 Displacement transmission characteristic model of nacre-likematerial in plane stress

進一步研究珍珠層復合堆疊材料的傳輸特性，對帶隙結果進行驗證和補充，采用Nastran有限元軟件進行分析，采用5×8個單胞的有限周期結構。針對平面應力問題、平面應變問題以及有限厚度7 cm的三維有限元模型考查x方向（水平）以及y方向（垂直）的位移傳輸特性，如圖5所示，即輸出端位移響應除以輸入端位移響應。通常響應曲線以對數形式描述。

從圖6的傳輸特性曲線可以發(fā)現(xiàn)，對于平面應力問題，確實出現(xiàn)很寬頻率的衰減區(qū)（水平方向高于193.3 Hz為衰減區(qū)，垂直方向高于306.7 Hz為衰減區(qū)），并且和帶隙得到的結果一致（平面應力問題的一階帶隙范圍為301.947 2 Hz～495.792 8 Hz），從306.7 Hz以后的高頻段基本都為衰減區(qū)（水平方向的衰減區(qū)域還受方向帶隙的影響），只有一些態(tài)密度較大的頻率區(qū)域沒有衰減，并且這種衰減并沒有出現(xiàn)局域共振的類Fano干涉現(xiàn)象，而且此材料的晶格常數和經典局域共振型聲子晶體［10］相差不多。平面應變問題的結果和有限厚度的三維模型相近，水平方向具有和平面應力問題相似的衰減區(qū)，但垂直方向的第一衰減區(qū)較窄，下界也較高，都和帶隙得到的結果一致（平面應變問題的一階帶隙范圍為522.92 Hz～626.098 Hz）?？梢钥闯?，這種材料不同于彈性波在單一材料中的傳播方式，主要以mortar的剪切鏈運動為主，而這種運動的波長較小，更容易通過小尺寸來控制，這些都更有利于低頻減振隔振，防噪的應用實現(xiàn)。

圖6 珍珠層材料位移傳輸特性曲線Fig.6 Curves of displacement transmisson characteristic with nacre－likematerial

圖7 珍珠層材料特征點響應云圖Fig.7 Response cloud of feature pointswith nacre-likematerial

另外，100 Hz處為低頻非衰減區(qū)，700 Hz處為衰減區(qū)域，980 Hz處為態(tài)密度較大的非衰減區(qū)，從圖7的頻率響應云圖可以看出，彈性波在Mortar中的傳播形態(tài)以及彈性波在帶隙內被抑制的傳播形態(tài)，也進一步驗證了上節(jié)得出的結論。

4 材料參數對帶隙特性的影響

針對珍珠層材料的平面應力問題，考查Brick and Mortar兩相模型的四種材料參數對一階帶隙的影響，分別是Brick的彈性模量以及密度，Mortar的彈性模量和泊松比，參數的考查范圍如表2所示。

表2 兩相模型四種材料參數考查范圍Tab.2 The range of parameters of fou r materialswith two-phasemodel

首先分別考查Brick的彈性模量以及Mortar的泊松比對一階帶隙的影響，結果如圖8所示。

從帶隙的計算結果可以發(fā)現(xiàn)，Brick的彈性模量對一階帶隙幾乎沒有影響，而隨著Mortar的泊松比越大，一階帶隙也越窄，但是這種變化趨勢是很微小的，也就是說這兩組材料參數基本不對一階帶隙產生影響。

而后綜合考查Brick的密度以及Mortar的彈性模量對一階帶隙的影響，結果如圖9、圖10所示。

從計算結果可以看出，Brick的密度以及Mortar的彈性模量對一階帶隙的影響較大，兩組材料參數對帶隙寬度的影響并不是單調的，會出現(xiàn)峰值，當Brick的密度為5 000 kg/m3，Mortar的彈性模量為40 MPa時，一階帶隙寬度最寬為4 377 Hz。而當Mortar的彈性模量很小時，一階帶隙的下邊界都會很低，此時Brick密度的影響并不大。如果為了達到一階帶隙既寬又低的目的，可以考查相對帶隙這個指標，從圖10可以看出，當Brick的密度很大，而Mortar的彈性模量很小時，會達到最大的相對帶隙。

