例說(shuō)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維能力的培養(yǎng)

況安永

數(shù)學(xué)新課程十分重視學(xué)生思想方法和思維能力的訓(xùn)練及提升。《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨(dú)特的作用”（“課程的基本理念”），“要注重對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和思想方法的把握”（“評(píng)價(jià)建議”）。而在日常教學(xué)中，數(shù)學(xué)思維能力的訓(xùn)練主要是通過(guò)在概念、公式、性質(zhì)、法則等的教學(xué)，特別是數(shù)學(xué)習(xí)題的分析解答來(lái)完成的，在其過(guò)程中常常觸及到思維方法中的不同類型，如歸納思維、聚合思維、發(fā)散思維等等。其中，逆向思維是一種自覺(jué)地打破習(xí)慣性的思考方法、使用與其完全相反的思考路徑來(lái)探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決的一種思維方式。逆向思維模式傾向于：如果順推遇到障礙時(shí)，不妨考慮逆推；直接解決有困難時(shí)，不妨考慮間接突破，當(dāng)反復(fù)地從正向考慮某一問(wèn)題而陷入困難時(shí)，改變一下思考角度，采用逆向思維，或許會(huì)使你柳暗花明，茅塞頓開(kāi)。

可是，許多學(xué)生卻對(duì)逆向思維感到無(wú)所適從，很不習(xí)慣。在教學(xué)過(guò)程中，常常會(huì)碰到一些顯而易見(jiàn)應(yīng)用逆向思維便可迎刃而解的問(wèn)題，學(xué)生解答起來(lái)也感到困難。例如，在學(xué)習(xí)倍角公式后，要求sin15ocos15o、2cos275o-1等的值時(shí)，就有許多學(xué)生思苦良久，最終卻毫無(wú)結(jié)果。原因何在？首先，由于學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程大多是正向思維，而往往忽視、抑制了逆向思維的建立；其次，思維定勢(shì)使學(xué)生顧此失彼。因此在教學(xué)程中要重視對(duì)學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)，以開(kāi)闊思路，提高他們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。

本文就如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維談一點(diǎn)膚淺的體會(huì)。

一、逆向提問(wèn)，培養(yǎng)學(xué)生雙向思考問(wèn)題的習(xí)慣

在概念、公式、性質(zhì)、法則等的教學(xué)中，如果教師注意逆向提問(wèn)，學(xué)生不但對(duì)所學(xué)知識(shí)辯析得更清楚，也理解得更透徹，而且能養(yǎng)成雙向考慮問(wèn)題的習(xí)慣，在運(yùn)用中也能左右逢源。

例1：設(shè)f（x）=4x-2x+l（x≥0），求f-1（0）。

分析：按一般思維方法，先判斷原函數(shù)是否存在反函數(shù)，若存在，求解方程，寫出反函數(shù)再求值。逆向思考：不求出反函數(shù)，而借助于原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系可作出如下判斷：求f-1（0）的值，實(shí)質(zhì)上就是使f（x）=0的x值，令4x-2x+l=0，解得x=l，從而f-1（0）=1。

二、對(duì)比練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生逆用公式法則的能力

對(duì)公式法則，不但要求學(xué)生會(huì)正向運(yùn)用，而且還要會(huì)反向運(yùn)用。這也是教學(xué)的最基本要求。

例2：在學(xué)習(xí)了“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式后，可選編以下練習(xí)題以訓(xùn)練學(xué)生逆用的能力：

這一組題富有靈活性和啟發(fā)性，引導(dǎo)學(xué)生靈活地逆向運(yùn)用所學(xué)公式，就會(huì)取得令人滿意的結(jié)果。例如：

（3）：

[其中有*號(hào)這一步逆用了公式Ta+β·即：tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanα.tanβ）]

再來(lái)看下一例：

例3：對(duì)于扇形面積公式S= πR2，若已知扇形半徑R和扇形所對(duì)的原心角n，直接代入扇形面積公式即得扇形面積。但反過(guò)來(lái)，若已知扇形面積S和半徑R，怎樣求n呢？若已知扇形面積S和扇形所對(duì)的原心角n，怎樣求半徑R呢？這就要求學(xué)生能逆向運(yùn)用公式得到n= ，R= ，從而解決問(wèn)題。

三、啟發(fā)思考，重視解題中的逆向聯(lián)想

在解題教學(xué)中，如果只進(jìn)行正向應(yīng)用的單一訓(xùn)練，而忽視由此及彼的逆向聯(lián)想，很容易造成學(xué)生思維過(guò)程的定勢(shì).因此，應(yīng)經(jīng)常啟發(fā)學(xué)生調(diào)整視角，積極探索，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成雙向考慮問(wèn)題的良好習(xí)慣。

