等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體相對平衡的分析

（上海理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,上海 200093）

（上海理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,上海 200093）

為了將所學(xué)專業(yè)知識進(jìn)行綜合運(yùn)用，采用Fluent軟件的層流模型和VOF模型，對離心泵的工作原理——等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體的相對平衡進(jìn)行數(shù)值模擬，得到了流場內(nèi)速度、壓力等分布。結(jié)果表明，對等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體的相對平衡問題而言，F(xiàn)luent軟件是一個(gè)強(qiáng)有力的研究工具，計(jì)算結(jié)果與理論分析、相關(guān)文獻(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好，并且模擬能給出更加豐富的流場信息，研究過程加深了對所學(xué)知識的理解。

等角速度旋轉(zhuǎn)；相對平衡；數(shù)值模擬；Fluent軟件；VOF模型

1 前言

液體的相對平衡是工程實(shí)際中常遇到的問題，如在離心式鑄造機(jī)、離心式水泵中，在等角速度旋轉(zhuǎn)條件下，液體與這些容器處于相對平衡狀態(tài)[1,2]。以離心泵為例，在泵體內(nèi)和吸水管內(nèi)注滿水后，利用高速旋轉(zhuǎn)的葉輪帶動(dòng)泵體內(nèi)的水一起旋轉(zhuǎn)，通過離心力把水甩出葉輪外緣后匯集于逐漸擴(kuò)大的泵體中。在擴(kuò)壓管中水的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為更高的壓力，從而把水壓出擴(kuò)壓管。葉輪進(jìn)口則會(huì)形成真空區(qū)域，吸水池上的水就會(huì)被環(huán)境中的大氣壓壓入水管，進(jìn)入葉輪。葉輪連續(xù)旋轉(zhuǎn)，水被不斷吸入和排出，如此循環(huán)就是離心泵的工作原理[3]。為了對離心泵的工作原理有更直觀的理解，并把流體力學(xué)、計(jì)算流體力學(xué)等課程所學(xué)知識舉一反三地應(yīng)用，本文采用Fluent軟件對等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體的相對平衡問題進(jìn)行了分析研究。

2 物理模型和網(wǎng)格的生成

本文研究對象為一直徑d=9.82cm，高度H=10cm的圓柱容器，注水高度h=5.5cm。使容器繞垂直軸以角速度ω作穩(wěn)態(tài)旋轉(zhuǎn)。如圖1所示。

本文考慮二維軸對稱情況，使用Fluent軟件中的前處理模塊Gambit生成計(jì)算區(qū)域與網(wǎng)格。由于容器的對稱性以及Fluent軟件的對稱軸必須與軸一致，故建模時(shí)建立圓柱體的右半?yún)^(qū)域，待導(dǎo)入Fluent后再鏡像與順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。運(yùn)用Quad單元與Map方法對計(jì)算區(qū)域進(jìn)行面網(wǎng)格劃分，其中右側(cè)邊和軸線網(wǎng)格為150，節(jié)點(diǎn)間距比例為雙邊0.98；上邊和底邊的線網(wǎng)格為75，節(jié)點(diǎn)間距比例為雙邊1.02。網(wǎng)格數(shù)量最終為11250，如圖2所示。

圖1 旋轉(zhuǎn)容器中液體相對平衡

3 數(shù)學(xué)模型

3.1 VOF模型

由于本例含有自由液面流動(dòng)，因此計(jì)算中采用“流體體積”（Volume of Fluid-VOF）方法求解[4]。

圖2 圓柱容器右半側(cè)二維網(wǎng)格圖

VOF方法作為一種解決兩相流問題的方法，是通過體積函數(shù)來追蹤相間界面，具有物理概念清晰、容易實(shí)現(xiàn)、計(jì)算量小以及精度較高等優(yōu)點(diǎn)。

追蹤各相流體的體積分?jǐn)?shù)可以通過連續(xù)性方程來求解，例如第 相流體的體積分?jǐn)?shù)可以通過如下的連續(xù)性方程求解：

3.2 等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體相對平衡理論分析

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，作用在液體質(zhì)點(diǎn)上的質(zhì)量力包括重力和方向與向心加速度相反的離心慣性力。如圖1所示，作用在單位質(zhì)量液體質(zhì)點(diǎn)上的質(zhì)量力的分量為：

