基于Copula函數(shù)的金融時間序列模型述評

張超鋒，張莉敏

（1．對外經(jīng)濟貿(mào)易大學 國際經(jīng)濟貿(mào)易學院，北京 100029；2．四川文理學院 數(shù)學與財經(jīng)學院，四川 達州 635000）

基于Copula函數(shù)的金融時間序列模型述評

張超鋒1，2，張莉敏2

（1．對外經(jīng)濟貿(mào)易大學 國際經(jīng)濟貿(mào)易學院，北京 100029；2．四川文理學院 數(shù)學與財經(jīng)學院，四川 達州 635000）

結(jié)合當前Copula函數(shù)及其應(yīng)用的熱點問題，著重評述了基于Copula函數(shù)的金融時間序列模型的應(yīng)用。鑒于利用Copula可以將邊際分布和變量間的相依結(jié)構(gòu)分開來研究這一優(yōu)良性質(zhì)，在設(shè)定和估計模型時便顯得極為方便和靈活。從模型的構(gòu)造、Copula函數(shù)的選擇、模型的估計以及擬合優(yōu)度檢驗等幾方面展開闡述和評價，介紹了Copula模型在金融領(lǐng)域中的幾類應(yīng)用，并對Copula理論和應(yīng)用的新視角進行了展望。

Copula函數(shù)；相依結(jié)構(gòu)；金融時間序列

一、引 言

在金融市場中，資產(chǎn)定價、投資組合、溢出效應(yīng)、風險管理等問題都涉及相關(guān)性分析。線性相關(guān)系數(shù)，作為傳統(tǒng)的相關(guān)性分析手段，由于其計算簡單在實踐中得到廣泛應(yīng)用。但是，線性相關(guān)系數(shù)要求變量間的關(guān)系是線性且方差為有限，在實際應(yīng)用中往往得不到滿足，例如金融市場中不少數(shù)據(jù)表現(xiàn)出厚尾特征，有些時候方差還根本不存在，因此用線性相關(guān)系數(shù)來刻畫相關(guān)性存在很大的問題。只有當變量的聯(lián)合分布服從橢圓分布如二元正態(tài)分布時，聯(lián)合分布才能由變量間的相關(guān)系數(shù)和邊緣分布唯一確定。為了克服傳統(tǒng)的相關(guān)性統(tǒng)計分析的不足，最早由Skar提出的Copula理論表現(xiàn)出極大的優(yōu)越性，并在金融領(lǐng)域中被廣泛采用。首先，Copula函數(shù)不限制邊緣分布的選擇，可運用構(gòu)造靈活的多元分布；其次，在建立模型時，可將隨機變量的邊緣分布和它們之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)分開來研究，其中它們的相依結(jié)構(gòu)可由一個Copula函數(shù)來描述，這使建模問題大大簡化并易于理解。另外，如果對變量作非線性的單調(diào)增變換，線性相關(guān)系數(shù)的值會發(fā)生改變，而由Copula函數(shù)導出的一致性和相依性測度的值則不會改變，因此由Copula函數(shù)導出的一致性和相依性測度應(yīng)用范圍更廣、實用性更強。

隨著計算機技術(shù)的快速發(fā)展，Copula理論在近十幾年來得以迅速發(fā)展并成為金融領(lǐng)域的主要分析工具。目前國內(nèi)有關(guān)Copula函數(shù)的研究基本局限于實證方面，在應(yīng)用和理論方面都缺乏深層次的分析。鑒于此，本文對Copula理論與應(yīng)用近幾年新的研究進展進行系統(tǒng)的梳理，客觀評價相應(yīng)研究的可行性和局限性，結(jié)合最新文獻試圖提出一些進一步可拓展和思考的方向。

二、模型的構(gòu)造

目前，運用Copula理論及其應(yīng)用的范圍涉及多個領(lǐng)域，研究的視角也存在很大差異，但有關(guān)Copula函數(shù)涉及的主要問題是函數(shù)形式和估計方法。Embrechts等對不同Copula函數(shù)模型進行了比較研究，發(fā)現(xiàn)采用不同形式的Copula函數(shù)可能導致完全不同的分析結(jié)果［1］。雖然Embrechts等曾就Copula函數(shù)的選擇問題提出了相應(yīng)的建議，但這一問題并未得到很好的解決。在實際操作中Copula函數(shù)的選擇在很大程度上依賴于樣本數(shù)據(jù)的特征和擬合優(yōu)度檢驗。