例4：已知△ABC中，BC=20，AB+AC=50.求中線AM的最小值。

分析：本例可以根據(jù)所給條件建立函數(shù)關(guān)系，最后轉(zhuǎn)為求有條件的極值，但計(jì)算復(fù)雜，如果聯(lián)想到橢圓定義，即有：2c=20，2a=50，從而再由橢圓的幾何性質(zhì)推知：AM的最小值為短半軸長(zhǎng)，所以AM的最小值為5。

例5：若三個(gè)方程：x2-4ax-4a+3=0，X2+（a-l）x+a2=0，x2+2ax-2a=0中，至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍，

分析：此題正面思考情況復(fù)雜，不易得到結(jié)果.注意到“三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解”的對(duì)立面是“三個(gè)方程都無(wú)實(shí)數(shù)解”，于是從全體實(shí)數(shù)中排除三個(gè)方程都無(wú)實(shí)數(shù)解時(shí)a的范圍，即為本題所求。

略解：當(dāng)a滿足（4a）2-4（-4a+3）<0，（a-1）2-4a2<0，4a2-4（-2a）<0，即-

從以上數(shù)例我們不難發(fā)現(xiàn)，逆向思維的范疇比較廣，凡公式、定理的逆用，間接證明、執(zhí)果索因、正難則反、先退后進(jìn)等是逆向思維的具體運(yùn)用。我們?cè)诮虒W(xué)中要有意識(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行多方位、多角度的逆向思維訓(xùn)練。毫無(wú)疑問(wèn)，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是大有幫助的。

（作者單位：貴州省遵義縣第一中學(xué)）

數(shù)學(xué)新課程十分重視學(xué)生思想方法和思維能力的訓(xùn)練及提升?！陡咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨(dú)特的作用”（“課程的基本理念”），“要注重對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和思想方法的把握”（“評(píng)價(jià)建議”）。而在日常教學(xué)中，數(shù)學(xué)思維能力的訓(xùn)練主要是通過(guò)在概念、公式、性質(zhì)、法則等的教學(xué)，特別是數(shù)學(xué)習(xí)題的分析解答來(lái)完成的，在其過(guò)程中常常觸及到思維方法中的不同類型，如歸納思維、聚合思維、發(fā)散思維等等。其中，逆向思維是一種自覺(jué)地打破習(xí)慣性的思考方法、使用與其完全相反的思考路徑來(lái)探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決的一種思維方式。逆向思維模式傾向于：如果順推遇到障礙時(shí)，不妨考慮逆推；直接解決有困難時(shí)，不妨考慮間接突破，當(dāng)反復(fù)地從正向考慮某一問(wèn)題而陷入困難時(shí)，改變一下思考角度，采用逆向思維，或許會(huì)使你柳暗花明，茅塞頓開(kāi)。

可是，許多學(xué)生卻對(duì)逆向思維感到無(wú)所適從，很不習(xí)慣。在教學(xué)過(guò)程中，常常會(huì)碰到一些顯而易見(jiàn)應(yīng)用逆向思維便可迎刃而解的問(wèn)題，學(xué)生解答起來(lái)也感到困難。例如，在學(xué)習(xí)倍角公式后，要求sin15ocos15o、2cos275o-1等的值時(shí)，就有許多學(xué)生思苦良久，最終卻毫無(wú)結(jié)果。原因何在？首先，由于學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程大多是正向思維，而往往忽視、抑制了逆向思維的建立；其次，思維定勢(shì)使學(xué)生顧此失彼。因此在教學(xué)程中要重視對(duì)學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)，以開(kāi)闊思路，提高他們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。

本文就如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維談一點(diǎn)膚淺的體會(huì)。

一、逆向提問(wèn)，培養(yǎng)學(xué)生雙向思考問(wèn)題的習(xí)慣

在概念、公式、性質(zhì)、法則等的教學(xué)中，如果教師注意逆向提問(wèn)，學(xué)生不但對(duì)所學(xué)知識(shí)辯析得更清楚，也理解得更透徹，而且能養(yǎng)成雙向考慮問(wèn)題的習(xí)慣，在運(yùn)用中也能左右逢源。

例1：設(shè)f（x）=4x-2x+l（x≥0），求f-1（0）。

分析：按一般思維方法，先判斷原函數(shù)是否存在反函數(shù)，若存在，求解方程，寫出反函數(shù)再求值。逆向思考：不求出反函數(shù)，而借助于原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系可作出如下判斷：求f-1（0）的值，實(shí)質(zhì)上就是使f（x）=0的x值，令4x-2x+l=0，解得x=l，從而f-1（0）=1。