根據(jù)流體的平衡微分方程式得：

把（2）、（3）、（4）式代入（5）式可得：

將上式積分可得旋轉(zhuǎn)液體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律：

根據(jù)邊界條件r=0，z=0時(shí)， 得到容器中液體的靜壓強(qiáng)分布公式：

等壓面上dp=0，代入式（6），故

把上式積分并代入自由表面處r=0，z=0得到自由表面方程為

其中，

在r=R處，有

其中，r為液體質(zhì)點(diǎn)所在的半徑，hmax、hmin分別為旋轉(zhuǎn)液面最高處和最低處到容器底部的距離。從（8）式可以看出，在做等角速度旋轉(zhuǎn)容器中處于相對平衡的液體，其等壓面為旋轉(zhuǎn)拋物面。

3.3 計(jì)算參數(shù)和邊界條件

3.3.1 計(jì)算參數(shù)

為與文獻(xiàn)[5]中實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，旋轉(zhuǎn)角速度分別設(shè)為11.519rad/s、12.043rad/s、12.566rad/s、13.090rad/s、13.614rad/s、14.137rad/s這六種情況進(jìn)行模擬，重力加速度g=9.793m·s-2。

3.3.2 邊界條件

自由液面為壓力入口，其值為大氣壓；右側(cè)邊和底邊設(shè)為旋轉(zhuǎn)壁面，滿足無滑移條件；軸線處取為軸對稱邊界條件。

4 模擬結(jié)果分析

4.1 速度矢量圖

因?yàn)樵诹N角速度下的模擬結(jié)果基本類似，故取角速度為11.519rad/s時(shí)的結(jié)果進(jìn)行討論。

圖3為流場速度矢量圖分布，其中圖（a）為整體速度分布。為了便于觀察分析，在流場中選取了四個(gè)區(qū)域，對其進(jìn)行局部放大，其速度矢量分布如（b）、（c）、（d）、（e）所示。

由圖3（b）可看出，液體的速度方向垂直于截面指向外，說明液體與壁面無相對運(yùn)動(dòng)，成為一個(gè)整體隨容器一起做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，而且在離心慣性力的作用下稍向壁面甩。液體距中心越遠(yuǎn)處，外甩現(xiàn)象越明顯。由圖3（c）所示，由于部分液體外甩，造成容器中部壓強(qiáng)下降。空氣在大氣壓的作用下下沉，同時(shí)隨容器做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。再由圖3（d）和圖3（e）可得到，空氣下沉碰到液面后改變方向，并在靠近容器出口處有微量回流。

試想，若把容器液面的上方換成一個(gè)與大氣接觸的充滿水的吸入室，而容器與水接觸的壁面換成逐漸擴(kuò)大的泵體，則容器內(nèi)的水不會(huì)再沿壁面上升，而是往泵體出口甩，借助動(dòng)能轉(zhuǎn)變而來的高壓甩出泵體。此時(shí)，容器中心形成真空，在與大氣壓的壓差作用下，把吸入室內(nèi)的水壓入補(bǔ)充。由于容器的連續(xù)旋轉(zhuǎn)，水不斷被排出和補(bǔ)充，正好符合水泵的工作現(xiàn)象。

同時(shí)，圖3（d）和圖3（e）中的空氣渦流也反映出離心泵中所存在的導(dǎo)致效率降低的問題：在離心泵的吸入室管路中可以找到明顯的渦流，這不僅影響葉輪的進(jìn)口形狀，同時(shí)還影響著泵的流量與揚(yáng)程[6,7]。

4.2 壓力隨液體淹沒深度的變化

圖4為ω=11.519rad/s時(shí)模擬所得相對壓力云圖。由可看出，在離心慣性力和重力作用下，隨液體淹沒深度的增加，壓力逐漸增大，容器底部靠壁面處壓力最大。且等壓面為一曲面，為證實(shí)其為理論公式預(yù)測的拋物線，在流場中建立直角坐標(biāo)系，取液面最低處為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖1所示，根據(jù)液體的靜壓強(qiáng)分布公式（9）畫出一系列拋物線，與截面、等壓面的交線進(jìn)行比較。

