利用雙行根數(shù)計算太陽相位角的精度評估

李榮旺，李語強，周 鈺

(中國科學(xué)院云南天文臺，云南 昆明 650011)

利用雙行根數(shù)計算太陽相位角的精度評估

李榮旺，李語強，周 鈺

(中國科學(xué)院云南天文臺，云南 昆明 650011)

光度特性測量是獲取空間目標(biāo)的物理特性的重要技術(shù)手段之一，無論是光變曲線的事后分析還是建立光度變化的仿真模型，都離不開一個重要的參數(shù)——太陽相位角(太陽－空間目標(biāo)－測站的空間夾角)。目前空間目標(biāo)的位置通常是通過雙行根數(shù)(TLE)外推獲得，存在一定誤差，且隨外推時間的延長而變大，因而有必要對其計算所得的太陽相位角的精度進(jìn)行評估。以典型的不同高度的激光測距衛(wèi)星LAGEOS1、AJISAI、STELLA為研究對象，以全球激光測距資料解算所得的高精度軌道作為參考軌道，對2012年全年利用雙行根數(shù)計算所得的太陽相位角數(shù)據(jù)進(jìn)行了比對分析，結(jié)果表明對于LAGEOS1、AJISAI這樣的中高軌衛(wèi)星，由于軌道較高，表征阻力的B恒定，計算所得的太陽相位角偏差較小，角分量級，且隨外推時間的延長不會導(dǎo)致偏差明顯增大；而對于STELLA這樣的低軌衛(wèi)星，因軌道較低、受變化的大氣的影響顯著，計算所得的太陽相位角偏差較大，尤其是當(dāng)B比較大、變化較快時，偏差顯著變大，且隨外推時間的延長顯著增大，在最差情況下:外推1 d約為13′，外推3 d約為50′，外推7 d約為251′，已超出目前的精度要求。因此，在事后分析中應(yīng)盡可能使用1 d之內(nèi)的TLE計算太陽相位角，對于B較大且變化較快情況尤其需要注意。另外，針對UTC閏秒的情況，提出了一種處理方法，即在雙行根數(shù)外推時判斷外推時段是否跨越了閏秒時刻，若跨越了則進(jìn)行修正:增加或減少1 s，相應(yīng)地需要修改結(jié)果對應(yīng)的時間戳計算方法。

太陽相位角；光度測量；精度評估；雙行根數(shù)；衛(wèi)星激光測距

CN53－1189/P ISSN1672－7673

光度特性測量已成為獲取空間目標(biāo)特性的重要技術(shù)手段之一，研究方法主要分為以下兩類:一是從觀測資料出發(fā)進(jìn)行光變曲線的事后分析[1]，二是從物理模型出發(fā)建立光度變化模型[2]，兩種方法都涉及一個重要的參數(shù)——太陽相位角。雙行根數(shù)定義為:以目標(biāo)為中心，太陽方向與測站方向之間的夾角。誠然，其精度由目標(biāo)、太陽、測站三者的幾何位置精度決定。

太陽的位置可通過JPL DE405精密星歷插值計算獲得，由于太陽距離較遠(yuǎn)，可近似為平行光，其位置誤差對相位角的影響較??；觀測站的坐標(biāo)可通過大地測量、衛(wèi)星觀測數(shù)據(jù)解算等方式獲得，一般在大地測量坐標(biāo)系中給出，亦相對比較精確。

至于目標(biāo)的位置，北美防空司令部提供的雙行根數(shù)(TLE)因公開發(fā)布、持續(xù)更新、已編目目標(biāo)最完備而被廣泛應(yīng)用，通常通過其外推獲得指定時刻的目標(biāo)位置，雙行根數(shù)誤差相對較大且隨外推時間的延長而變大，位置誤差基本在百米級以上[3－4]，是相位角誤差的主要來源。

考慮到激光測距衛(wèi)星可通過全球聯(lián)測資料解算獲得厘米級高精度星歷，將其作為目標(biāo)的參考位置計算相位角，對利用雙行根數(shù)計算所得的相位角進(jìn)行精度評估。