為便于下文敘述，先給出Copula函數(shù)的定義和重要的Skar定理。更多相關(guān)概念可以參看Nelsen對Copula理論的介紹［2］7－24。本文限于篇幅，不再詳細贅述。

如果F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)d均為連續(xù)函數(shù)，則存在唯一的Copula函數(shù)使得上述等式成立。相反地，如果C是一個Copula函數(shù)并且F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)d是一元累積分布函數(shù)，則上述等式所決定的函數(shù)F是F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)d的聯(lián)合分布函數(shù)。

由Skar定理立即可得：

Skar定理的重要作用在于通過Copula函數(shù)將邊際分布函數(shù)巧妙結(jié)合，使得研究者在考察多個隨機變量的聯(lián)合分布時，可以將其分解為Copula函數(shù)和多個單變量分布函數(shù)來考慮整個聯(lián)合分布的相關(guān)結(jié)構(gòu)，從而解決了由隨機向量邊緣分布難以推導出聯(lián)合分布的難題，為多元統(tǒng)計分析提供了一種便捷的新方法。

眾所周知，金融時間序列的條件分布呈現(xiàn)時變波動、波動聚集、偏斜厚尾等特征，通常采用GARCH類模型以及隨機波動率模型來描述這些特征。然而，由于金融市場之間的相關(guān)關(guān)系變化受各種因素的干擾而呈現(xiàn)出一定的復雜性，使得有時在估計這些模型參數(shù)時存在極大的技術(shù)困難。將Copula函數(shù)和這些模型結(jié)合到一起便能很容易地捕捉到時間序列之間的動態(tài)相依結(jié)構(gòu)，常見的Copula函數(shù)的時間序列模型有Copula－GARCH模型、Copula－SV模型、時變Copula模型、RS－Copula模型等。Copula－GARCH模型中的GARCH描述的是各變量的條件邊際分布，Copula函數(shù)刻畫的是變量之間的條件相關(guān)關(guān)系。對上述模型進行適當調(diào)整，便可以描述金融市場波動的不同特征，比如波動的非對稱性、波動的持續(xù)性等。與GARCH模型不同，隨機波動率模型（SV）中的波動特征是由一個潛在的隨機過程來描述的。在實際應(yīng)用中，SV模型具有厚尾性，因為對于那些表現(xiàn)出明顯的尖峰厚尾特征的數(shù)據(jù)序列，用Copula－SV模型能夠更好地捕捉到時間序列之間的相依結(jié)構(gòu)。Copula－GARCH模型和Copula－SV模型雖然能夠很好地描述時間序列的統(tǒng)計特征，在考察序列之間的相依結(jié)構(gòu)時也具有比較強的靈活性，然而卻假定相依參數(shù)不會隨時間變化而變化。事實上，金融市場本身會隨著國家宏觀經(jīng)濟政策的調(diào)整、外部市場環(huán)境的變化而變化，也就是說，金融市場間的相依結(jié)構(gòu)可能會隨時間的推移而發(fā)生改變，因而金融市場間相關(guān)系數(shù)也會隨時間變化，Engle通過實證研究驗證了這一事實［3］。進一步可以肯定用來研究隨機變量間的非線性相依結(jié)構(gòu)的Copula函數(shù)中相依參數(shù)也會表現(xiàn)出時變特征。很自然的一個問題便是如何確定時變Copula中的參數(shù)隨時間變化的演化方程。Patton提出基于時變Copula相依結(jié)構(gòu)的多元時間序列模型，類似于Copula－GARCH 模型［4－5］。不同的是，Copula函數(shù)中的時變參數(shù)服從一設(shè)定的動態(tài)方程。如果使用正態(tài)Copula描述變量間的相依關(guān)系，則時變Copula參數(shù)ρt服從下面的動態(tài)方程：