圖3 速度矢量圖

圖4 模擬所得壓力云圖

由圖5可得到，在z=-0.0068m、-0.0268m、-0.0468m處，模擬和理論預(yù)測的液體壓力分布吻合良好。

圖5 水平面壓力隨半徑分布圖（T代表理論值，S代表模擬值）

4.3 利用旋轉(zhuǎn)液面最高與最低處的高度差測重力加速度

由公式（12）可得，已知自由液面最低點(diǎn)和最高點(diǎn)的高度差、旋轉(zhuǎn)速度和容器半徑即可求得重力加速度。結(jié)合以上分析，由于液體和容器相對平衡時(shí)液面呈旋轉(zhuǎn)拋物面（如圖6所示），則液體的最低點(diǎn)、最高點(diǎn)分別在容器的對稱軸、側(cè)邊與液面的交界處，為尋找氣液兩相間的分界點(diǎn)，從而求得兩者高度差Δh=hmax-hmin，最低點(diǎn)hmin取體積分?jǐn)?shù)在區(qū)間（0.5,0.7）內(nèi)的點(diǎn)，最高點(diǎn)hmax由于考慮到液體隨轉(zhuǎn)速增大有可能溢出容器邊緣的問題，而取體積分?jǐn)?shù)（0，0.2）的點(diǎn)，結(jié)果見表1和表2。

圖6 氣相云圖

表1 不同轉(zhuǎn)速下最低點(diǎn)和最高點(diǎn)值表

由表1可得到，隨著旋轉(zhuǎn)角速度的增大，液面靠壁面處上升高度越大，軸線處下降深度也越大。

表2 重力加速度值表

實(shí)驗(yàn)中，由于測量精度不高造成液面的最高處和最低處間Δh存在誤差，使實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與公認(rèn)值不一致。而數(shù)值模擬中存在：①建模過程中的誤差；②離散誤差；③舍入誤差。因此無法完全準(zhǔn)確讀出水體積分?jǐn)?shù)完全相同的一系列點(diǎn)，致使模擬所得到的Δh值與實(shí)際存在誤差。在一定程度下，網(wǎng)格越細(xì)，模擬得到的Δh越精確，結(jié)果越接近公認(rèn)值。但網(wǎng)格并非越細(xì)越好，過分細(xì)密的網(wǎng)格會(huì)大大增加計(jì)算機(jī)的運(yùn)算次數(shù)，導(dǎo)致舍入誤差增大[8]。

5 結(jié)論

（1）理論流體力學(xué)是把真實(shí)物理現(xiàn)象抽象為數(shù)學(xué)模型，通過計(jì)算、推導(dǎo)獲得解析表達(dá)式，用以描述生活中的現(xiàn)象，其結(jié)果相對精確；而計(jì)算流體力學(xué)則通過云圖和速度矢量圖等計(jì)算結(jié)果直接觀察到容器旋轉(zhuǎn)時(shí)，液面隨之變化的狀態(tài)和速度分布，但在計(jì)算過程中存在一些誤差。若把兩者結(jié)合使用，既可驗(yàn)證理論分析的正確性，又有利于加深理解離心泵工作時(shí)的內(nèi)部流體運(yùn)動(dòng)情況，把抽象的公式轉(zhuǎn)換為更形象的生活現(xiàn)象。

（2）在重力和離心慣性力作用下，等角速度旋轉(zhuǎn)容器內(nèi)的液體，在相對平衡時(shí)自由表面和等壓面均會(huì)形成繞z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面。采用層流模型和VOF模型對等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體的相對平衡具有較好的模擬，計(jì)算結(jié)果與理論分析、實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好。

（3）模擬也很好地證實(shí)了利用旋轉(zhuǎn)液面最高和最低處的液位差測重力加速度的方法確切可行。

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等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體相對平衡的分析

方海林,楊 帆

方海林（1993—），女，廣東茂名人，本科，主要從事：cfd數(shù)值模擬研究。