基于分層阿基米德Copula的金融時(shí)間序列的相關(guān)性分析

張連增，胡 祥

（南開(kāi)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，天津 300071）

基于分層阿基米德Copula的金融時(shí)間序列的相關(guān)性分析

張連增，胡 祥

（南開(kāi)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，天津 300071）

與阿基米德copula相比，分層阿基米德copula（HAC）的結(jié)構(gòu)更具一般性，而相比于橢圓型copula它的待估參數(shù)個(gè)數(shù)更少。用兩階段極大似然法來(lái)估計(jì)HAC函數(shù)，主要的步驟是先估計(jì)出每個(gè)分量的邊際分布，以此為基礎(chǔ)再估計(jì)copula函數(shù)。實(shí)證分析中，采取Clayton和Gumbel型的HAC分析四只股票價(jià)格序列之間的相關(guān)性。在得出HAC的結(jié)構(gòu)和估計(jì)其參數(shù)之前，運(yùn)用ARMA－GARCH過(guò)程消除了序列的自相關(guān)性和條件異方差。通過(guò)比較赤遲信息準(zhǔn)則，認(rèn)為完全嵌套的Gumbel型HAC能更好地刻畫(huà)這種相關(guān)性。

分層阿基米德copula；兩階段極大似然法；ARMA－GARCH過(guò)程；金融時(shí)間序列

一、引 言

在量化風(fēng)險(xiǎn)管理中，如何有效地刻畫(huà)多個(gè)金融資產(chǎn)之間的關(guān)系始終是研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。copula作為分析多個(gè)隨機(jī)變量之間相關(guān)性的有效工具，在該領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，引起了廣泛的關(guān)注。

Jondeau等利用t－copula分析了4個(gè)股票市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)之間的相關(guān)性［1］；針對(duì)17個(gè)國(guó)家交易所交易指數(shù)基金數(shù)據(jù)，Serban等分別用多維BEEK和copula模型分析了該組數(shù)據(jù)的特征，認(rèn)為copula模型更能描述數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性［2］；Sun等研究了基于copula－ARMA－GARCH模型的多只股票價(jià)格的尾部相關(guān)性［3］；Patton則提出用時(shí)變copula分析時(shí)間序列之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系［4］。基于copula的時(shí)間序列的專(zhuān)著，可以參考Patton的研究［5］。

以上研究中，學(xué)者們使用的copula函數(shù)類(lèi)主要有橢圓型copula、阿基米德copula。這兩種copula函數(shù)類(lèi)在數(shù)學(xué)上具備很多優(yōu)良的性質(zhì)，但現(xiàn)實(shí)的情況是，這些良好的性質(zhì)往往會(huì)限制它們的應(yīng)用。例如：對(duì)于k維的橢圓型copula，其待估參數(shù)的個(gè)數(shù)有k（k＋1）／2個(gè)并且邊際分布通常限定為橢圓型分布；對(duì)于任意維數(shù)的阿基米德copula，它滿足交換律并且通常只需要估計(jì)一個(gè)生成元即可，因?yàn)楦鱾€(gè)分量之間的相關(guān)性是完全相同的［6］1－269。

本文引入一類(lèi)更適用的copula函數(shù)類(lèi)，即分層阿基米德copula。一方面，與橢圓型copula相比較，其待估參數(shù)的個(gè)數(shù)較少，并且邊際分布的選取更廣泛；另一方面，較之阿基米德copula，分層阿基米德copula的各個(gè)分量之間的相關(guān)性可以不同，兩兩之間的相依結(jié)構(gòu)可以是不同的。

二、分層阿基米德copula

分別用 AC（Archimedean copula）和 HAC（hierarchical Archimedean copula）表示阿基米德copula和分層阿基米德copula。在引入HAC之前，先給出copula函數(shù)和AC的定義。

對(duì)于k維連續(xù)聯(lián)合分布函數(shù)F，其相應(yīng)的copula函數(shù)C：［0，1］k→［0，1］可表示為：

圖1給出了4維AC、全嵌套HAC和部分嵌套HAC的結(jié)構(gòu)圖及相應(yīng)的參數(shù)，需要說(shuō)明的是在該圖中并沒(méi)有指定生成元的函數(shù)的類(lèi)型。

33圖1 AC與HAC結(jié)構(gòu)圖

理論上，對(duì)于維數(shù)為k的HAC，需要確定其最優(yōu)的結(jié)構(gòu)，但是隨著k的增加，可能的結(jié)構(gòu)有2k－k－1個(gè)，篩選的過(guò)程將很復(fù)雜［8］。在實(shí)際應(yīng)用中，通常以完全嵌套的HAC作為備選的結(jié)構(gòu)并且假定其生成元的函數(shù)類(lèi)型是相同的，其原因是：（1）完全嵌套的HAC的結(jié)構(gòu)最具一般性，任何一個(gè)部分嵌套的HAC都可以視為其特例，見(jiàn)圖1；（2）在金融時(shí)間序列建模時(shí)，如果提高估計(jì)的精度，在生成元函數(shù)相同的情況下，那么多個(gè)資產(chǎn)兩兩之間的相關(guān)性參數(shù)可以認(rèn)為是完全不同的。鑒于此，本文用完全嵌套的HAC來(lái)研究金融時(shí)間序列之間的相關(guān)性。