1 太陽相位角計算方法

根據(jù)相位角的定義可得計算公式為:

式中，ρ表示目標(biāo)在站心坐標(biāo)系中的位置矢量；ρ☉表示太陽在站心坐標(biāo)系中的位置矢量，如圖1。

測站坐標(biāo)是在地固系中給出的，因此將目標(biāo)和太陽的位置統(tǒng)一轉(zhuǎn)換到地固系中再進(jìn)行相位角的計算。

圖1 太陽相位角的定義Fig.1 Illustration of the definition of the solar phase angle

1.1 目標(biāo)在地固系中的位置計算

雙行根數(shù)通過特定方法移除了周期變化得到平根數(shù)，使用時必須配合相適應(yīng)的SGP4/SDP4模型精確地重建移除的周期變化部分[5－6]，從而獲得較好的預(yù)報結(jié)果。

雙行根數(shù)本身對時間系統(tǒng)和坐標(biāo)系統(tǒng)并沒有嚴(yán)格要求，也找不到其嚴(yán)格的定義，但當(dāng)外推預(yù)報使用時需要使用一致的時間系統(tǒng)和坐標(biāo)系統(tǒng)。

1.1.1 坐標(biāo)系統(tǒng)及其轉(zhuǎn)換

坐標(biāo)系統(tǒng)普遍接受的是地心真赤道平春分點(True Equator Mean Equinox，TEME)，特別需要說明的是平春分點存在“歷元平春分點(of-epoch)”和“瞬時平春分點(of-date)”之分，其間差別為赤經(jīng)歲差。

記TEME-of-date坐標(biāo)系中的位置矢量為rTEME，準(zhǔn)地固系中的位置矢量為rPEF，則其間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下:

式中，θ稱為地球自轉(zhuǎn)角；JDUT1表示用UT1計算所得儒略日時間；JDTT表示用動力學(xué)時TT計算所得的儒略日時間。

文[8－9]中給出了采用歷元平春分點(of-epoch)時的轉(zhuǎn)換公式，記TEME-of-epoch坐標(biāo)系中的位置矢量為r′TEME，有:

其中，μ表示赤經(jīng)歲差，根據(jù)IERS 2003規(guī)范計算[7]:

1.1.2 時間系統(tǒng)及UTC閏秒的處理

最新的SGP4/SDP4模型是文[6]給出的修正版，時間系統(tǒng)采用UTC，但需要注意的是UTC時系統(tǒng)存在閏秒情況，在外推時段跨越了閏秒時刻的情況下需要進(jìn)行修正。在該文中指出需要對UTC閏秒引起注意，但并未給出具體的處理方法。其對時間的處理方式如下:輸入時刻(Yt＋Dt)、TLE歷元時刻(Yepoch＋Depoch)均為UTC時間，以年份和年積日的形式給出，以從TLE歷元時刻起算的時長t作為時間變量進(jìn)行外推計算，外推時長的計算公式如下:

本文提出如下閏秒處理方法:檢測外推時段是否跨越了閏秒時刻，若跨越了則根據(jù)閏秒情況進(jìn)行修正。檢測判據(jù)如下:判定外推時刻的累計閏秒與雙行根數(shù)歷元時刻的累計閏秒是否一致，若不一致，表明該外推時段跨越了閏秒時刻。外推時長的修正公式如下:

其中，ΔAT(T)表示UTC時刻T對應(yīng)的累計閏秒①http://hpiers.obspm.fr/eoppc/bul/bulc/UTC-TAI.history，可通過查表獲得，計算量非常小。