圖8 Brick彈性模量和Mortar泊松比對帶隙的影響Fig.8 Affect on band gap of elastic modulus of Brick and Poisson’s ratio of Mortar

圖9 Brick密度以及Mortar彈性模量對帶隙的影響Fig.9 Affect on band gap of density of Brick and elastic modulus of Mortar

圖10 Brick密度以及Mortar彈性模量對相對帶隙的影響Fig.10 Affect on relative band gap of density of Brick and elastic modulus of Mortar

5 結 論

本文通過對帶隙特性分析，傳輸特性分析以及材料參數對帶隙特性影響的分析，可以得到以下結論：

（1）珍珠層復合堆疊材料是一種新型的Bragg型聲子晶體，具有較寬較低頻率的帶隙，相對帶隙較大。并且這種帶隙內彈性波的衰減并沒有出現(xiàn)局域共振的類Fano干涉現(xiàn)象，而且當此材料的晶格常數和經典局域共振型聲子晶體相差不多時，也可以產生低頻帶隙，這是由于彈性波主要以mortar的剪切鏈運動為主，而這種運動的波長較小，更容易通過小尺寸來控制，這些都更有利于低頻減振隔振，防噪的應用實現(xiàn)；

（2）珍珠層復合堆疊材料可以產生很寬的彈性波頻率衰減區(qū)（超出一階帶隙頻率范圍），這和其豐富的帶隙結構有關，其帶隙結構較高階的頻散曲線會出現(xiàn)多條平直帶，從而具有多個較連續(xù)的帶隙，這種特性可以更好的用于新型隔振器件或者低通濾波器的設計，也可用于構造超寬頻率范圍內的無振動加工環(huán)境。

綜上所述，珍珠層復合堆疊材料帶隙特性主要取決于硬材料（Brick）的密度以及軟材料（Mortar）的彈性模量，通過適當優(yōu)化兩種材料參數值可以對帶隙寬度，帶隙下邊界以及相對帶隙進行調控，從而能夠根據不同功能和不同用途指導設計出新型功能材料。

［1］Meyers MA，Chen P Y，Lin A Y M.Biological materials：structure andmechanical properties［J］.Progress in Materials Science，2008，53：1－206.

［2］Gao H J，Ji B H，Jager I L，et al.Materials become insensitive to flaws at nanoscale：Lessons from nature［J］.Proceedings of the National Academy of the Sciences of the United States of America，2003，100（10）：5597－5600.

［3］Currey J D.Mechanical properties of mother of pearl in tension［J］.Proc.R.Soc.London，1977，B196：443－463.

［4］Jackson A P，Vincent J F V，Turner R M.The mechanical design of nacre［J］.Proc.R.Soc.London，1988，B234：415－440.

［5］Tushtev K，Murck M，Grathwohl G.On the nature of the stiffness of nacre［J］.Material Science and Engineering，2008，28：1164－1172.

［6］Lin A Y M，Meyers MA.Interfacial shear strength in abalone nacre［J］.Journal of Mechanical Behavior of Biomedical Materials，2009，2：607－612.

［7］Yao H M，Song Z G，Xu Z P，et al.Cracks fail to intensify stress in nacreous composites［J］.Composites Science and Technology，2013，81：24－29.

［8］郁殿龍.基于聲子晶體理論的梁板類周期結構振動帶隙特性研究［D］.長沙：國防科學技術大學，2006.

［9］溫激鴻，王剛，郁殿龍，等.聲子晶體振動帶隙及減振特性研究［J］.中國科學E輯：技術科學，2007，37（9）：1126－1139.

WEN Ji-hong，WANG Gang，YU Dian-long，et al.Vibration attenuation and band gap characteristics of phononic crystals［J］.Science in China Series E：Technological Sciences，2007，37（9）：1126－1139.

［10］Lin Z Y，Zhang X X，Mao Y，et al.Locally resonant sonic materials［J］.Science，2000，289：1734－1736.

