基于四元數(shù)的彩色圖像邊緣檢測研究

黃 鑫

（武警廣東總隊司令部，廣東 廣州 510660）

1 引 言

人們感知自然界中的色彩是一種感知現(xiàn)象，即可見光中任意波長的光都對應(yīng)一種被感知的色彩，而不是光線本身的物理特征。典型的彩色圖像的處理方法有兩種，一種是針對彩色圖像中各顏色分量進(jìn)行分別處理，然后再進(jìn)行合成；另一種方法是對彩色圖像的像素進(jìn)行處理，其中邊緣檢測是最為經(jīng)典的方法。圖像的邊緣通常是圖像的灰度或者顏色發(fā)生劇烈變化的地方，而這些變化往往是由物體的形狀結(jié)構(gòu)、外部的環(huán)境光照和物體的表面對光線反射造成的。圖像的邊緣能直接反應(yīng)物體的輪廓和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)信息。

一般而言，考察每個像素在某個鄰域內(nèi)的亮度差信息時傳統(tǒng)的邊緣提取算法的實現(xiàn)依據(jù)，然而亮度差信息往往忽視了彩色圖像的彩色信息。在現(xiàn)實生活中，人眼在觀察物體或圖像的感受則是顏色和亮度同時刺激視網(wǎng)膜上的神經(jīng)元，其中顏色往往使人的感受更加強(qiáng)烈。因此，利用傳統(tǒng)的邊緣檢測方法損失了大量的顏色信息，顯然會造成檢測不準(zhǔn)確的問題。事實上，顏色的跳變通常更能反映圖像的邊緣信息。

彩色圖像的邊緣檢測一般可采用如下3種方法實現(xiàn)：（1）首先將彩色圖像轉(zhuǎn)換為灰度圖像，利用經(jīng)典的灰度圖像邊緣檢測方法予以實現(xiàn)邊緣檢測；（2）對彩色圖像中像素的彩色分量分別實施灰度圖像的邊緣檢測，最后在合成出最終的邊緣檢測結(jié)果；（3）利用矢量處理方法，即將彩色圖像用一種矢量的方法予以整體處理，如色彩差分、矢量點乘等等［1－3］。

1987年Kass等人首次提出了主動輪廓模型（active contour model），又稱snake模型。Snake模型通過定義一個與輪廓有關(guān)的能量函數(shù)，來表征輪廓的形狀變化和行為變化使能量函數(shù)值趨向于變小的過程。當(dāng)該能量函數(shù)達(dá)到最小值時，輪廓形狀才定型、輪廓變化才停止。構(gòu)造能量函數(shù)一般將圖像特征、目標(biāo)特征、邊緣特征、文理特征全面考察，再使snake輪廓收斂于圖像中的目標(biāo)上。

傳統(tǒng)的snake檢測方法主要存在問題包括，初始位置敏感、檢測效果依賴于能量函數(shù)模型的優(yōu)劣等等。另外，這種檢測也多見于灰度圖像檢測，在檢測過程中存在信息和能力的損失。本文就彩色圖像的邊緣檢測進(jìn)行討論，首先依據(jù)彩色圖像的四元數(shù)表示，從而避免信息和能力的損失，然后利用snake模型實現(xiàn)彩色圖像的邊緣檢測。

2 彩色圖像的四元數(shù)表示

前文指出，傳統(tǒng)的灰度圖像邊緣檢測方法在進(jìn)行彩色圖像邊緣檢測時經(jīng)常會失效，其原因在于常規(guī)邊緣檢測方法丟失了彩色圖像的彩色信息或不能正確表達(dá)彩色信息。致使在進(jìn)行邊緣檢測過程中可依賴的信息殘缺不全，最終獲得的檢測結(jié)果與預(yù)想差距十分遙遠(yuǎn)。為此，在進(jìn)行才彩色邊緣檢測時，首先需要解決的問題是對圖像色彩信息的有效表達(dá)上。