二、對(duì)比練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生逆用公式法則的能力

對(duì)公式法則，不但要求學(xué)生會(huì)正向運(yùn)用，而且還要會(huì)反向運(yùn)用。這也是教學(xué)的最基本要求。

例2：在學(xué)習(xí)了“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式后，可選編以下練習(xí)題以訓(xùn)練學(xué)生逆用的能力：

這一組題富有靈活性和啟發(fā)性，引導(dǎo)學(xué)生靈活地逆向運(yùn)用所學(xué)公式，就會(huì)取得令人滿意的結(jié)果。例如：

（3）：

[其中有*號(hào)這一步逆用了公式Ta+β·即：tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanα.tanβ）]

再來(lái)看下一例：

例3：對(duì)于扇形面積公式S= πR2，若已知扇形半徑R和扇形所對(duì)的原心角n，直接代入扇形面積公式即得扇形面積。但反過(guò)來(lái)，若已知扇形面積S和半徑R，怎樣求n呢？若已知扇形面積S和扇形所對(duì)的原心角n，怎樣求半徑R呢？這就要求學(xué)生能逆向運(yùn)用公式得到n= ，R= ，從而解決問(wèn)題。

三、啟發(fā)思考，重視解題中的逆向聯(lián)想

在解題教學(xué)中，如果只進(jìn)行正向應(yīng)用的單一訓(xùn)練，而忽視由此及彼的逆向聯(lián)想，很容易造成學(xué)生思維過(guò)程的定勢(shì).因此，應(yīng)經(jīng)常啟發(fā)學(xué)生調(diào)整視角，積極探索，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成雙向考慮問(wèn)題的良好習(xí)慣。

例4：已知△ABC中，BC=20，AB+AC=50.求中線AM的最小值。

分析：本例可以根據(jù)所給條件建立函數(shù)關(guān)系，最后轉(zhuǎn)為求有條件的極值，但計(jì)算復(fù)雜，如果聯(lián)想到橢圓定義，即有：2c=20，2a=50，從而再由橢圓的幾何性質(zhì)推知：AM的最小值為短半軸長(zhǎng)，所以AM的最小值為5。

例5：若三個(gè)方程：x2-4ax-4a+3=0，X2+（a-l）x+a2=0，x2+2ax-2a=0中，至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍，

分析：此題正面思考情況復(fù)雜，不易得到結(jié)果.注意到“三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解”的對(duì)立面是“三個(gè)方程都無(wú)實(shí)數(shù)解”，于是從全體實(shí)數(shù)中排除三個(gè)方程都無(wú)實(shí)數(shù)解時(shí)a的范圍，即為本題所求。

略解：當(dāng)a滿足（4a）2-4（-4a+3）<0，（a-1）2-4a2<0，4a2-4（-2a）<0，即-

從以上數(shù)例我們不難發(fā)現(xiàn)，逆向思維的范疇比較廣，凡公式、定理的逆用，間接證明、執(zhí)果索因、正難則反、先退后進(jìn)等是逆向思維的具體運(yùn)用。我們?cè)诮虒W(xué)中要有意識(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行多方位、多角度的逆向思維訓(xùn)練。毫無(wú)疑問(wèn)，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是大有幫助的。

（作者單位：貴州省遵義縣第一中學(xué)）

數(shù)學(xué)新課程十分重視學(xué)生思想方法和思維能力的訓(xùn)練及提升?！陡咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨(dú)特的作用”（“課程的基本理念”），“要注重對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和思想方法的把握”（“評(píng)價(jià)建議”）。而在日常教學(xué)中，數(shù)學(xué)思維能力的訓(xùn)練主要是通過(guò)在概念、公式、性質(zhì)、法則等的教學(xué)，特別是數(shù)學(xué)習(xí)題的分析解答來(lái)完成的，在其過(guò)程中常常觸及到思維方法中的不同類型，如歸納思維、聚合思維、發(fā)散思維等等。其中，逆向思維是一種自覺(jué)地打破習(xí)慣性的思考方法、使用與其完全相反的思考路徑來(lái)探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決的一種思維方式。逆向思維模式傾向于：如果順推遇到障礙時(shí)，不妨考慮逆推；直接解決有困難時(shí)，不妨考慮間接突破，當(dāng)反復(fù)地從正向考慮某一問(wèn)題而陷入困難時(shí)，改變一下思考角度，采用逆向思維，或許會(huì)使你柳暗花明，茅塞頓開(kāi)。