［11］Goffaux C J S，Lambin P.Comparison of the sound attenuation efficiency of locally resonantmaterials and elastic band-gap structures［J］.Physical Review B，2004，70：184302.

［12］Goffaux C J S，Yeyati A L，Lambin P，et al.Evidence of fano-like interference phenomena in locally resonantmaterials［J］.Physical Review Letters，2002，88：225502.

［13］鐘萬勰.一個多用途的結構分析程序JIGFEX（一）［J］.大連工學院學報，1977，17（3）：19－42.

ZHONG Wan-xie.A general-purpose program for structure analysis JIGFEX（Ⅰ）［J］.Journal of Dalian University of Technology，1977，17（3）：19－42.

［14］鐘萬勰.一個多用途的結構分析程序JIGFEX（二）［J］.大連工學院學報，1977，17（4）：14－35.

ZHONG Wan-xie.A general-purpose program for structure analysis JIGFEX（Ⅱ）［J］.Journal of Dalian University of Technology，1977，17（4）：14－35.

［15］Lu X，Lin JH，Zhong WX.Subspace iteration method in multi-level substructure systems［J］.Computers and Structures，1989，33（2）：459－462.

［16］Axmann W，Kuchment P.An Efficient finite elementmethod for computing spectra of photonic and acoustic band-gap materials：I［J］.Scalar Case.J.Comput.Phys，1999，150：468－481.

［17］喻永聲，林家浩.超大型結構特征值問題求解的多重子結構子空間迭代［J］.工程力學，2003，20（6）：149－156.

YU Yong-sheng，LIN Jia-hao.Multi-level substructuring based subspace iteration in the eigenvalue extraction for very large-scale structures［J］.Engineering Mechanics，2003，20（6）：149－156.

［18］張盛，方杰，張洪武，等.基于多重多級動力子結構的Lanczos算法［J］.振動與沖擊，2012，31（6）：26－30.

ZHANG Sheng，F(xiàn)ANG Jie，ZHANG Hong-wu，et al.Lanczos algorithm based onmulti-level dynamic substructures［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31（6）：26－30.

Propagation properties of elastic waves in a stacking com positematerial like nacre

HUANG Jia，YIN Jin，ZHANG Sheng，CHEN Biao-song，ZHANG Hong-wu
（State Key Lab.of Structural Analysis for Industrical Equipment，Dalian Univ.of Tech.，Dalian 116024，China）

A tension-shear chain model and a 2D finite elementmodel of nacre，a kind of stacking composite material，were built up，and its band gap was computed based on a multi-level substructure scheme.The results showed that the nacre-likematerial is a kind of Bragg phononic crystal holding a relatively wide first order band gap in a lower frequency domain and several flat bands in a higher frequency domain，so this kind ofmaterial can lead to the vibration reduction in a wide frequency range；moreover，this kind of material is more efficient to realize the goal of vibration reduction at low frequencies，because it doesn't have Fano-like interference phenomena，they happen in local areas resonant phononic crystals for the mechanism of their band gaps.Furthermore，the transmission characteristics were computed to verify the results of band gap.The further study demonstrated that band gap characteristics are mainly influenced by the density of the hard mineral component（“Brick”）and the elastic modulus of the soft component（“Mortar”），the first order band gap of nacre-like material subjects to the coupling influence of the two material parameters；an appropriate match of the two material parameters can gain a larger relative band gap，the band gap is adjustable aswell.The nacre-likematerial provided a guide for the design of new vibration reduction materials.

nacre；phononic crystals；multi-level substructure；low-frequency vibration reduction；band gap

TH113；O328

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.24.015

國家自然科學基金（11232003，91315302）；國家基礎性發(fā)展規(guī)劃項目（2010CB832704）；國家高技術研究發(fā)展計劃（2012AA050901）資助；中央高校基本科研業(yè)務費專項資金資助（DUT12ZD206）

2013－11－01 修改稿收到日期：2014－01－02

黃佳女，碩士生，1988年6月生

張盛男，博士，副教授，1976年1月生