計算結(jié)果對應(yīng)的時間戳亦需要做修正，不能再簡單通過雙行根數(shù)歷元時刻累加外推時長計算，因為此時UTC時統(tǒng)已經(jīng)不是均勻的時統(tǒng)了，需借助均勻時統(tǒng)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。比較直接的方法為借助TT時間，先將雙行根數(shù)歷元時刻由UTC轉(zhuǎn)換為TT，與修正后的外推時長t′累加獲得計算結(jié)果對應(yīng)的TT時刻，然后再轉(zhuǎn)換為UTC獲得計算結(jié)果對應(yīng)的UTC時間戳。

當(dāng)然，閏秒情況畢竟比較少，最近一次閏秒為2012年7月1日，累計閏秒為35 s，由閏秒歷史可見，從1972年至2014僅有35個閏秒時刻，在日常使用中加入此修正似乎不是特別必要，但對于跨越閏秒時刻的情況下，修正是必不可少的。

1.2 太陽在地固系中的位置計算

太陽位置通過精密星歷JPL DE405插值計算獲得，其時間系統(tǒng)是一個特定的坐標(biāo)時Teph，一般使用時可采用動力學(xué)時TT代替[10]；坐標(biāo)系統(tǒng)為ICRS，與J2000歷元平赤道坐標(biāo)系存在如下的轉(zhuǎn)換關(guān)系[11]:

然后再從J2000歷元平赤道坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到地固系中[8]，采用IERS2003規(guī)范給出的IAU2000歲差章動模型計算歲差和章動[7]，從而獲得太陽在地固系中的位置矢量。

2 精度評估方法

為了評估上述利用雙行根數(shù)計算所得相位角的精度，需要獲取相位角的真實值，或者精度更高的參考值，而目標(biāo)的位置誤差是最主要的誤差源?？紤]到激光測距衛(wèi)星具有高精度的全球聯(lián)測數(shù)據(jù)，定軌精度可達(dá)厘米量級，即目標(biāo)的位置誤差可達(dá)厘米級。因此可利用激光測距衛(wèi)星的精密定軌所得的高精度星歷作為目標(biāo)的參考位置計算相位角，以此作為相位角的參考值進(jìn)行精度評估。

挑選不同高度的激光測距衛(wèi)星LAGEOS-1、AJISAI、STELLA為對象，相關(guān)參數(shù)見表1。

運用云南天文臺于2009年研發(fā)完成的精密定軌軟件系統(tǒng)[12](POREDY)對全球激光測距資料[13]進(jìn)行精密定軌處理，考慮的力源模型如表2。使用了2012年全年的觀測數(shù)據(jù)，3 d為一個子弧，所得的精密定軌中誤差(RMS)如圖2。由圖可見，LAGEOS 1衛(wèi)星的位置中誤差在2.5 cm左右，AJISAI衛(wèi)星的位置中誤差在3.5 cm左右，STELLA衛(wèi)星的位置中誤差在4 cm左右。

在精密定軌的過程中，同時生成間隔為1 min的星歷文件，作為參考位置。

表1 激光測距衛(wèi)星的相關(guān)參數(shù)②http://ilrs.gsfc.nasa.gov/missions/satellite＿missions/current＿missions/index.htmlTable 1 The parameters of the SLR satellites

表2 精密定軌軟件POREDY中使用的力源模型Table 2 The models of forces from various sources used in the POREDY software package

圖2 精密定軌結(jié)果的中誤差Fig.2 The rms values of results of precision orbit determination using the POREDY package

從space-track網(wǎng)站下載2012年全年的雙行根數(shù):LAGEOS 1衛(wèi)星總計427個、AJISAI衛(wèi)星總計577個、STELLA衛(wèi)星總計531個，可見根數(shù)一天至少更新一次，但實際使用中存在滯后發(fā)布的現(xiàn)象，比如18日的根數(shù)可能19日，甚至20日才發(fā)布。

觀測站設(shè)定為昆明站，其大地坐標(biāo)為:東經(jīng)102.797 49°、北緯25.030 05°、海拔1 991.0 m，處理流程如下:

(1)以雙行根數(shù)的歷元時刻為基準(zhǔn)，外推計算7 d，生成相應(yīng)的整分鐘的位置矢量；

(2)與精密定軌生成的星歷進(jìn)行比對，利用這兩種方式獲得的位置矢量分別計算對應(yīng)的相位角并進(jìn)行比對；

(3)以“空間目標(biāo)被太陽照亮、處于測站地平高度20°以上”為條件對結(jié)果進(jìn)行篩選；

(4)將篩選的比對結(jié)果按1 d、3 d、7 d的外推時長分別進(jìn)行統(tǒng)計，包括位置偏差的平均值、相位角偏差(絕對值)的最大值，以評估最差情況。

相位角偏差通過下式計算:

式中，φTLE表示利用雙行根數(shù)計算所得的相位角；φPOD表示利用精密定軌獲得的精密星歷計算所得的相位角。

3 精度評估結(jié)果

3.1 兩種TEME坐標(biāo)系的計算結(jié)果

隨機選擇LAGEOS 1衛(wèi)星的2012年7月20日的雙行根數(shù)外推1 d，兩種TEME坐標(biāo)系分別計算所得的相位角偏差如圖3，可見采用TEME-of-date計算所得的相位角偏差明顯較小，因此TEME采用“瞬時平春分點(of-date)”是比較合適。文[6]指出研究人員普遍相信“of-date”應(yīng)該是正確的，但并未得到官方的確認(rèn)，也有人認(rèn)為“of-epoch”是正確的。與“heavens-above.com”和“www.calsky.com”比對后亦發(fā)現(xiàn)采用“瞬時平春分點(of-date)”比較合適。后續(xù)的計算將統(tǒng)一采用TEME-of-date坐標(biāo)系。

3.2 UTC閏秒的處理結(jié)果示例

2012年7月1日0時(對應(yīng)MJD為51609)進(jìn)行了UTC閏秒③http://datacenter.iers.org/eop/-/somos/5Rgv/document/tx13iers.8q2/bulletinc-043.txt，累計閏秒由34 s增加到35 s。挑選LAGEOS 1衛(wèi)星的2012年6月31日的雙行根數(shù)外推1 d，閏秒修正后(外推時長增加1 s)和未修正的相位角偏差如圖4，修正前和修正后相位角偏差的最大值分別為2.60′、0.26′，可見未做閏秒修正將引起極大誤差，閏秒修正是必要的。當(dāng)然，此誤差僅對跨越了閏秒時刻的外推有影響。

圖3 兩種TEME坐標(biāo)系計算所得的相位角偏差比對Fig.3 Comparison between the solar phase angle deviations calculated under two TEME coordinate systems

圖4 閏秒修正后和未修正的相位角偏差比對Fig.4 Comparison between the solar phase angle deviations with and without the leap-second correction

3.3 相位角偏差示例

圖5給出了STELLA衛(wèi)星的相位角偏差的一個計算實例，分別給出了相位角偏差與測站高度角、外推時長的關(guān)系，相位角偏差以角分為單位，TLE根數(shù)對應(yīng)的歷元時刻為2012－12－21 07∶56∶11.777，雙行根數(shù)中表征軌道所受阻力的參數(shù)B為－2.7910e-4。由圖可見，在每一個過境圈次中，相位角偏差隨高度角增加而增大；隨著外推時間的延長，相位角的偏差總體增大，由1 d以內(nèi)的6′增大到7 d以內(nèi)的74′。

圖5 STELLA衛(wèi)星的相位角偏差示例Fig.5 A sample of the solar phase angle deviations of the STELLA

3.4 位置偏差平均值和相位角偏差的最大值

圖6給出了LAGEOS 1衛(wèi)星的位置偏差平均值和相位角偏差的最大值隨雙行根數(shù)的歷元時刻的變化情況。由圖可見，位置偏差較小，且隨外推時間的延長并未明顯變大。為了便于直觀理解，將位置偏差的平均值對全年再次進(jìn)行平均(下稱“年均值”)，可得按1 d、3 d、7 d分別統(tǒng)計所得的位置偏差的平均值在全年的總體水平，計算得年均值分別為466 m、487 m、560 m，相應(yīng)的相位角偏差的最大值亦較小，與位置偏差同樣的方式計算年均值，分別為0.66′、0.85′、1.13′。

