基于數(shù)學建模的收入定位模型研究

蘭月新，李育安，蘇國強

（中國人民武裝警察部隊學院 基礎部，河北 廊坊 065000）

基于數(shù)學建模的收入定位模型研究

蘭月新，李育安，蘇國強

（中國人民武裝警察部隊學院 基礎部，河北 廊坊 065000）

構建理想狀態(tài)下收入定位的logistic模型和兩極分化條件下的收入定位的Gompertz模型，定義分化系數(shù)并研究兩極分化程度，通過計算模型關鍵點，確定中等收入等收入?yún)^(qū)間、對應人口比例及對應收入比例，并通過實驗數(shù)據(jù)進行模型驗證，定義了新的洛倫茲曲線，為深入研究經(jīng)濟理論、調節(jié)分配格局提供理論依據(jù)。

Gompertz模型；收入模型；兩極分化；中等收入；人口比例；收入比例

一、引 言

居民收入分配關系到廣大民眾的生活水平，分配公平程度是廣泛關注的話題，其中中等收入人口比重是反映收入分配格局的重要指標，這一人口比重越大，意味著收入分配結構越合理，稱之為“橄欖型”收入分配格局。在這種收入分配格局下，收入差距不大，社會消費旺盛，人民生活水平高，社會穩(wěn)定，因此研究中國中等收入定位問題具有重要意義。

國內外在中等收入者的度量方法上已有眾多研究。Blackburn等采用勞動收入的中位數(shù)作為劃分的依據(jù)，將中等收入者的收入下限定為中位數(shù)收入的0．6倍，上限定為中位數(shù)收入的2．25倍［1］；Levy將收入水平處于收入分布20%～80%的人口視為中等收入者［2］20－25［3］；Birdsall等定義人均家庭收 入在中位數(shù)收入的0．75倍和1．25倍之間的家庭為中等收入［4］；D′Ambrosio等利用變動點原理設定高、中、低收入階層的門限值［5］；狄煌認為中等收入的下限應略高于當年人均GDP，接近職工平均工資水平，上限定為起點的4倍比較合理，以2002年的數(shù)據(jù)測算，中國中等收入者的年收入范圍為1萬～4萬元［6］；Slimano則認為人均家庭收入處于30%～90%的家庭為中等收入［7］；Banerjee等則認為人均每天消費水平處于2～4美元和家庭平均每天消費水平處于6～10美元者為中等收入者［8］；段志民等立足于中等收入者的新定義，采用Esteban的極化分析思路，提出一種新的度量方法——EGR法［9－10］；

此外，中等收入人口的多少與兩極分化的程度有關，所謂兩極分化用密度函數(shù)表示時，嚴重右偏且厚尾，即中間部分空洞化。兩極分化與收入不平等是不同的概念，F(xiàn)oster等對這兩個概念進行了準確闡述，建立了一種指數(shù)，這種指數(shù)說明兩極分化的大小或嚴重程度，該指數(shù)擴大意味著兩極分化嚴重了，這時表示中等收入人口縮小了；反之若該指數(shù)縮小了，則意味著中等收入人口擴大了，但其并沒有給出測算中等收入人口比例大小的方法［11］。

雖然中等收入測算方法已有較多的研究，但仍存在的不足主要有：（1）收入?yún)^(qū)間上限和下限的取法具有任意性，由于經(jīng)濟進步、通貨膨脹等因素的影響，收入的區(qū)間是變化的，更多的情形是所有人口的收入都提高了，即全社會的收入?yún)^(qū)間右移，可見取法的任意性使得在縱向比較各年的中等收入人口時出現(xiàn)困難；（2）中等收入人口比例大多是人為約定，且不具備動態(tài)性，當收入分配發(fā)生變化時，比如收入范圍拉大，低端人口收入下降，高端收入人口收入增加，直觀上兩極分化擴大了，也即中等收入人口應該是下降了，然而中間60%的人口擁有的總收入比例仍是60%，這與經(jīng)濟直觀不符；（3）部分研究依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行定性分析得出的規(guī)律應用于確定中等收入?yún)^(qū)間，統(tǒng)計數(shù)據(jù)依賴性強，對將來的預測研究以及國家之間橫向對比研究缺乏支持。

區(qū)別于大部分研究中的統(tǒng)計建模方法，本文在研究收入、收入比例及對應人口比例相互關系基礎上，建立微分方程模型來研究收入分配規(guī)律，通過模型分析確定中等收入?yún)^(qū)間及其對應比例，并進行數(shù)據(jù)驗證分析，可以為制定合理的中等收入劃分標準提供參考。

