多縫夫瑯禾費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)的計(jì)算機(jī)仿真

鄧 磊, 湯劍鋒

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多縫夫瑯禾費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)的計(jì)算機(jī)仿真

鄧 磊, 湯劍鋒*

(湖南農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 湖南 長沙, 410128)

為了更好解釋多縫夫瑯禾費(fèi)衍射的實(shí)質(zhì), 利用Maple軟件編程實(shí)現(xiàn)了對多縫夫瑯禾費(fèi)衍射的計(jì)算機(jī)仿真. 繪制出其相應(yīng)的衍射圖樣和光強(qiáng)分布曲線, 通過改變可調(diào)參數(shù)詳細(xì)分析了多縫夫瑯禾費(fèi)衍射的光強(qiáng)分布特點(diǎn)和缺級(jí)現(xiàn)象的影響因素. 研究結(jié)果表明仿真實(shí)驗(yàn)與實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致, 程序簡單, 仿真效果直觀形象, 方便教學(xué)應(yīng)用.

多縫夫瑯禾費(fèi)衍射; 缺級(jí); 惠更斯-菲涅耳原理; Maple軟件

光柵是現(xiàn)代科學(xué)研究和工程技術(shù)中進(jìn)行光譜分析的重要工具. 在光柵衍射的理論研究和教學(xué)過程中, 研究多縫夫瑯禾費(fèi)衍射的光學(xué)圖像及其與實(shí)驗(yàn)參數(shù)的關(guān)系十分重要. 由于目前很多教學(xué)過程中只簡單采用了文本投影式或手繪圖教學(xué), 對光學(xué)現(xiàn)象缺乏精確、形象和動(dòng)態(tài)的描述, 因此, 在課程講授中主要依靠教師與學(xué)生的理解和想象, 給教學(xué)帶來一系列困難.如果能用計(jì)算機(jī)根據(jù)實(shí)驗(yàn)參數(shù)適時(shí)仿真演示并生成光學(xué)圖像, 提供學(xué)生觀察光學(xué)現(xiàn)象的機(jī)會(huì), 則可提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣, 增強(qiáng)學(xué)生對光學(xué)規(guī)律的正確理解, 培養(yǎng)學(xué)生思維水平和創(chuàng)新能力, 達(dá)到事半功倍的效果[1—3].

根據(jù)惠更斯-菲涅耳原理[4], 多縫夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣是單縫夫瑯禾費(fèi)衍射和各狹縫發(fā)出光束的干涉的合成結(jié)果. 所有狹縫獨(dú)自產(chǎn)生的單縫衍射圖樣在屏幕上的位置相同, 形成彼此重疊的多幅單縫衍射圖樣. 但由于處在同一波面上的各狹縫發(fā)出的衍射光都是相干光, 在屏幕上會(huì)聚時(shí)會(huì)發(fā)生干涉[5]. 因此, 上述重疊的多幅單縫衍射圖樣中的光強(qiáng)就同時(shí)被相干疊加了, 導(dǎo)致了光強(qiáng)的重新分布, 呈現(xiàn)新的分布特點(diǎn). 本文直接從惠更斯-菲涅耳原理出發(fā), 運(yùn)用Maple的數(shù)值計(jì)算和圖形可視化功能[6], 主要討論多縫夫瑯禾費(fèi)衍射的光強(qiáng)分布特點(diǎn), 并繪制其光強(qiáng)分布曲線, 分析其缺級(jí)現(xiàn)象的成因及影響因素.

1 單縫夫瑯禾費(fèi)衍射的光強(qiáng)分布

如圖1所示, 設(shè)單縫的縫寬為, 單縫的方向垂直紙面, 單縫與屏幕的間離為. 以垂直于單縫方向?yàn)檩S, 屏幕上對稱中心點(diǎn)為軸的坐標(biāo)原點(diǎn), 屏幕上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為x. 當(dāng)一波長為的平行光束垂直于縫所在平面入射時(shí), 其波陣面與縫平面平行, 縫上的各點(diǎn)都是相干的子波波源. 根據(jù)惠更斯原理, 將縫分為個(gè)平行于縫方向的等寬窄帶次光源, 最下端的窄帶為記為第1個(gè), 依次向上分別記為第2, …,, …,個(gè). 則第個(gè)窄帶次光源的位置坐標(biāo)可記為:

其中= 1, 2, …,. 從第個(gè)窄帶次光源發(fā)出的次級(jí)子波到光屏上x處的光程為:

根據(jù)惠更斯-菲涅耳原理, 屏幕上任一點(diǎn)x處的光振動(dòng)是來自個(gè)窄帶次級(jí)子波的相干疊加, 可得屏幕上x處的復(fù)振幅和相對光強(qiáng)分別為[7]:

. (4)

2 多縫夫瑯禾費(fèi)衍射的光強(qiáng)分布

設(shè)透光縫數(shù)為, 縫寬為, 縫間不透光部分的寬度為, 則相鄰?fù)腹饪p上對應(yīng)點(diǎn)之間的距離為=+, 多縫衍射屏與屏幕的距離為. 多縫衍射與單縫衍射的最大區(qū)別在于多縫之間存在干涉, 多縫衍射是各縫的單縫衍射和縫間衍射光相干疊加的綜合結(jié)果.

由式(3)可得第個(gè)縫發(fā)射到屏幕上x處的衍射光的復(fù)振幅為:

屏幕上x處的總衍射效果是個(gè)縫的衍射光在該處的相干疊加, 計(jì)算可得多縫衍射的相對光強(qiáng)分布為:

式(6)中,

3 基于Maple的計(jì)算機(jī)仿真

3.1 多縫夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的形成分析

根據(jù)式(4)和式(6), 用Maple 13軟件編寫程序, 其中多縫夫瑯禾費(fèi)衍射仿真源程序見附錄1. 設(shè)多縫屏與屏幕的距離取為固定值= 1 000 mm, 實(shí)驗(yàn)參數(shù)= 5,= 0.003 mm,= 0.009 mm,= 432.8 nm. 首先, 只考慮各狹縫中出射光線相互間的干涉效果(即縫間干涉), 運(yùn)行仿真程序可得如圖2(a)所示的光強(qiáng)分布曲線. 由圖2(a)可知, 出現(xiàn)了兩類極大值, 光強(qiáng)明顯大的明紋稱為主極大明紋, 而光強(qiáng)遠(yuǎn)小于主極大的明紋稱為次級(jí)明紋. 各級(jí)主極大明紋對稱、等間距地分布在中央明條紋的兩側(cè), 各級(jí)主極大明紋的強(qiáng)度幾乎相等. 在兩個(gè)主極大明紋之間存在3條次級(jí)明紋.

圖2 多縫夫瑯禾費(fèi)衍射的形成分析

以上只考慮了縫間干涉, 并沒有考慮光通過每一條狹縫產(chǎn)生的衍射效應(yīng)對干涉條紋的影響. 事實(shí)上由于每一條狹縫衍射的作用, 經(jīng)多縫屏所形成的干涉明紋并不是等強(qiáng)度分布, 而是受到了單縫衍射光強(qiáng)分布的調(diào)制, 屏幕上的光強(qiáng)分布發(fā)生了重新分布. 從圖2中可看到, 多縫衍射主極大明紋的光強(qiáng)分布包絡(luò)線與單縫衍射光強(qiáng)分布曲線趨勢相同, 主極大和次級(jí)明紋的位置主要由縫間干涉決定.

為形象地說明多縫衍射現(xiàn)象的有關(guān)影響因素, 仿真實(shí)驗(yàn)參數(shù)取如下4種組合情況: ①= 5,= 0.001 mm,= 0.006 mm,= 432.8 nm; ②= 10,= 0.001 mm,= 0.006 mm,= 432.8 nm; ③= 10,= 0.001 mm,= 0.006 mm,= 632.8 nm; ④= 5,= 0.003 mm,= 0.012 mm,= 432.8 nm. 從圖3中顯示的結(jié)果可分析得到如下的結(jié)論: ①狹縫數(shù)目愈大, 則明條紋愈細(xì)窄, 次級(jí)明紋相對主極大明紋的強(qiáng)度愈小; ②狹縫數(shù)目愈大, 則兩個(gè)主極大之間的次級(jí)明紋數(shù)目愈多. 一般說來, 如果多縫屏有條狹縫, 則兩個(gè)主極大之間會(huì)有-1條暗紋, 有-2條次級(jí)明紋; ③在波長一定時(shí),愈小, 則相鄰兩個(gè)主極大明紋分得愈開; ④在一定時(shí), 波長愈大, 則相鄰兩個(gè)主極大明紋也分得愈開. 總之, 仿真結(jié)果與理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)論符合, 達(dá)到了很好的演示效果.