圖6 LAGEOS 1衛(wèi)星的位置偏差平均值及相位角偏差最大值Fig.6 Mean and maximum values of the solar phase angle deviations of the LAGEOS 1. (Left panel:Mean values.Right panel:maximum values)

圖7給出了AJISAI衛(wèi)星的位置偏差平均值和相位角偏差的最大值隨雙行根數(shù)的歷元時刻的變化情況。與LAGEOS 1類似，位置偏差的平均值和相位角偏差的最大值均較小，位置偏差的平均值的年均值分別為570 m、608 m、722 m，與LAGEOS 1差別不太大，相位角偏差的最大值的年均值分別為2.28′、2.68′、4.42′，顯著地大于LAGEOS 1，應(yīng)歸因于AJISAI的軌道高度明顯低于LAGEOS 1。

圖8給出了STELLA衛(wèi)星的位置偏差平均值和相位角偏差的最大值隨雙行根數(shù)的歷元時刻的變化情況。為了便于分辨，縱軸采用了對數(shù)坐標(biāo)?？梢悦黠@看到位置偏差較大，尤其是第260 d以后(2012－09－17)，且隨外推時間的延長偏差明顯增大。由于第260 d后的偏差明顯較大，將其分為第260 d前和第260 d后兩段分別進(jìn)行統(tǒng)計，第260 d前的位置偏差的平均值的年均值分別為789 m、1 004 m、1 986 m，第260 d后則分別為1347 m、3 293 m、11 731 m。相應(yīng)地，相位角偏差的最大值亦較大，第260 d前的年均值分別為6.98′、13.22′、41.63′，第260 d后則分別為13.07′、50.47′、250.93′?？梢妼τ赟TELLA這樣的低軌衛(wèi)星，在最差情況下已超出目前的精度要求，應(yīng)引起重視。若采用1 d之內(nèi)的雙行根數(shù)進(jìn)行計算則可以滿足要求，但由于雙行根數(shù)發(fā)布的滯后性，在事后處理時應(yīng)重新下載較新雙行根數(shù)數(shù)據(jù)，以縮短外推時長。

圖7 AJISAI衛(wèi)星的位置偏差平均值及相位角偏差最大值Fig.7 Mean and maximum values of the solar phase angle deviations of the AJISAI. (Left panel:Mean values.Right panel:maximum values)

圖8 STELLA衛(wèi)星的位置偏差平均值及相位角偏差最大值Fig.8 Mean and maximum values of the solar phase angle deviations of the STELLA. (Left panel:Mean values.Right panel:maximum values)

在雙行根數(shù)中，是用一個參數(shù)B表征目標(biāo)所受的阻力，對于中高軌衛(wèi)星，主要來源于太陽光壓的作用，對于低軌衛(wèi)星，則主要來源于大氣阻力。太陽光壓相對比較穩(wěn)定，大氣阻力則變化較大，特別是大氣密度的變化。顯然B無法完全反應(yīng)變化的大氣的影響，因此低軌衛(wèi)星的位置偏差較大，且隨外推時間的延長而明顯增大，尤其是該參數(shù)較大且變化較快時。圖9給出了2012年LAGEOS 1、AJISAI、STELLA 3顆衛(wèi)星的B值，LAGEOS 1和AJISAI衛(wèi)星恒定為1.0e-4，STELLA衛(wèi)星則變化較大，尤其是第260 d以后，這與上述比對計算結(jié)果適應(yīng)。因此對于B較大且變化較快情況尤其需要注意，應(yīng)盡可能采用1 d之內(nèi)的雙行根數(shù)計算。