三、分層阿基米德copula的估計(jì)

關(guān)于copula理論的一個(gè)重要的研究?jī)?nèi)容是關(guān)于其估計(jì)的問(wèn)題。copula函數(shù)的估計(jì)方法有很多，如廣義矩方法和極大似然法。在理論上，與廣義矩方法相比，極大似然法得出的估計(jì)量具備有效性和相合性的特征，應(yīng)用會(huì)更加廣泛，因此本文只討論基于極大似然法的完全嵌套 HAC的估計(jì)［9］1－111。

極大似然法的基本步驟是，首先構(gòu)建對(duì)數(shù)似然函數(shù)，然后通過(guò)極大化該函數(shù)得出相應(yīng)的參數(shù)的估計(jì)值。由于copula函數(shù)的估計(jì)問(wèn)題既涉及到每個(gè)隨機(jī)變量的邊際分布又要考慮其聯(lián)合分布，因此極大似然法又可以分為一階段極大似然法和兩階段極大似然法。前者的主要思路是通過(guò)一步極大化的過(guò)程，同時(shí)估計(jì)出邊際分布的參數(shù)和copula函數(shù)的參數(shù)；而兩階段極大似然法是先估計(jì)出每個(gè)變量邊際分布的參數(shù)，然后將其代入copula函數(shù)，再估計(jì)相應(yīng)的copula的參數(shù)。本文只討論兩階段極大似然法。

需要指出的是，在上述方法中，第一階段是通過(guò)參數(shù)的方法來(lái)估計(jì)邊際分布Fi（xi；αi），當(dāng)然也通過(guò)非參數(shù)的方法估計(jì)Fi，隨后在已知邊際分布的基礎(chǔ)上，估計(jì)出copula的參數(shù)θi，i＝1，2，…，k。按照這里所說(shuō)的邊際分布估計(jì)方法的不同，一般稱前者為copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)方法，后者為copula函數(shù)的半?yún)?shù)估計(jì)方法。

四、實(shí)證分析

現(xiàn)用HAC分析A股市場(chǎng)四只股票：貴州茅臺(tái)、海通證券、建設(shè)銀行和中國(guó)人壽的相關(guān)性，股票的選取完全是隨機(jī)的。價(jià)格樣本取值于2010年4月9日至2013年4月8日每個(gè)交易日的收盤(pán)價(jià)，數(shù)據(jù)來(lái)自于銳思數(shù)據(jù)庫(kù)?？紤]到股票交易時(shí)，某些股票會(huì)在一段時(shí)間出現(xiàn)停盤(pán)的情況，為保證這四只股票的樣本容量的一致，將在某一天至少有一只股票停盤(pán)時(shí)的數(shù)據(jù)刪除，這樣共獲取了693個(gè)交易日數(shù)據(jù)。另外，需要指出的是，本文實(shí)證分析部分所得出的結(jié)果，都是通過(guò)R軟件的fGarch包、copula包和HAC包實(shí)現(xiàn)的。

（一）ARMA－GARCH模型

在分析這四只股票收益率之前，先引入ARMA－GARCH模型。研究表明，ARMA－GARCH模型能夠很好地消除序列相關(guān)性并且能描述序列的異方差特征［10］183－191。

由于金融時(shí)間序列往往存在尖峰厚尾的特征，在式（9）中，νt的分布函數(shù)類(lèi)型并不僅僅局限為正態(tài)分布。更一般地，νt可以服從t分布、有偏的t分布或者廣義誤差分布（GED），這三個(gè)分布都具有比正態(tài)分布更厚的尾部。事實(shí)上，只有準(zhǔn)確地?cái)M合了νt的分布才能得出Rt的分布。正如在前文所介紹，擬合νt的分布可以看作兩階段極大似然法的第一階段。

圖2 四只股票價(jià)格和對(duì)數(shù)化收益率的趨勢(shì)圖

選取Series 1作為研究對(duì)象，首先確定ARMA過(guò)程的階數(shù)以消除序列的自相關(guān)性，其次確定GARCH的階數(shù)以克服殘差序列的異方差性，最后得到νt的分布。至于Series 2、Series 3和Series 4的分析過(guò)程是類(lèi)似的，本文只給出估計(jì)的結(jié)果。