目前，利用四元數(shù)描述彩色圖像已經(jīng)廣泛被學(xué)術(shù)界認(rèn)同，該方法利用矢量的思想對彩色圖像的顏色信息能夠全面表示，在最終的處理結(jié)果上也獲得了良好的效果。四元數(shù)最早是由Hamilton在1853年提出的，其形式為：q＝a＋ib＋jc＋kd，其中a，b，c，d∈R；i，j，k滿足關(guān)系i2＝j(luò)2＝k2＝－1，ij＝－ji＝k，jk＝－kj＝i，ki＝－ik＝j(luò)，則q為四元數(shù)，而稱a為四元數(shù)q的實部，稱ib＋jc＋kd為四元數(shù)q的虛部。

當(dāng)實部為零時，稱四元數(shù)為純四元數(shù)。利用RGB模式表征的彩色圖像的四元數(shù)表示可以用下式表達(dá)：

其中：r、g、b分別表示紅、綠、藍(lán)3種顏色分量的亮度值，即利用矢量的方法將一幅彩色圖像中所有信息都全面表示出來了。從而使得在進(jìn)行邊緣檢測時，可依據(jù)的信息變得非常全面［4－6］。

3 Snake模型原理

在Snake模型即活動輪廓模型，是一條能量參數(shù)曲線。輪廓跟蹤的最小能量函數(shù)是外力和內(nèi)力的加權(quán)和來表征的，所謂內(nèi)力是通過Snake權(quán)限的形狀計算得到；外力是從圖像中獲得或從更高級的圖像處理中得到。參數(shù)化的Snake曲線被定義為V（s）＝［x（s），y（s）］，這里x（s）和y（s）是輪廓的坐標(biāo)值，其中弧s∈［0，1］，其最小化能量函數(shù)可以定義為

其中：Snake曲線因為彎曲產(chǎn)生的內(nèi)部能力可以表示為

于是通過一階導(dǎo)數(shù)求取最小化能量＾Esnake的曲線V（s）必須滿足：

聯(lián)立式（2）和式（4）可以簡化式（3）得：

曲線的總能量可以用輪廓的彈性勢能、輪廓的彎曲勢能和圖像有關(guān)的外部能量三項累加獲得。其中外部能量是活動輪廓模型的關(guān)鍵，即描述了用何種數(shù)學(xué)表達(dá)來描述所要分割的物理邊緣。Snake模型是把圖像中感興趣的物體輪廓看作一條連續(xù)的、封閉的或開放的鏈條結(jié)構(gòu)，并設(shè)計了一類能量函數(shù)，通過求取能量最小值，來獲得最優(yōu)輪廓［7－8］。

Snake模型在進(jìn)行圖像邊緣檢測時具有很好的性能，但也有其局限性，主要表現(xiàn)在活動輪廓模型常導(dǎo)致能量函數(shù)收斂于局部最?。徊⑶译y于收斂到邊界的凹陷位置。尤其針對彩色圖像，其邊緣信息較豐富，存在許多不規(guī)則邊界凹陷部分。為此，要獲得好的彩色圖像邊緣檢測效果，必須在原有的Snake模型上進(jìn)行改進(jìn)。本文考慮到彩色圖像時利用四元數(shù)進(jìn)行描述的，而雙四元數(shù)通過傅里葉變換可以獲得圖像局部的顯著性特征，利用這一特性來獲取圖像的粗輪廓，然后采用3×3模板構(gòu)造活動輪廓的能量函數(shù)，從8個方向上求取梯度實現(xiàn)能量收斂，從而實現(xiàn)邊緣逼近［6－9］。

4 雙四元數(shù)和Snake邊緣檢測算法

4.1 雙四元數(shù)傅里葉變換計算輪廓

眾所周知，圖像的頻率是表征圖像中色彩變化劇烈程度的指標(biāo)，是色彩／能量在平面空間上的梯度。如：廣闊的藍(lán)天或草地在圖像中是一片色彩變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值很低；而對于圖像中天際線的位置其顏色屬性變換相對劇烈，即圖像中色彩變化劇烈的區(qū)域往往是圖像的邊緣區(qū)域，所對應(yīng)的頻率值也相對較高。利用傅立葉變換可以很好地對圖像的邊緣和頻率進(jìn)行表征和變換計算。設(shè)f是一個能量有限的模擬信號，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來處理的。