其中Λ2（x）是一個變換，確保相依參數(shù)總是能夠落到其值域中去，對于尾部相依來說，Λ2（x）＝（1＋exp （－ x ） ）－1；對 于 Clayton Copula 來 說，Λ2（x）＝exp（x）；對于Gumbel Copula而言，Λ2（x）＝1＋exp（）x。金融市場中許多實證結(jié)果表明，收益率與交易量間具有明顯的尾部相依性并且上下尾部具有不對稱性。為了既可以刻畫極端市場條件下收益間的尾部相依性，又能兼顧考察時變特征，Garcia等引入了RS－Copula模型（Regime－Switching Copula），以便刻畫尾部相依性的動態(tài)特征以及結(jié)構(gòu)突變［6］。尾部相依關(guān)系衡量了異常事件發(fā)生時序列間的極值聯(lián)動關(guān)系。在幾種常用的Copula函數(shù)中，高斯Copula的尾部相依性為0；Student－t Copula的上下尾部對稱；Clayton Copula和Survival Gumbel Copula可用來描述下尾部相依關(guān)系，而Gumbel Copula和Survival Clayton Copula可用來描述上尾部相依關(guān)系。對于上述不同的Copula函數(shù)，可以使用AIC和BIC準則選擇最優(yōu)的Copula函數(shù)以刻畫尾部相依特征，當Copula函數(shù)的密度函數(shù)已知的情況下，不必對原始數(shù)據(jù)做任何變換，采用貝葉斯理論的MCMC方法并基于DIC準則來估計Copula函數(shù)［7］。

三、Copula模型的選擇

上文在構(gòu)造模型時，所強調(diào)的只是對邊緣分布的刻畫，并沒有對Copula函數(shù)的具體形式給出說明，然而Copula函數(shù)族中有很多函數(shù)類型，不同的Copula函數(shù)對變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)的刻畫各有所長，因此有必要對Copula函數(shù)的選擇標準給予介紹。本文的目的當然是選擇達到最優(yōu)擬合效果的Copula函數(shù)，能夠有能力捕捉到具有時變特征的相依過程。

Copula函數(shù)中的相依參數(shù)與幾種重要的一致性相關(guān)性指標，如Kendallτ、Spearmanρ等常常有一一對應(yīng)的關(guān)系，因此通過這些傳統(tǒng)的一致性和相關(guān)性指標，使不同的Copula函數(shù)之間具有了可比性。為了更深入地探討以上幾種Copula函數(shù)的分布特性，圖1中給出了幾種常見的Copula函數(shù)的分布密度圖［6］（其中秩相關(guān)系數(shù)τ＝3）。

從以上列舉的幾個Copula函數(shù)可以看出，不同Copula函數(shù)在描述相依結(jié)構(gòu)時顯示出明顯差異。二元Gaussian Copula分布具有對稱性，可以用來描述具有對稱性的相依結(jié)構(gòu)，卻無法捕捉分布尾部相關(guān)性的變化，而具有同樣對稱結(jié)構(gòu)的Frank Copula函數(shù)則更能捕捉到分布尾部相關(guān)性的變化。Gumbel和Clayton Copula函數(shù)可以用來描述變量間非對稱的相依結(jié)構(gòu)，Gumbel Copula函數(shù)在捕捉上尾相依結(jié)構(gòu)時具有優(yōu)勢，而Clayton Copula函數(shù)則側(cè)重于捕捉變量間下尾相依結(jié)構(gòu)。然而金融市場千變?nèi)f化，實踐中很難用一種Copula函數(shù)就能很好地刻畫市場間的相依關(guān)系，從而股票市場間的相關(guān)性都增大，比如說一般情況下股票市場出現(xiàn)暴跌或暴漲時市場間的相依關(guān)系都會明顯增強并且通常上下尾部表現(xiàn)出非對稱的特征，在這種情況下，用一種函數(shù)來刻畫金融市場間的相依結(jié)構(gòu)，只能反映金融市場之間相依結(jié)構(gòu)變化的一種特征。很自然的想法是可以選用由 Gaussian、Frank、Gumbel、Clayton、Gumbel Survival Copula等其中若干種函數(shù)的線性組合構(gòu)造的混合Copula（M－Copula）函數(shù)來刻畫市場間的相依結(jié)構(gòu)。圖2給出了Gaussian（C1）、Gumbel（C2）和Survival Gumbel Copula（C3）三種函數(shù)在三種不同權(quán)重組合下的混合函數(shù)輪廓圖。組合1：w1＝0．5，w2＝0；組合2：w1＝w2＝1／3；組合3：w1＝0，w2＝0．5，其中 M－Copula表達式為：