圖3是｛R1，t｝的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖。從圖3可以看出，該系列存在自相關(guān)。同時(shí)，在表1中計(jì)算了｛R1，t｝的滯后多期的Ljung－Box統(tǒng)計(jì)量的值和相應(yīng)的p值。Ljung－Box統(tǒng)計(jì)量可以作為判斷序列自相關(guān)的依據(jù)。表1的結(jié)果顯示，各個(gè)Ljung－Box統(tǒng)計(jì)量的p值較小，可以拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為｛R 1 ，t｝存在自相關(guān)。

圖3 ｛R1，t｝的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖

表1 ｛R 1，t｝的Ljung－Box檢驗(yàn)結(jié)果表

用ARMA過(guò)程來(lái)消除｛R1，t｝的自相關(guān)性時(shí)，主要的問(wèn)題是如何確定ARMA的階數(shù)。本文是通過(guò)比較不同階數(shù)的ARMA過(guò)程的赤遲信息準(zhǔn)則（AIC）和貝葉斯信息準(zhǔn)則（BIC）來(lái)確定的，見(jiàn)表2。AIC和BIC的值越小，表明ARMA過(guò)程擬合的效果越好［5］。表2的結(jié)果顯示，相比之下，ARMA（1，1）過(guò)程效果最好。

表2 不同階數(shù)ARMA過(guò)程的AIC和BIC的值

以ARMA（1，1）模型消除序列｛R1，t｝的自相關(guān)性后，在圖4給出｛ε1，t｝的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)圖，從圖中可以看出｛ε1，t｝是不相關(guān)的。

圖4 ｛ε1，t｝的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖

表3 用四種不同分布擬合ν1，t時(shí)AIC和BIC的值

基于以上的分析，可以完全確定關(guān)于Series 1的ARMA－GARCH模型。類(lèi)似的方法，可以得出關(guān)于Series 2～4的ARMA－GARCH模型。具體的估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表4。在表4中，第一列最后一行的參數(shù)η表示t分布的自由度參數(shù)；每一行括號(hào)內(nèi)的數(shù)值表示相應(yīng)參數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差。

表4 用ARMA－GARCH過(guò)程估計(jì)Series1～4的結(jié)果

（二）HAC模型

通過(guò)ARMA－GARCH模型估計(jì)出四個(gè)時(shí)間序列的有關(guān)參數(shù)后，可以進(jìn)一步得到Ri，t的條件分布Fi：

其中i＝1，2，3，4，tηi（·）表示自由度為ηi的t分布函數(shù)，F(xiàn)i，t＝σ（Ri，s，s≤t）為所有的Ri，s，s≤t所生成的σ代數(shù)。這就完成了兩階段極大似然估計(jì)的第一階段。兩階段極大似然法的第二階段是估計(jì)copula函數(shù)。鑒于這四個(gè)序列兩兩之間的相關(guān)性可能不同（見(jiàn)圖2），這里選用完全嵌套的HAC而不是一般的AC進(jìn)行分析。

將生成元類(lèi)型固定為Clayton或Gumbel型，那么四元完全嵌套HAC將有三個(gè)待估參數(shù)，并且這些參數(shù)隨著HAC層數(shù)的遞進(jìn)依次減小，即在HAC的最低層是相關(guān)性最強(qiáng)的兩個(gè)序列構(gòu)成一個(gè)二元AC，依次類(lèi)推，算法的基本步驟為：

第四步：得出不同生產(chǎn)元的HAC的結(jié)構(gòu)之后，通過(guò)AIC的比較，選取AIC的值最小的那個(gè)生成元即為最優(yōu)。

由上述的算法對(duì)X1，X2，X3，X4的相關(guān)性進(jìn)行分析，在圖5中給出了生成元為Clayton和Gumbel型的完全嵌套HAC的結(jié)構(gòu)。從圖中可以看出，無(wú)論選取哪一種類(lèi)型的生產(chǎn)元，HAC的結(jié)構(gòu)是不變的，即中國(guó)人壽和海通證券的相關(guān)性最強(qiáng)，其次是與建設(shè)銀行，最后是與貴州茅臺(tái)。這與我們對(duì)圖1的觀察結(jié)果一致，中國(guó)人壽、海通證券和建設(shè)銀行的走勢(shì)趨同，而貴州茅臺(tái)的走勢(shì)呈現(xiàn)不同特征；另外，考慮到中國(guó)人壽、海通證券和建設(shè)銀行同屬于金融板塊，而貴州茅臺(tái)來(lái)自釀酒板塊，因此本文得出的結(jié)論符合實(shí)情。