為此，用雙四元數(shù)表示彩色圖像，通過傅里葉變換獲得該圖像的譜，邊緣區(qū)域表征譜值較高的色彩變化劇烈的區(qū)域，從而可以獲得彩色圖像的粗邊緣輪廓。

設(shè)二維圖像表示為f（x，y），其雙四元數(shù)的表示形式如下：

通過線性變換，可將基i，j，k變換為復(fù)正交基μ，v，ξ，其中 μ⊥v，v⊥ξ，μ⊥ξ，μv＝ξ，μvξ＝－1，μ，v，ξ都是純雙四元數(shù)。在新的復(fù)正交基系統(tǒng)中，f（x，y）可描述為：

由于彩色圖像的f0（x，y）＝0，對上式進(jìn)行快速傅里葉變換可表示為

這里顯然F（u，v）也是一個四元數(shù)，通過對其頻譜函數(shù)進(jìn)行分析，即可得到彩色圖像的粗輪廓［8－11］。

4.2 利用Snake模型獲取最終邊緣

前面給出了雙四元數(shù)傅里葉變換的基本方法，即從頻域的角度在保證彩色圖像顏色信息的前提下的彩色圖像粗輪廓，接下來需要利用活動輪廓模型進(jìn)一步得到最終的彩色圖像邊緣檢測。由于Snake模型中定義的能量函數(shù)在迭代中可能出現(xiàn)局部極值，并且迭代結(jié)果好壞與初始輪廓直接相關(guān)，為進(jìn)一步完成Snake迭代，將在梯度向量場的8個方向上進(jìn)行，從而改進(jìn)原有模型缺陷。

具體算法可以表述如下：

（1）讀入待處理的彩色圖像；

（2）對待處理的彩色圖像進(jìn)行四元數(shù)傅里葉變換后得到的結(jié)果作為Snake算法模型的初始Edge（V（s））；

（3）在梯度矢量場中，使用8個方向上分量進(jìn)行迭代，迭代結(jié)果作為Snake算法模型中的外力表達(dá)；

（4）在當(dāng)前鄰域內(nèi)找到能量函數(shù)的最小像素點；對能量函數(shù)完成迭代直到收斂。

4.3 仿真實驗分析

為了對算法進(jìn)行檢驗，本文給出了3組實驗用來驗證算法的可行性和檢測效果。第一組實驗用一幅彩色色帶圖像，分別對其顏色分量進(jìn)行檢測，通過對比灰度邊緣和基于雙四元數(shù)Snake算法的邊緣檢測的可行性；第二組采用經(jīng)典的Lena圖像進(jìn)行彩色邊緣檢測和Sobel邊緣檢測，主要檢驗算法的邊緣檢測效果；第三組實驗利用本文給出算法與高斯

（1）彩色彩帶圖像的檢測實驗

圖1 實驗（1）圖例Fig.1 Experiment（1）legend

在實驗（1）中圖a是人工合成的彩色漸變圖，圖中從紅色到紅色實現(xiàn)了顏色的漸變，主要用于測試四元數(shù)snake彩色邊緣檢測算法的可行性。圖中的b、c、d分別是單色顏色分量的檢測結(jié)果。從單色圖像可以看出，在顏色發(fā)生改變的位置，剛好是圖像的邊緣所在位置，這也正是論文采用四元數(shù)來表征顏色分量，利用矢量計算方式保留顏色分量用于邊緣檢測的思想的正確性。

圖e是彩色漸變圖的灰度圖像，f、g分別是實現(xiàn)snake邊緣檢測的中間和最后過程。從圖f可以看出，彩色漸變圖最終的檢測結(jié)果，能夠?qū)㈩伾l(fā)生變化的位置的邊緣顯示出來。