圖1 幾種Copula函數(shù)密度分布圖

圖2 三種組合下混合Copula函數(shù)密度輪廓圖

事實上，M－Copula函數(shù)不僅可以涵蓋它所包含的各種Copula函數(shù)的特性，而且通過選擇不同權(quán)重系數(shù)組合還可以構(gòu)造這些Copula函數(shù)的各種線性組合的混合特性。在實際應(yīng)用中可以考慮選取一組權(quán)重系數(shù)用一個M－Copula函數(shù)來描述具有各種相依結(jié)構(gòu)的金融市場間的關(guān)系，以便能夠捕捉到金融市場中各種復雜的相依結(jié)構(gòu)模式。

四、基于Copula函數(shù)的時間序列模型的估計方法

對Copula模型的參數(shù)估計廣為采用的方法是極大似然估計，通過Copula密度函數(shù)和邊際密度函數(shù)可以求出聯(lián)合分布的密度函數(shù)，進一步可以得到樣本的對數(shù)似然函數(shù)，根據(jù)多元函數(shù)的極值理論可以得到參數(shù)的極大似然估計量，但問題是同時估計所有參數(shù)會因為參數(shù)過多而使估計變得復雜。鑒于Copula函數(shù)可以將邊際分布和聯(lián)合分布分開來研究這一優(yōu)良性質(zhì)，因而在實踐中一般采用兩階段極大似然估計法來估計模型中的參數(shù)，即首先估計出邊際分布函數(shù)中的參數(shù)，然后將估計值當做已知數(shù)代入Copula函數(shù)中，從而得到Copula函數(shù)中的極大似然估計值［4］。當然兩階段極大似然估計在有效性方面要弱于一般的極大似然估計，然而Patton等通過仿真模擬發(fā)現(xiàn)兩者在有效性方面差別并沒有太大差別［5，8］。為了獲得完全有效的參數(shù)估計，可以采用極大似然推斷的多階段迭代估計方法［9］。

從Skar定理可以看出Copula模型的良好性質(zhì)，多元聯(lián)合分布函數(shù)可以通過一個Copula函數(shù)來實現(xiàn)，聯(lián)合分布函數(shù)中的參數(shù)估計可以對邊際分布和Copula函數(shù)的參數(shù)分別進行估計。當邊際分布的形式難以給定時，可以構(gòu)建基于Copula函數(shù)的半?yún)?shù)模型。在這種情況下Copula參數(shù)的估計仍然采用極大似然法，一般稱為“典型極大似然法”。Genest等研究了半?yún)?shù)模型中Copula參數(shù)的漸近分布以及模型的選擇等問題，Chen等研究的是時間序列數(shù)據(jù)的半?yún)?shù)Copula模型的參數(shù)估計問題［10－11］。半?yún)?shù)模型估計相對于完全參數(shù)模型的困難之處在于似然函數(shù)依賴于待估計的非參數(shù)邊際分布模型。Chen等給出了基于Copula函數(shù)的多元動態(tài)模型參數(shù)估計量服從漸近正態(tài)分布的若干條件，并且提供了一種估計多元Copula參數(shù)估計量的漸近協(xié)方差矩陣方法。但是，半?yún)?shù)Copula模型的估計需要建立在以下兩個假設(shè)的基礎(chǔ)之上：首先，多元Copula模型中的參數(shù)是不隨時間變化的；其次，標準化殘差所服從的邊際分布是利用非參數(shù)估計方法得到的。

完全非參數(shù)Copula模型的估計相對于參數(shù)的主要優(yōu)點在于不需要事先對描述變量間相依結(jié)構(gòu)的Copula函數(shù)以及邊際分布的任何參數(shù)做出假設(shè)和估計就可以直接估計得到任何一點處的Copula函數(shù)的值，進而可以對變量間相依結(jié)構(gòu)作出描述，還可以得到一系列基于Copula函數(shù)的相依測度值，如Kendall秩相依系數(shù)和上下尾部相依系數(shù)等，因此非參數(shù)估計方法在應(yīng)用中具有很大的優(yōu)勢。核估計是非參數(shù)估計領(lǐng)域應(yīng)用比較廣泛的一種方法［12］。核函數(shù)k （x）是一類在實數(shù)域內(nèi)有界的對稱函數(shù)，滿k （x ）dx＝1，n元核函數(shù)的更一般表達式為：