可是，許多學(xué)生卻對(duì)逆向思維感到無(wú)所適從，很不習(xí)慣。在教學(xué)過(guò)程中，常常會(huì)碰到一些顯而易見(jiàn)應(yīng)用逆向思維便可迎刃而解的問(wèn)題，學(xué)生解答起來(lái)也感到困難。例如，在學(xué)習(xí)倍角公式后，要求sin15ocos15o、2cos275o-1等的值時(shí)，就有許多學(xué)生思苦良久，最終卻毫無(wú)結(jié)果。原因何在？首先，由于學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程大多是正向思維，而往往忽視、抑制了逆向思維的建立；其次，思維定勢(shì)使學(xué)生顧此失彼。因此在教學(xué)程中要重視對(duì)學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)，以開(kāi)闊思路，提高他們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。

本文就如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維談一點(diǎn)膚淺的體會(huì)。

一、逆向提問(wèn)，培養(yǎng)學(xué)生雙向思考問(wèn)題的習(xí)慣

在概念、公式、性質(zhì)、法則等的教學(xué)中，如果教師注意逆向提問(wèn)，學(xué)生不但對(duì)所學(xué)知識(shí)辯析得更清楚，也理解得更透徹，而且能養(yǎng)成雙向考慮問(wèn)題的習(xí)慣，在運(yùn)用中也能左右逢源。

例1：設(shè)f（x）=4x-2x+l（x≥0），求f-1（0）。

分析：按一般思維方法，先判斷原函數(shù)是否存在反函數(shù)，若存在，求解方程，寫出反函數(shù)再求值。逆向思考：不求出反函數(shù)，而借助于原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系可作出如下判斷：求f-1（0）的值，實(shí)質(zhì)上就是使f（x）=0的x值，令4x-2x+l=0，解得x=l，從而f-1（0）=1。

二、對(duì)比練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生逆用公式法則的能力

對(duì)公式法則，不但要求學(xué)生會(huì)正向運(yùn)用，而且還要會(huì)反向運(yùn)用。這也是教學(xué)的最基本要求。

例2：在學(xué)習(xí)了“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式后，可選編以下練習(xí)題以訓(xùn)練學(xué)生逆用的能力：

這一組題富有靈活性和啟發(fā)性，引導(dǎo)學(xué)生靈活地逆向運(yùn)用所學(xué)公式，就會(huì)取得令人滿意的結(jié)果。例如：

（3）：

[其中有*號(hào)這一步逆用了公式Ta+β·即：tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanα.tanβ）]

再來(lái)看下一例：

例3：對(duì)于扇形面積公式S= πR2，若已知扇形半徑R和扇形所對(duì)的原心角n，直接代入扇形面積公式即得扇形面積。但反過(guò)來(lái)，若已知扇形面積S和半徑R，怎樣求n呢？若已知扇形面積S和扇形所對(duì)的原心角n，怎樣求半徑R呢？這就要求學(xué)生能逆向運(yùn)用公式得到n= ，R= ，從而解決問(wèn)題。

三、啟發(fā)思考，重視解題中的逆向聯(lián)想

在解題教學(xué)中，如果只進(jìn)行正向應(yīng)用的單一訓(xùn)練，而忽視由此及彼的逆向聯(lián)想，很容易造成學(xué)生思維過(guò)程的定勢(shì).因此，應(yīng)經(jīng)常啟發(fā)學(xué)生調(diào)整視角，積極探索，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成雙向考慮問(wèn)題的良好習(xí)慣。

例4：已知△ABC中，BC=20，AB+AC=50.求中線AM的最小值。

分析：本例可以根據(jù)所給條件建立函數(shù)關(guān)系，最后轉(zhuǎn)為求有條件的極值，但計(jì)算復(fù)雜，如果聯(lián)想到橢圓定義，即有：2c=20，2a=50，從而再由橢圓的幾何性質(zhì)推知：AM的最小值為短半軸長(zhǎng)，所以AM的最小值為5。

例5：若三個(gè)方程：x2-4ax-4a+3=0，X2+（a-l）x+a2=0，x2+2ax-2a=0中，至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍，

分析：此題正面思考情況復(fù)雜，不易得到結(jié)果.注意到“三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解”的對(duì)立面是“三個(gè)方程都無(wú)實(shí)數(shù)解”，于是從全體實(shí)數(shù)中排除三個(gè)方程都無(wú)實(shí)數(shù)解時(shí)a的范圍，即為本題所求。

略解：當(dāng)a滿足（4a）2-4（-4a+3）<0，（a-1）2-4a2<0，4a2-4（-2a）<0，即-

從以上數(shù)例我們不難發(fā)現(xiàn)，逆向思維的范疇比較廣，凡公式、定理的逆用，間接證明、執(zhí)果索因、正難則反、先退后進(jìn)等是逆向思維的具體運(yùn)用。我們?cè)诮虒W(xué)中要有意識(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行多方位、多角度的逆向思維訓(xùn)練。毫無(wú)疑問(wèn)，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是大有幫助的。

（作者單位：貴州省遵義縣第一中學(xué)）