（2）Lena圖像的邊緣檢測實驗

在第二組實驗中，采用經(jīng)典的Lena圖像進(jìn)行實驗，如圖2所示。在這組實驗中用了兩種方法，其一是用經(jīng)典的Sobel邊緣檢測算法，首先將彩色圖像灰度化，如圖3所示。在對該圖像進(jìn)行Sobel邊緣檢測，得到如圖4所示。經(jīng)典的Sobel算法能夠較好地獲得圖像的邊緣，但由于Sobel算子在處理邊緣是丟失了彩色分量信息，使得在邊緣，如帽子飾品、頭發(fā)等部位較為粗糙。其二，采用本文給出的算法，首先利用雙四元數(shù)將彩色圖像進(jìn)行編碼處理，如圖5所示；然后在對該圖像進(jìn)行snake處理，即在梯度矢量場中，使用8個方向上分量進(jìn)行迭代，當(dāng)能量函數(shù)收斂后，得到圖6的檢測結(jié)果。

圖2 原始圖像LenaFig.2 Original image Lena

圖3 Lena的灰度圖像Fig.3 Gray image of Lena

圖4 Sobel算子的Lena邊緣檢測Fig.4 Sobel operator edge detection of Lena

圖5 基于雙四元數(shù)編碼處理Fig.5 Encoding process based on dual quaternion

圖6 Snake算子邊緣檢測灰度圖像Fig.6 Snake grayscale image edge detection operator

從上述實驗可以看出，算法能夠較快速地完成彩色圖像的邊緣檢測，并能獲得較好的檢測效果。通過對彩色邊緣結(jié)果進(jìn)行灰色處理后同Sobel算法的結(jié)果比較，可以發(fā)現(xiàn)彩色邊緣檢測完整，保留了色彩信息，在處理顏色變化位置的細(xì)節(jié)上具有明顯的優(yōu)勢，圖像的邊緣較傳統(tǒng)的Sobel算法的邊緣檢測要清晰很多。

（3）算法檢測效果和效率

在這組實驗中，選取圖7作為檢測圖像。分別對該圖進(jìn)行Soble、本文算法的彩色邊緣檢測和第三方圖像處理軟件CS4的邊緣檢測，并統(tǒng)計處理時間，然后分析處理效果和執(zhí)行效率。

圖7 待處理圖像Fig.7 Image to be processed

圖8 Sobel算子檢測效果Fig.8 Detection effect of Sobel operator

圖9 本文算法檢測結(jié)果Fig.9 This algorithm test results

從上面的處理結(jié)果看，本文算法在處理顏色變化部位的邊緣能力更為突出，CS4處理軟件在顏色變化區(qū)域邊緣獲得的比較平滑。表1給出3種方式的時間統(tǒng)計，所用的機(jī)器是I5 2400，4G內(nèi)存，GT640的顯卡，圖像大小440×658像素。

圖10 CS4邊緣檢測結(jié)果Fig.10 Edge detection results CS4

表1 邊緣檢測算法統(tǒng)計時間對照表Tab.1 Edge detection algorithm statistical time table

上面的統(tǒng)計中除CS4統(tǒng)計的不夠精準(zhǔn)外，其他兩個都是在程序中對系統(tǒng)時鐘累計的結(jié)果。從執(zhí)行效率看，本文給出的雙四元Snake方法略慢，原因在于雙四元傅里葉變換以及進(jìn)行了8個方向的梯度分量迭代，然后在進(jìn)行動態(tài)輪廓處理，從而導(dǎo)致耗費(fèi)時間較多。但前面已經(jīng)指出，算法處理效果略好于其他兩外兩種方法。因此，在下一步研究中，需要進(jìn)一步提高算法的執(zhí)行效率。

5 結(jié) 論

通過理論分析指出，傳統(tǒng)的灰色圖像邊緣檢測存在信息損失的問題，故此，對彩色圖像進(jìn)行四元數(shù)描述。同時，根據(jù)雙四元數(shù)傅里葉變換可以獲得彩色圖像顯著性特征的這一特性，利用其獲得彩色圖像的初輪廓提取，以此作為Snake算法的初始Edge（V（s）），然后利用經(jīng)典的Snake算法進(jìn)行能量函數(shù)迭代，通過實驗取得了比較好的檢測結(jié)果。

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