核估計對于核函數(shù)和窗寬的選擇比較嚴格，在實際應(yīng)用中常常選用光滑的正態(tài)核函數(shù)，核函數(shù)一旦確定，窗寬的選擇合適與否將對邊際分布函數(shù)對樣本數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度產(chǎn)生重要影響。除此之外，當數(shù)據(jù)來源于某一確定分布時，利用非參數(shù)估計所得到的估計量的有效性難以保證。

以上所涉及的Copula模型和估計方法在實際應(yīng)用中大都受到維數(shù)的限制，一般只討論二維的情形，而對于三維以上的一般Copula模型在近兩年才有所研究，所用的技術(shù)方法與二維情形有很大的區(qū)別，一種稱之為“Vine Copulas”的多元Copula模型在金融領(lǐng)域表現(xiàn)出極大的優(yōu)越性。Min等利用pair－Copula構(gòu)造出一種靈活的Vine Copulas相依結(jié)構(gòu)模型，并且利用貝葉斯估計方法進行分析，通過MCMC模擬得出pair－Copula構(gòu)造的模型要優(yōu)于任何其它現(xiàn)有多變量Copula模型［13－15］。

五、Copula模型擬合優(yōu)度檢驗

根據(jù)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征可以確定一種Copula函數(shù)來描述變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，但這往往具有一定的主觀性，因而還要采用適當?shù)臄M合優(yōu)度檢驗方法來檢驗所選的Copula函數(shù)是否合適。對于完全參數(shù)的Copula模型，由于這些模型僅僅涉及到非線性的時間序列模型，因而擬合優(yōu)度檢驗的方法也比較固定，但獲取擬合優(yōu)度檢驗統(tǒng)計量臨界值的困難之處在于統(tǒng)計量不僅依賴于Copula模型的參數(shù)估計，還依賴于邊際分布函數(shù)中的參數(shù)估計。在這種情況下，Genest等指出一種行之有效的辦法是通過模型模擬產(chǎn)生數(shù)據(jù)，先估計出邊際分布中的參數(shù)，根據(jù)模擬數(shù)據(jù)計算出Copula參數(shù)的估計，然后計算擬合優(yōu)度檢驗統(tǒng)計量，再經(jīng)過多次重復試驗得出統(tǒng)計量在模型正確設(shè)定的原假設(shè)下所服從的分布，根據(jù)分布得到相應(yīng)的p值［16］。對于半?yún)?shù)模型，Chen等描述了一種基于模擬方法獲取基于Copula函數(shù)的半?yún)?shù)馬爾科夫模型擬合優(yōu)度檢驗的臨界值［11］。Rémillard考慮了基于Copula函數(shù)的半?yún)?shù)多變量時間序列模型的擬合優(yōu)度檢驗［17］，同時他還證明了類似于Chen等研究中Copula參數(shù)的漸近分布的一個非常有用的結(jié)論：Copula模型的擬合優(yōu)度檢驗的漸近分布不受邊際分布中參數(shù)的影響，同時該文也提出了一種類似于上述完全參數(shù)模型但又更為簡單的模擬方法［18］。

擬合優(yōu)度檢驗的兩種常用方法是Kolmogorov-Smirnov（K－S）檢驗和Cramér-von Mises（CvM）檢驗，這兩類檢驗是比較常用的非參數(shù)檢驗方法，是建立在比較擬合模型和經(jīng)驗模型差異的基礎(chǔ)之上的［17］。關(guān)于擬合優(yōu)度檢驗的另一種方法是考慮Rosenblatt變換，它是基于多變量序列概率積分變換的一種檢驗方法。該方法首先是對變量進行概率積分變換，得到服從（0，1）上均勻分布的隨機變量u，然后對變換后的數(shù)據(jù)應(yīng)用K－S和CvM檢驗?；诮?jīng)驗模型而進行的擬合優(yōu)度檢驗是建立在Copula相依參數(shù)為常數(shù)的假設(shè)基礎(chǔ)之上，因而不適用于時變Copula模型。然而基于Rosenblatt變換的擬合優(yōu)度檢驗倒更為靈活，不僅可以對時變模型進行檢驗，還可以用于馬爾科夫Copula模型。Genest等基于前期有關(guān)Copula擬合優(yōu)度檢驗的文獻給出了比較詳盡的評論，并通過數(shù)值模擬的手段對這些檢驗進行了優(yōu)劣對比并總結(jié)得出CvM檢驗的效果最好［19］。Berg通過考慮其它擬合優(yōu)度檢驗方法也進一步說明了這一點［20］。然而Genest等所提到的擬合優(yōu)度檢驗都是通過數(shù)值模擬程序計算相應(yīng)統(tǒng)計量的p值，但具體操作過程比較復雜。Fermanian等通過構(gòu)造一種新的統(tǒng)計量提出了一種稱之為漸近總變差檢驗的擬合優(yōu)度檢驗方法［21］。該檢驗是通過構(gòu)造經(jīng)驗Copula模型以及借助非參數(shù)自助法來計算相應(yīng)的p值，其優(yōu)點是即使在經(jīng)驗Copula模型不收斂的情況下也可以一致地估計出該統(tǒng)計量的p值，檢驗的效果比K－S檢驗要更好，但潛在的假設(shè)相依參數(shù)是常數(shù)，對于時變參數(shù)也不適用。進一步可以通過比較該檢驗與CvM方法的勢的大小來判斷擬合優(yōu)度，另外通過調(diào)整Copula模型參數(shù)對所有這些擬合優(yōu)度檢驗方法的對比以及基于Rosenblatt變換擬合優(yōu)度檢驗的靈敏度研究也是值得嘗試的工作。

