基于CS測(cè)量矩陣優(yōu)化的圖像融合

孫永明，吳 謹(jǐn)，劉 勁

（武漢科技大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430081）

1 引 言

圖像融合是將多個(gè)傳感器獲得的某一場(chǎng)景的多幅圖像進(jìn)行綜合，以獲得信息更豐富、更符合人眼視覺特性或更適于計(jì)算機(jī)處理的新圖像。其應(yīng)用已遍及機(jī)場(chǎng)導(dǎo)航、安全監(jiān)控、醫(yī)學(xué)成像與診斷、機(jī)器視覺、智能交通、工業(yè)過程及軍事等領(lǐng)域。當(dāng)前大多數(shù)圖像融合研究工作主要集中在像素級(jí)，像素級(jí)圖像融合存在中間環(huán)節(jié)數(shù)據(jù)量大、存儲(chǔ)空間大、實(shí)時(shí)性差等缺點(diǎn)。基于壓縮感知（Compressed Sensing，CS）的圖像融合技術(shù)由于其只對(duì)少量的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，解決了中間環(huán)節(jié)數(shù)據(jù)量大的問題。

目前國(guó)內(nèi)外對(duì)基于壓縮感知的圖像融合中的采樣模式、測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)、重構(gòu)算法以及融合規(guī)則問題進(jìn)行了探索研究。文獻(xiàn)［1］比較了3種壓縮采樣模式對(duì)壓縮感知重建性能的影響，并進(jìn)行了圖像融合仿真實(shí)驗(yàn)，在采樣率為50%時(shí)仍有較好的融合結(jié)果。文獻(xiàn)［2］提出了一種基于雙放射狀采樣模式的壓縮感知圖像融合算法，在相同采樣率下比單放射狀采樣模式的融合效果要好。文獻(xiàn)［3］提出了一種基于特征值分解減小Gram矩陣的整體互相關(guān)系數(shù)的測(cè)量矩陣優(yōu)化方法，在優(yōu)化速度和重建效果方面都有一定的優(yōu)勢(shì)。由于高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣硬件實(shí)現(xiàn)起來(lái)比較困難。因此，設(shè)計(jì)一種易于硬件實(shí)現(xiàn)的測(cè)量矩陣是基于CS圖像融合的重要問題。

測(cè)量矩陣主要有高斯隨機(jī)矩陣、循環(huán)矩陣和哈達(dá)瑪矩陣。其中高斯隨機(jī)矩陣最為常用，但由于其不確定性使得硬件實(shí)現(xiàn)比較困難；循環(huán)矩陣?yán)诖鎯?chǔ)和硬件實(shí)現(xiàn)，但是效果較差，需要對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化；哈達(dá)瑪矩陣效果最好且易于硬件實(shí)現(xiàn)，但N 必需滿足N＝2k，k＝1，2，3…，限制了其應(yīng)用范圍。針對(duì)以上問題，本文設(shè)計(jì)了一種由－1，0和1構(gòu)成的測(cè)量矩陣，并對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，其優(yōu)點(diǎn)是易于硬件實(shí)現(xiàn)，重構(gòu)效果較好且不受圖像大小限制。

2 壓縮感知基本原理

壓縮感知理論是Candes、Donoho和Tao等人于2004年提出的一種新的信息獲取理論，與傳統(tǒng)的壓縮如文獻(xiàn)［4］中所述的壓縮有所不同，其核心思想是在信號(hào)采樣的同時(shí)實(shí)現(xiàn)信息的壓縮，它突破了奈奎斯特2倍最低采樣頻率的限制。該理論指出，若信號(hào)在某個(gè)變換域是稀疏的或可壓縮的，就可以利用與變換矩陣非相關(guān)的測(cè)量矩陣將變換系數(shù)投影為低維觀測(cè)向量。這種投影保持了重建信號(hào)所需的信息，通過進(jìn)一步求解稀疏最優(yōu)化問題就能夠從低維觀測(cè)向量精確地或高概率地重建原始高維信號(hào)。因此，將壓縮感知理論用于圖像融合，在壓縮域?qū)ι倭康木€性測(cè)量值進(jìn)行融合，然后對(duì)融合的測(cè)量值進(jìn)行重構(gòu)，這在很大程度上減少了數(shù)據(jù)量和對(duì)存儲(chǔ)空間的需求。