圖3 多縫衍射圖樣和光強(qiáng)分布曲線

3.2 多縫夫瑯禾費(fèi)衍射缺級(jí)現(xiàn)象分析

多縫夫瑯禾費(fèi)衍射仿真源程序中, 取實(shí)驗(yàn)參數(shù)= 5,= 0.003 mm,= 0.009 mm,= 432.8 nm,= 1 000 mm, 可得仿真結(jié)果如圖2(c)和圖4所示, 從該兩圖中可以看到明顯的主極大、次極大、中央明紋等現(xiàn)象, 按照縫間干涉在第3級(jí)、第6級(jí)和第9級(jí)等處原本應(yīng)該出現(xiàn)主極大明紋, 但由于單縫衍射的影響反而變成了暗紋, 這一現(xiàn)象稱為缺級(jí). 缺級(jí)的條件為:

由式(9)可得:

即當(dāng)與構(gòu)成整數(shù)比時(shí), 就會(huì)出現(xiàn)缺級(jí)現(xiàn)象. 式(10)即為缺級(jí)條件方程.

因此, 可由式(10)來判斷多縫衍射在哪個(gè)主極大處出現(xiàn)缺級(jí), 例如:

圖4 的多縫衍射圖樣和光強(qiáng)分布曲線

圖5 的多縫衍射圖樣和光強(qiáng)分布曲線

圖6 的多縫衍射圖樣和光強(qiáng)分布曲線

4 結(jié)論

本文從惠更斯-菲涅耳原理出發(fā), 得出了單縫和多縫夫瑯禾費(fèi)衍射的光強(qiáng)分布表達(dá)式. 在此基礎(chǔ)上, 利用Maple軟件的數(shù)值計(jì)算和圖形可視化功能, 模擬仿真了多縫夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的形成及其特點(diǎn). 結(jié)果表明: ①多縫衍射主極大明紋的光強(qiáng)分布包絡(luò)線與單縫衍射光強(qiáng)分布曲線趨勢相同, 主極大和次級(jí)明紋的位置主要由縫間干涉決定; ②縫數(shù)、相鄰?fù)腹饪p上對應(yīng)點(diǎn)之間的距離和入射光波長λ等參數(shù)對衍射圖樣有相應(yīng)影響; ③當(dāng)與構(gòu)成整數(shù)比時(shí), 就會(huì)出現(xiàn)缺級(jí)現(xiàn)象. 這些數(shù)值仿真模擬形象逼真, 程序編寫和運(yùn)行簡單, 實(shí)驗(yàn)參數(shù)修改方便, 不受實(shí)際實(shí)驗(yàn)易受條件和環(huán)境的限制.

附錄1:多縫夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣和光強(qiáng)分布的Maple程序

with(plots):

muti:=proc(N,a,d,lambda)

local M,D,L,PI,xp,A, theta:

M:=50:

D:=100:

if mod(N,2)=1 then

xp:=(k,f)-> -b/2+(f-(M+1)/2)*(d)+k*b/M

else

xp:=(k,f)-> -(a+d)/2+(f-N/2)+k*a/M

end if:

L:= (x,k,f)->sqrt((x-xp(k,f))^2+D^2):

theta:=f->2*Pi*L(x,0,f)/lambda:

A:=proc(x,f)

local i,sumcos,sumsin:

sumcos:=0:

sumsin:=0:

for i from 1 to N do

sumcos:=sumcos+cos(evalf(2*Pi*D(x,i,f)/lambda)):

sumsin:=sumsin+sin(evalf(2*Pi*D(x,i, f)/lambda)):

end do;

evalf((sumcos+I*sumsin)/M);

end proc:

PI:=x->(1/(M*M))*((sum(evalf(abs(A(x, f))*cos(theta(f))),

f =1..M))^2+(sum(evalf(abs(A(x, f))*sin(theta(f))),

f =1..M))^2):

plot(PI(x), x = -60 .. 60, axes = boxed axesfont = ["TIMES NEW ROMAN", "TIMES NEW ROMAN", 14], labels = ["x/mm", "I/I0"], labeldirections = ["horizontal", "vertical"], labelfont = ["TIMES NEW ROMAN", "TIMES NEW ROM- AN", 14]);

end proc:

muti(5, 0.1e-2, 0.6e-2, 0.4328e-3);

muti(10, 0.1e-2, 0.6e-2, 0.4328e-3);

muti(10, 0.1e-2, 0.6e-2, 0.6328e-3);

muti(5, 0.3e-2, 0.9e-2, 0.4328e-3);

muti(5, 0.3e-2, 0.12e-1, 0.4328e-3);

muti1:=proc(N,a,d,lambda)

local M,D,L,PI,xp,A, theta:

M:=50:

D:=100:

if mod(N,2)=1 then

xp:=(k,f)-> -b/2+(f-(M+1)/2)*(d)+k*b/M else

xp:=(k,f)-> -(a+d)/2+(f-N/2)+k*a/M

end if:

L:= (x,k,f)->sqrt((x-xp(k,f))^2+D^2): theta:=f->2*Pi*L(x,0,f)/lambda:

A:=proc(x,f)

local i,sumcos,sumsin:

sumcos:=0:

sumsin:=0:

for i from 1 to N do

sumcos:=sumcos+cos(evalf(2*Pi*D(x,i,j)/lambda)):

sumsin:=sumsin+sin(evalf(2*Pi*D(x,i,j)/lambda)):

end do;

evalf((sumcos+I*sumsin)/M);

end proc:

PI:=x->(1/(M*M))*((sum(evalf(abs(A(x, f))*cos(theta(f))),

f =1..M))^2+(sum(evalf(abs(A(x, f))*sin(theta(f))), f =1..M)) ^2):

plot3d([x, y, PI(x)], x = -60 .. 60, y = -20 .. 20, grid = [150, 150], orientation = [270, 0], shading = ZGRAYSCALE, style = PATCHNOGRID, numpoints = 20000, axes = boxed,axesfont = ["TIMES NEW ROMAN","TIMES NEW ROMAN", "TIMES NEW ROMAN", 14], labels = ["x/mm", "y/mm",""], labeldirections = ["horizontal" ,"vertical","horizontal"], labelfont = ["TIMES NEW ROMAN", "TIMES NEW ROMAN", 14])

end proc;

muti1(5, 0.1e-2, 0.6e-2, 0.4328e-3);

muti1(10, 0.1e-2, 0.6e-2, 0.4328e-3);

muti1(10, 0.1e-2, 0.6e-2, 0.6328e-3);

muti1(5, 0.3e-2, 0.9e-2, 0.4328e-3);

muti1(5, 0.3e-2, 0.12e-1, 0.4328e-3).

[1] 胡盤新, 鐘季康. 在大學(xué)物理教材中引入計(jì)算機(jī)數(shù)值解的嘗試[J]. 物理與工程, 2006, 16(2): 47—50.

[2] 華晉, 尹金花. 基于GUI的干涉衍射的實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究[J]. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn), 2011, 24(1): 79—82.

[3] 王悅悅, 趙麗華, 吳雷. Maple在光學(xué)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用[J]. 物理與工程, 2009, 19(4):17—23.

[4] 趙凱華, 鐘錫華. 光學(xué)[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 1982: 170.

[5] 馬文蔚. 物理學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006: 254.

[6] 何青, 王麗芬. Maple教程[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2006: 21—89.

[7] 湯劍鋒, 趙凡. 夫瑯禾費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)的Maple仿真設(shè)計(jì)[J]. 湖南文理學(xué)院學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2011, 23(4): 37—41.

Computer simulation of the multiple-slit Fraunhofer diffraction experiment

DENG Lei, TANG JianFeng

(College of Science, Hunan Agricultural University, Changsha 410128, China)

To better explain multiple-slit Fraunhofer diffraction in real terms, the multiple-slit Fraunhofer diffraction was simulated by using the Maple software.Their diffraction patterns and light intensity distributioncurves were drawn. By changing adjustable parameters, the light intensity distribution features and the influential factors of the multi-slit diffraction missing order phenomenon are analyzed in some detail. The research shows that the results of numerical simulation are completely coordinated with actual experiments, and the arithmetic is easy to be realized and convenient in teaching due to its intuitionistic simulation effects.

multiple-slit Fraunhofer diffraction; missing orders phenomenon;Huygens-Fresnel principle; Maple software

10.3969/j.issn.1672-6146.2014.04.015

O 436.1

1672-6146(2014)04-0059-06

email: hnjftang@aliyun.com.

email: lei0736@aliyun.com.

2014-07-05

湖南省普通高等學(xué)校教學(xué)改革研究項(xiàng)目(2014166); 中華農(nóng)業(yè)科教基金教材建設(shè)項(xiàng)目(NKJ201202005).

(責(zé)任編校:劉剛毅)