4 分析及結(jié)論

綜上所述，利用雙行根數(shù)計算所得的相位角基本可以滿足目前“度”量級的精度需求。對于LAGEOS 1、AJISAI這樣的中高軌衛(wèi)星，由于軌道較高、表征阻力的B恒定，計算所得的太陽相位角偏差較小，角分量級，且隨外推時間的延長不會導(dǎo)致偏差明顯增大；而對于STELLA這樣的低軌衛(wèi)星，因軌道較低、受變化的大氣的影響顯著，計算所得的太陽相位角偏差較大，尤其是當(dāng)B比較大且變化較快時，偏差顯著變大，且隨外推時間的延長顯著增大，在最差情況下，外推1 d的最大偏差約為13′，外推3 d約為50′，外推7 d約為251′，已超出目前的精度要求。

圖9 B隨TLE歷元時刻的變化圖Fig.9 Variations of Bwith days from the TLE epoch

因此，在事后分析中應(yīng)盡可能使用1 d之內(nèi)的雙行根數(shù)計算太陽相位角，對于B較大且變化較快情況尤其需要注意，而從雙行根數(shù)的發(fā)布頻次來看是可行的，但雙行根數(shù)的發(fā)布滯后，所以在事后處理時應(yīng)重新下載較新雙行根數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行計算以縮短外推時長。

另外，針對UTC閏秒的情況，本文提出了一種處理方法，即在雙行根數(shù)外推時判斷外推時段是否跨越了閏秒時刻，若跨越了則根據(jù)閏秒情況進(jìn)行修正，相應(yīng)的需要修改結(jié)果對應(yīng)的UTC時間戳計算方法。

致謝：文中使用的SLR觀測資料從國際激光測距服務(wù)(ILRS)獲得，在此表示感謝。

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An Analysis of Accuracies of TLE-Based Solar Phase Angles at Satellites

Li Rongwang，Li Yuqiang，Zhou Yu
(Yunnan Observatories，Chinese Academy of Sciences，Kunming 650011，China，Email:lirw＠ynao.ac.cn)

Photometry is one of the most important techniques to analyze physical characteristics of space objects.After-event analyses of photometric light curves of space objects and construction of their physical models all involve the solar phase angle，a parameter defined as the angle between the light incident onto an observed object from the sun and the light reflected from the object.Currently，the position of a space object is usually calculated with a Two-Line-Element(TLE)set.A position so calculated contains a systematic error increasing with the time elapsed from the TLE epoch.This raises the need to analyze the accuracy of the solar phase angle calculated based on the TLE.In this paper，we present comparison for the solar phase angles in the entire year of 2012 calculated using the TLE.The solar phase angles are those of the LAGEOS1，AJISAI，and STELLA，which are SLR(Satellite Laser Ranging)satellites of three representative apogee heights，respectively.For the three satellites we use the highly precise global SLR data as the standard descriptions of the orbits.Our results show that for the two satellites of relatively high orbits，the LAGEOS1 and AJISAI，their Bvalues(characterizing apparent resistance forces)were near constant，and their solar phase angle deviations remained on the level of arcminutes or below throughout the year；for the low-orbit STELLA its solar phase angle deviations were much larger，which can be attributed to influences of atmospheric changes.For the STELLA the deviations were particularly severe when Bvalues were large and changed rapidly.The deviations for the STELLA also increased dramatically with time from the TLE epoch.The worst-level deviations were about 13′after one day(from the epoch)，50′after 3 days，and 251′after 7 days，which are beyond currently acceptable precision limits.These results suggest that TLE sets within 1 day be used whenever possible in calculating solar phase angles，especially when Bvalues are large and in rapid change.We also present an approach to handle UTC leap seconds.The approach is to increase or decrease the time from the TLE epoch by 1 second if the time passes a leap-second moment，with the timestamp-calculation results consequently modified.

Solar phase angle；Photometry；Accuracy analysis；TLE；SLR

P135

A

1672－7673(2014)04－0369－09

2014－01－09；

2014－02－26

李榮旺，男，博士.研究方向:空間目標(biāo)精密定軌.Email:lirw＠ynao.ac.cn