圖5 完全嵌套HAC的估計(jì)結(jié)果圖

表5給出了生成元為Clayton和Gumbel型的完全嵌套HAC的每一層參數(shù)的估計(jì)結(jié)果和AIC的值，括號(hào)內(nèi)的數(shù)值表示參數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差。表中的＾θ（1），＾θ（2）和＾θ（3）分別表示 HAC 在從最低層到最高層的參數(shù)估計(jì)值，數(shù)值依次減小，通過(guò)這些數(shù)值可以計(jì)算有關(guān)的相依系數(shù)［6］。最后，通過(guò)比較AIC的值判定完全嵌套的Gumbel copula更優(yōu)。

表5 Clayton和Gumbel型的完全嵌套HAC的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

五、總結(jié)與展望

在描述多個(gè)金融資產(chǎn)相關(guān)性時(shí)，如果選取阿基米德copula或者橢圓型copula，那么就默許了多個(gè)資產(chǎn)兩兩之間的相關(guān)性是一樣的，這有時(shí)與實(shí)際情況并不吻合。在本文的實(shí)證分析中，就可以看出這種差異性。分層阿基米德copula特別是完全嵌套的分層阿基米德copula能很好地克服這個(gè)問(wèn)題，一方面它能夠按照相關(guān)性的強(qiáng)弱依次選取變量構(gòu)成不同的層，另一方面它的結(jié)構(gòu)十分清楚，每一層都構(gòu)成一個(gè)二元的阿基米德copula，并且相關(guān)性依次遞減。

準(zhǔn)確地描述資產(chǎn)之間的關(guān)系對(duì)決策人確定最優(yōu)投資組合策略和控制風(fēng)險(xiǎn)具有重要的意義［4］?；诒疚乃贸龅慕Y(jié)果，完全確定了每只股票對(duì)數(shù)化收益率的分布以及它們的聯(lián)合分布，這樣就可以計(jì)算相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，如VaR和TVaR等。

需要指出的是，本文在研究方面存在一定的局限性，以下的后續(xù)工作有待研究：一是在更加廣泛的函數(shù)類(lèi)里面選取生成元函數(shù)，分析分層阿基米德copula的結(jié)構(gòu)并估計(jì)有關(guān)參數(shù)。因?yàn)椴煌纳稍獩Q定了不同類(lèi)型的copula函數(shù)，而不同類(lèi)型的copula函數(shù)刻畫(huà)著不同的相依結(jié)構(gòu)。二是需要考慮分層阿基米德copula估計(jì)方法的穩(wěn)健性。本文采取兩階段極大似然法估計(jì)copula函數(shù)，每一階段的估計(jì)效果都對(duì)最終結(jié)果產(chǎn)生影響。如果在某個(gè)階段估計(jì)出現(xiàn)偏差，例如對(duì)于本文的實(shí)證分析，在第一階段錯(cuò)誤地認(rèn)為白噪聲序列服從的是正態(tài)分布而不是t分布，那么基于這樣的結(jié)論，分層阿基米德copula的結(jié)構(gòu)和參數(shù)估計(jì)是否會(huì)出現(xiàn)偏差？三是準(zhǔn)確地度量尾部的風(fēng)險(xiǎn)。本文分析了金融序列整體的相關(guān)性，但是對(duì)決策者而言，有時(shí)候多個(gè)金融資產(chǎn)的尾部風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系更加重要，然而尾部的數(shù)據(jù)通常較少，這就需要更有效的方法來(lái)捕捉這種尾部相關(guān)性。

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Dependence Analysis of Financial Time Series Based on Hierarchical Archimedean Copula

ZHANG Lian-zeng，HU Xiang
（School of Economics，Nankai University，Tianjin 300071，China）

In this paper，we introduce the hierarchical Archimedean Copula （HAC）which is more flexible compared with the simple Archimedean Copula，and require a smaller number of parameters compared to elliptical copula．The 2－step maximum likelihood method is discussed which estimates the marginal distribution functions and Copula function，separately．For empirical study，we apply HAC with Clayton and Gumbel generators for modelling the dependence of four stocks，respectively．The ARMAGARCH process is used to model the series correlation and the conditional heteroscadesticity in each financial time series．The best structure and the estimation of the parameters of HAC are also

．In summary，based on Akaike information criterion，we conclude that the fully nested HAC with Gumbel generator exhibits better performance in this case．

hierarchical Archimedean Copula；2－step maximum likelihood method；ARMA－GARCH process；financial time series

F224．0∶O212．1

A

1007－3116（2014）06－0034－07

2013－12－06

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金《金融工程與精算學(xué)中的定量風(fēng)險(xiǎn)管理統(tǒng)計(jì)模型與方法》（NKZXTD1101）；國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目《非壽險(xiǎn)定價(jià)與索賠準(zhǔn)備金評(píng)估的分層模型研究》（71271121）

張連增，男，山東萊蕪人，理學(xué)博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：風(fēng)險(xiǎn)管理與精算；

胡 祥，男，安徽安慶人，博士生，研究方向：風(fēng)險(xiǎn)管理與精算。

（責(zé)任編輯：崔國(guó)平）