二、中等收入定位模型研究

（一）約定與假設

假設x為收入，p為［0，x］區(qū)間中人口比例，L為［0，x］區(qū)間中人口擁有的總收入比例。顯然p＝p（x），L＝L（x），且均小于等于1。然而，在實際中，人口收入數(shù)據(jù)大多是調查統(tǒng)計得到的，是離散數(shù)據(jù)，不具有連續(xù)可微性，但由于事物發(fā)展變化的連續(xù)性以及有大量收入數(shù)據(jù)的支持，可以用連續(xù)函數(shù)來描述離散現(xiàn)象，所以本文假設p（x）、L（x）均為連續(xù)函數(shù)，以下簡稱p（x）為人口函數(shù)，L（x）為收入函數(shù)。

（二）收入分配的理想狀態(tài)模型

洛倫茲曲線定義為“最貧窮的人口計算起一直到最富有人口”的人口百分比對應其收入百分比的點組成的曲線，即消去x后，得到的p、L之間的函數(shù)關系L（p）。圖1中，曲線OA為洛倫茲曲線，直線OA為絕對平均分配，即理想收入狀態(tài)，折線OBA為絕對不平均分配［12］。

圖1 洛倫茲曲線圖

圖2 理想狀態(tài)收入曲線圖

通過模型分析，可以定義中等收入?yún)^(qū)間為［x1，x2］，其對應收入比例和人口比例均為57．74%；同理，可以得出低收入、高收入?yún)^(qū)間及對應比例，詳見圖3。通過此種方法確定收入?yún)^(qū)間避免了收入?yún)^(qū)間上限和下限的取法的任意性，從而使中等收入?yún)^(qū)間定義更加規(guī)范；另一方面，中等收入比例和人口比例均為57．74%，也與眾多文獻約定的60%相近，體現(xiàn)出本文建模結果與實際情況相符。

圖3 收入分層及比例圖

3．深入研究。然而，在實際情況中，理想狀態(tài)模型很少出現(xiàn)。收入分配經(jīng)驗分析說明，人口曲線是左偏的，收入曲線是右偏的，這也就是兩極分化的實質［13］。無論左偏還是右偏，理想模型曲線不再是對稱的，但仍是“S”曲線，所以應用Gompertz曲線描述收入、人口曲線會更合理一些［14］。另外，為更好地說明兩極分化程度，本文取人口曲線和收入曲線的拐點橫坐標之差來定義分化系數(shù)，即：

其中x99%代表p（x）＝99%時的收入。顯然F越小，兩極分化程度越小，F(xiàn)＝0時為理想收入狀態(tài)（圖4）。

圖4 兩極分化示意圖

（三）基于Gompertz的收入模型研究

1．Gompertz模型。在兩極分化前提下，收入模型、人口模型宜用Gompertz模型，其模型一般形態(tài)為：

其中r＞0為最大增長率（定值，與經(jīng)濟模式有關），y0為初值。

本文確定中等收入及其對應人口比例的基本思想（圖5）：首先，通過模型L（x）計算兩個特征點x1、x2，確定中等收入?yún)^(qū)間［x1，x2］；其次，將x1、x2代入p（x）計算p（x1）、p（x2），確定中等收入人口比例范圍［p（x1），p（x2）］。

圖5 確定中等收入人口基本思想圖

2．模型分析與研究。收入比例L（x）、人口比例p（x）的Gompertz模型為：

通過模型分析，可以得出中等收入?yún)^(qū)間為［x1，x2］，其對應收入比例為60．85%；同理，低收入所占收入比例為7．3%，高收入對應收入比例為31．75%（圖6）。

綜合以上，得出基于Gompertz模型的三種收入及其對應比例，見表1。

圖6 L（x）中等收入?yún)^(qū)間及其對應收入比例

表1 收入空間分析

三、數(shù)據(jù)驗證分析

（一）數(shù)據(jù)來源

實際工作中由于保密或保護隱私的原因，理論與應用分析人員不能獲得收入分配抽樣調查數(shù)據(jù)，能得到的可能是所謂的分組數(shù)據(jù)，這種數(shù)據(jù)的完整形式為：

其中xi是收入?yún)^(qū)間點，滿足0≤x1＜x2＜…＜xn＜xn＋1，通常xn＋1理解為充分大的正數(shù)，pi是第i個低收入端的累計人口比例，Li是該人口組所擁有總收入的比例，［0，xi］是該人口組所在的收入?yún)^(qū)間，μ是平均收入。n通常不大，例如n＝10。很多國家只提供上式描述的數(shù)據(jù)，經(jīng)濟學界只能利用這種稀疏的信息進行收入分配分析。為驗證模型，本文選取參考文獻［15］中的數(shù)據(jù)（表2）研究模型。

表2中［Xj，Xj＋1］是收入?yún)^(qū)間，單位為元，fj是該區(qū)間內的人口比例，pj是［0，Xj＋1］中人口比例，Lj是［0，Xj＋1］中人口擁有的總收入比例，總平均收入μ＝6 603元。根據(jù)模型需要本文取收入?yún)^(qū)間［Xj，Xj＋1］的中點數(shù)據(jù)xj作為收入變量數(shù)據(jù)。