假設(shè)圖像信號(hào)X∈RN×N，它的稀疏基為Ψ∈CN×N，ΨΨH＝ΨHΨ＝I，其中I為單位矩陣。利用稀疏基Ψ對(duì)X進(jìn)行稀疏變換，可以得到X在Ψ域的等價(jià)表示Θ＝ΨX。

對(duì)X稀疏變換后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)合理的測(cè)量矩陣Φ∈ZM×N，M＜N，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)X的觀測(cè)取樣，獲得觀測(cè)值Y，其大小為M×N。即：

測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)的目的是如何采樣得到M個(gè)觀測(cè)值，并保證從少量觀測(cè)值中有效重構(gòu)出長(zhǎng)度為N的高維度信號(hào)X，或其等價(jià)表示Ψ域下的稀疏向量值。由于觀測(cè)集合Y的數(shù)量小于原始信號(hào)X的維數(shù)，因此重構(gòu)信號(hào)X變成了一個(gè)求解欠定性方程組的問題，不易求解。但當(dāng)Φ×Ψ滿足有限等距特性（Restricted Isometry Property，RIP）［5－6］時(shí)，欠定性方程組的求解問題可轉(zhuǎn)化為l0范數(shù)的最優(yōu)化求解問題：

RIP給出了上式高概率重構(gòu)的條件。因此，Φ×Ψ必須滿足RIP條件。而Φ×Ψ是否滿足RIP條件由Φ和Ψ間的相關(guān)性決定，如果不相關(guān)，則Φ×Ψ 具有RIP性質(zhì)的概率很高［7］。CS理論的框架如圖1所示。

圖1 CS理論框架Fig.1 CS theoretical framework

3 測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)與優(yōu)化方法

設(shè)D＝ΦΨ，其中Φ為測(cè)量矩陣，Ψ為稀疏變換矩陣。設(shè)D～表示對(duì)D進(jìn)行列單位化之后的矩陣，則稱G＝D～TD～為 Gram 矩陣［8］。為了達(dá)到較好的重構(gòu)效果，測(cè)量矩陣Φ和稀疏變換矩陣Ψ的相關(guān)性必須要小，即使得D＝ΦΨ有很小的列相關(guān)系數(shù)，即Gram矩陣的非對(duì)角線元素盡可能為零?；ハ嚓P(guān)系數(shù)μ可以定義為Gram矩陣所有非對(duì)角線元素的絕對(duì)值之和，即

其中：g（i，j）是 Gram 矩陣的元素。

本文對(duì)測(cè)量矩陣的優(yōu)化采用模擬退火法，該方法減小互相關(guān)系數(shù)的核心思想是：按一定的規(guī)則改變測(cè)量矩陣的每一個(gè)元素值，求得改變后相應(yīng)的互相關(guān)系數(shù)；如果互相關(guān)系數(shù)變小，則以一定的概率p（本文中p＝0.5）改變?cè)撛刂?；否則，保持不變。

Φ生成算法具體步驟如下：

步驟1：生成一個(gè)只含有－1、0和1的向量a，長(zhǎng)度為N；

步驟2：對(duì)向量a以步長(zhǎng)1循環(huán)移位N次得到向量序列a1，a2…aN得到初始測(cè)量矩陣Φ＝［a1，a2…aN］T，大小為 N×N；

步驟3：根據(jù)式（3）計(jì)算 Gram 矩陣G＝D～TD～的相關(guān)系數(shù)μ0；

步驟4：依次將0變?yōu)?求得相應(yīng)Gram矩陣的相關(guān)系數(shù)μ1，將0變?yōu)椋?求得相應(yīng)Gram矩陣新的相關(guān)系數(shù)μ－1；令μnew＝min（μ1，μ－1），如果μnew大于μ0，保持0值不變；否則，如果μ1小于μ－1，將0變?yōu)?，如果μ1大于μ－1，將0變?yōu)椋?。