六、Copula模型在金融領(lǐng)域的主要應(yīng)用

近十幾年來Copula理論在實證經(jīng)濟領(lǐng)域得到了極為廣泛的應(yīng)用，尤其在金融市場中具有獨特的應(yīng)用價值和廣闊的應(yīng)用前景。金融全球化加劇了世界金融市場之間的相互依存度，日益開放的全球金融市場使得資本能夠在全球的金融市場間集中、迅速和自由地流動。無疑金融資本的自由流動提高了金融市場的效率，同時也極大地改變了金融市場的運轉(zhuǎn)和操作模式，但資本在流動過程中也給全球金融市場帶來了不穩(wěn)定的因素，金融市場波動頻繁，全球市場間傳導機制的作用進一步加大，從而金融風險也呈現(xiàn)更高的復雜性。金融的劇烈頻繁波動和金融危機的頻發(fā)使得風險管理成為世界各國備受關(guān)注的課題，對金融時間序列分析也提出了更高的要求。傳統(tǒng)的金融時間序列分析方法已經(jīng)不能滿足金融市場分析的需要，而Copula理論在金融市場分析中的應(yīng)用將金融時間序列分析推到了一個新的階段，為風險分析提供了新的工具。在此，本文簡要舉例說明基于Copula方法的金融時間序列模型的有關(guān)應(yīng)用。

最早將Copula引入金融研究的是市場風險管理?；陲L險價值（VaR）和其它度量最大損失的概率方法的風險管理需要不同的風險來源的相依結(jié)構(gòu)模型。McNeil等詳細闡述了Copula函數(shù)在市場風險管理中 的 應(yīng)用［22］48－55，Cherubini等 采用 Copula方法研究了投資組合的風險［1］［23］153－178；韋艷華等比較全面地介紹了Copula函數(shù)在中國金融市場中的應(yīng)用［24］74－121。

Copula在衍生品定價方面的應(yīng)用早期主要有信用違約互換和抵押債務(wù)擔保等。Li首先將Copula應(yīng)用在信用風險的分析上，Hofert等利用阿基米德Copula討論了CDO定價機制，還有一些文獻討論Copula函數(shù)在其它衍生品市場方面的應(yīng)用［25－28］。

在投資組合決策方面，主要是需要預測各種資產(chǎn)組合的聯(lián)合分布以便尋求投資者達到最大期望效用的投資權(quán)重，因而利用Copula來構(gòu)造這種聯(lián)合分布是最為方便的。Garcia等分析了涉及兩國國家的股票和債券的投資組合問題，吳振翔等使用Copula－GARCH模型研究了股票市場的投資組合風險［6，29］。