（二）模型驗證

本文模型驗證思路如圖7所示。

表2 收入分配分組數(shù)據(jù)表

圖7 模型驗證思路圖

應用Matlab擬合xj、pj、Lj數(shù)據(jù)，得出收入比例模型、人口比例模型為：

于是得出實驗數(shù)據(jù)對應的收入情況見表3。通過表3得出：實驗數(shù)據(jù)兩極分化程度明顯，主要體現(xiàn)在：低收入人口比例為31．29%，所占收入比例為7．3%，相差較大，15．59% 的高收入人口對應收入比例為31．75%，所占比例過高，而中等收入人口比例為53．12%，所占收入比例為60．85%，差距不大。

圖8 曲線擬合效果圖

表3 實驗數(shù)據(jù)的收入空間分析表

四、結 論

本文通過構建微分方程模型，分別研究了理想狀態(tài)下的收入模型、兩極分化狀態(tài)下的收入模型，計算了模型的特征點，確定了中等收入等三類收入的劃分方法，解決了以前研究中區(qū)間設置隨意性問題，并在此基礎上研究三類收入對應的人口比例、收入比例及影響關鍵區(qū)間的參數(shù)，這一點便于深入研究經(jīng)濟理論，也為調節(jié)分配格局提供了理論依據(jù)。

［1］ Blackburn M，Bloom D．What is Happening to the Middle Class？［J］．Am．Demogr，1985，7（1）．

［2］ Levy F．Dollars and Dreams：The Changing American Income Distribution［M］．New York：Sage，1987．

［3］ Levy F．The Middle Class：Is It Really Vanishing？［J］．Brookings Rev．，1987（3）．

［4］ Birdsall N，Graham C，Pettinato S．Stuck in the Tunnel：Is Globalization Muddling the Middle Class？［R］．Brookings Institution，Center on Social and Economic Dynamics，Working Paper No．14，2000．

［5］ D′Ambrosio C，Muliere P，Secchi P．Income Thresholds and Income Classes［R］．Working Paper，University Bocconi，Milano，Italy，2002．

［6］ 狄煌．合理界定中等收入者［N］．經(jīng)濟參考報，2003－02－12（E2）．

［7］ Solimano A．The Middle Class and the Development Process［C］．Santiago Chile：Economic Commission for Latin America and Caribbean（ECLAC），2008．

［8］ Banerjee A，Duflo E．What is Middle Class about the Middle Classes around the World？［J］．Journal of Economic Perspective，2008，22（2）．

［9］ Esteban J，Gradin C，Ray D．Extensions of a Measure of Polarization，with an Application to the Income Distribution of Five OECD Countries［R］．Working Paper No．218，1999．

［10］段志民，白雪梅．中等收入者度量方法的比較研究［J］．調研世界，2013（8）．

［11］Foster J E，Wolfson M C．Polarization and the Decline of the Middle Class：Canada and the U．S．［J］．Journal of Economic Inequality，2009（8）．

［12］俞翰君．洛倫茲曲線的半?yún)?shù)估計［J］．統(tǒng)計與信息論壇，2013（5）．

［13］祁丹丹，王青．加入WTO以來我國農民收入變動趨勢分析及收入預測［J］．西北農林科技大學學報：社會科學版，2011，11（2）．

［14］朱正元，陳偉侯，陳豐．Logistic曲線與 Gompertz曲線的比較研究［J］．數(shù)學實踐與認識，2003，33（10）．

［15］全國研究生數(shù)學建模競賽E題［EB／OL］．（2013－9－21）［2014－01－20］．http：／／www．nyjsmm．csu．edu．cn／phd／zlxz／140．html．

Research on Income Positioning Model Based on Mathematical Modeling

LAN Yue-xin，LI Yu-an，SU Guo-qiang

（Foundation Department，The Chinese People＇s Armed Police Forces Academy，Langfang 065000，China）

To construct the model of logistic positioning income under ideal condition and the Gompertz model under the condition of income polarization orientation，the definition of coefficient of differentiation of polarization degree，by calculating the key point，determine the middle-income income interval，corresponding to the proportion of the population and the corresponding income ratio，and model is validated by experimental data，the definition of a new Lorenz curve，for further research on the economic theory，provides the theory basis for adjusting distribution pattern．

Gompertz model；revenue model；polarization；middle income；population；income ratio

F224．0∶O212．1

A

1007－3116（2014）07－0035－06

2014－03－07

蘭月新，男，河北承德人，理學碩士，講師，研究方向：應用數(shù)學；

李育安，男，河北大悟人，經(jīng)濟學博士，副教授，研究方向：應用統(tǒng)計；

蘇國強，男，河北文安人，理學碩士，教授，研究方向：應用數(shù)學。

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（責任編輯：崔國平）