4 基于壓縮感知的圖像融合

基于壓縮感知圖像融合的核心思想是在壓縮域?qū)ι倭康臏y(cè)量值進(jìn)行融合，然后對(duì)融合得到的測(cè)量值進(jìn)行重構(gòu)，以達(dá)到減小中間計(jì)算量的目的。

本文基于壓縮感知的圖像融合方案：

（1）對(duì)兩幅源圖像f1和f2分別進(jìn)行小波變換，得到小波系數(shù)F1和F2；

（2）分別對(duì)其小波系數(shù)F1和F2進(jìn)行測(cè)量取值，得到測(cè)量值Z1和Z2；

（3）按照系數(shù)絕對(duì)值取大法進(jìn)行融合，得到融合后的測(cè)量值Z；

（4）采用正交匹配追蹤 （Orthogonal Matching Pursuit）算 法［9］重構(gòu)出融合后的小波系數(shù)F；

（5）進(jìn)行小波逆變換，得到融合后的圖像f。其框圖如圖2所示。

圖2 基于CS圖像融合框圖Fig.2 Image fusion framework based on CS theory

5 實(shí)驗(yàn)仿真

5.1 測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)及優(yōu)化實(shí)驗(yàn)

選取標(biāo)準(zhǔn)Lena圖像（256×256），由3中所提出的方法構(gòu)造出大小為190×256的測(cè)量矩陣，測(cè)量矩陣優(yōu)化前后的重構(gòu)圖像峰值信噪比（PSNR）如圖3所示。

圖3 優(yōu)化前后PSNR值Fig.3 PSNR values before and after optimization

優(yōu)化前后重構(gòu)圖像PSNR的均值μ和方差σ如表1所示。重構(gòu)圖像的平均PSNR較優(yōu)化前提高了8.232 5dB。方差近似為零表明優(yōu)化后的該測(cè)量矩陣能保證圖像具有較穩(wěn)定的重構(gòu)結(jié)果。

表1 優(yōu)化前后PSNR的均值和方差Tab.1 Mean value and variance of PSNR before and after optimization

5.2 圖像融合實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)選取大小為512×512的Clock和Pepsi左右聚焦圖像，采樣率為50%的情況下，分別用高斯測(cè)量矩陣和本文測(cè)量矩陣進(jìn)行CS圖像融合，得到融合圖像的峰值信噪比（PSNR）、空間頻率（SF）、平均梯度（G）［10］如表2和表3所示，融合效果如圖4和圖5所示。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)和融合效果圖都可以可以看出，本文測(cè)量矩陣基本能夠達(dá)到高斯測(cè)量矩陣的性能，取得了較好的融合效果。

圖4 Clock圖像融合結(jié)果Fig.4 Fusion results of Clock image

表2 Clock圖像融合評(píng)價(jià)指標(biāo)Tab.2 Evaluation index of Clock image fusion

表3 Pepsi圖像融合評(píng)價(jià)指標(biāo)Tab.3 Evaluation index of Pepsi image fusion

圖5 Pepsi圖像融合結(jié)果Fig.5 Fusion results of Pepsi image

6 結(jié) 論

針對(duì)隨機(jī)測(cè)量矩陣的不確定性和硬件實(shí)現(xiàn)難度大的問題，本文設(shè)計(jì)的測(cè)量矩陣僅含有－1、0和1三個(gè)值，其優(yōu)點(diǎn)是易于硬件實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，經(jīng)過優(yōu)化后的該測(cè)量矩陣取得了不錯(cuò)的重構(gòu)效果。將該測(cè)量矩陣用于基于壓縮感知的圖像融合，在采樣率僅為50%的情況下仍能取得較好的融合效果。

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