基于Copula理論的應(yīng)用早期幾乎都局限于二維的情形，直到最近幾年部分學者才集中于處理高維Copula的應(yīng)用，但一般也是五維以下，對于更高維的情形還少有涉及，當然對于二維Copula的研究仍然比較盛行。對高維Copula函數(shù)的構(gòu)造是受到Bedford等研究的啟發(fā)，采用基于pair－Copula構(gòu)造的藤結(jié)構(gòu)Copula模型（Vine Copula），目前還僅限于C－Vine和D－Vine兩種結(jié)構(gòu)，對于其它藤結(jié)構(gòu)的Copula模型還有待進一步的探求和研究［14－15］。Bedford等在簡單構(gòu)造模塊pair－Copula的基礎(chǔ)上引入了一種構(gòu)造復雜多元相關(guān)結(jié)構(gòu)模型的新方法，它將多元聯(lián)合密度函數(shù)分解成一系列pair－Copula模塊和邊緣密度函數(shù)的乘積，為Copula方法推廣到高維情況提供了理論基礎(chǔ)。當變量間不存在條件獨立性時，Vine－Copula模型的構(gòu)造不要求條件獨立假設(shè)，因而這種新的方法在描述高維相依結(jié)構(gòu)時就更為靈活。近年來，Vine－Copula被用于金融資產(chǎn)收益率和套期保值等一些金融數(shù)據(jù)的建模［13，30－32］。

七、研究展望

鑒于大多數(shù)應(yīng)用限于二維情形，筆者結(jié)合高維Copula建模最新進展，強調(diào)了一種新的多維Copula模型構(gòu)造方法，即Vine－Copula模型，該方法在描述高維相依結(jié)構(gòu)時具有很大的靈活性，而高維建模方法尚在探索階段，在算法的改進上還有很大的空間，筆者相信基于時變Copula函數(shù)的高維建模和應(yīng)用將是未來研究的熱點。

Copula函數(shù)可以用一種簡單的方式來描述變量間的復雜相依關(guān)系，因而在理論和應(yīng)用上都受到廣泛的重視，在分析變量間的關(guān)系時，允許事先分別對邊際分布進行建模，然后再利用適當?shù)腃opula函數(shù)來研究變量間的相依關(guān)系。對高維Copula函數(shù)的構(gòu)造研究和應(yīng)用是受到Bedford等工作的啟發(fā)，但由于統(tǒng)計推斷技術(shù)上的困難，高維Copula函數(shù)建模以及相應(yīng)的推斷方法尚處于初步發(fā)展階段，理論研究具有很大的發(fā)展前景。高維數(shù)據(jù)建?？梢圆捎锰贅?gòu)造方法，Bedford等引入了一種pair－Copula構(gòu)造（PCC）方法對復雜多元相關(guān)結(jié)構(gòu)模型進行分析，它將多元聯(lián)合密度函數(shù)分解成一系列pair－Copula模塊和邊緣密度函數(shù)的乘積，pair－Copula模塊構(gòu)造不要求條件獨立的假設(shè)，因此這種新的方法在描述高維相關(guān)構(gòu)建時具有很強的靈活性，為Copula方法推廣到高維情形提供了方法論基礎(chǔ)。理論上，可以對不同維度的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)采用Copula建模，但是模型估計和統(tǒng)計推斷方法很受限制，如何采用一種有效的估計方法對各種高維Copula模型進行估計，相應(yīng)的文獻很少。對于二維或三維的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來說，常常采用兩步極大似然估計法、半?yún)?shù)估計或者矩估計方法，采用貝葉斯估計的文獻相對較少。然而，貝葉斯估計法在很多多變量模型中被廣為采用，對于高維Copula模型的估計，利用貝葉斯估計所存在的技術(shù)上或理論上的困難還值得我們進一步思考和研究。

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A Review on Copula-based Financial Time Series Models

ZHANG Chao-feng1，2，ZHANG Li-min2
（1．School of International Trade and Economics，University of International Business and Economics，Beijing 100029，China；2．School of Mathematics and Finance-economics，Sichuan University of Arts and Science，Dazhou 635000，China）

This survey reviews the large and growing literature on Copula-based models for financial time series．Copula-based models have a very flexible property that they allow the researcher to specify the models for the marginal distributions separately from the dependence structure．This makes specifying and estimating the models more convenient and easier．The construction of the time series models，the choice of Copula function and inference methods as well as good-of-fit tests are reviewed．The last part is some applications of these Copulas for financial time series．

Copula function；dependence structure；financial time series

F830．9∶O212

A

1007－3116（2014）04－0003－07

2013－11－08；修復日期：2014－01－12

四川省自然科學基金項目《轉(zhuǎn)型期股市投資組合風險度量建模與實證研究》（13ZB0102）

張超鋒，男，河南嵩縣人，博士生，講師，研究方向：計量經(jīng)濟學及其應(yīng)用；

張莉敏，女，河南柘城人，理學碩士，講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學。

（責任編輯：崔國平）