基于跡向控制量的編隊星群相位控制

吳會英，周美江，齊金玲

(上海微小衛(wèi)星工程中心，上海201203)

0 引言

編隊飛行技術(shù)自20世紀(jì)90年代后期發(fā)展以來已有一些應(yīng)用實例，如NASA的“陸地行星探測者計劃”為4顆跟蹤衛(wèi)星繞1顆參考衛(wèi)星的編隊構(gòu)型，用于驗證光譜分析和編隊飛行干涉成像等多項關(guān)鍵技術(shù).

編隊飛行技術(shù)雖然有著重大的應(yīng)用前景，但仍處于起步階段，一些關(guān)鍵技術(shù)的突破已成為衛(wèi)星編隊具體實現(xiàn)的重要因素.由于編隊衛(wèi)星功能的實現(xiàn)依賴于編隊構(gòu)型，所以構(gòu)型設(shè)計、構(gòu)型重構(gòu)和構(gòu)型保持已成為編隊衛(wèi)星發(fā)展的關(guān)鍵技術(shù).尤其對于50 kg以下的微小衛(wèi)星，資源嚴(yán)重受限，進行編隊飛行有著更加嚴(yán)苛的工程約束.如何在這些工程約束下開展復(fù)雜航天任務(wù)，掌握構(gòu)型形成與保持的控制方法是亟待攻克的關(guān)鍵技術(shù)之一.

已有諸多學(xué)者基于Hill方程［1］對兩星的編隊飛行軌道控制策略進行了深入分析［2-4］，基于絕對軌道的編隊星群軌道控制策略也不乏研究文獻(xiàn)［5］，但二者對編隊構(gòu)型中最為基本的星群相位控制問題涉及甚少.

對于共面編隊問題來講，衛(wèi)星在軌道面內(nèi)的相對運動為長半軸是短半軸兩倍的跡向漂移橢圓，編隊構(gòu)型的保持即相對運動橢圓幾何特性的保持，包括橢圓大小的保持和星群在橢圓上相對相位的保持.

通過2008年SZ-7伴星在軌伴飛任務(wù)的成功執(zhí)行，對設(shè)計的伴飛軌道控制策略進行了基于真實軌道數(shù)據(jù)的驗證［6］，得到了共面繞飛問題中在相對運動橢圓上下點進行控制對橢圓短半軸控制效率最高的結(jié)論.文獻(xiàn)［7］延續(xù)文獻(xiàn)［6］的研究成果，對共面繞飛問題中控制時機如何改變相對運動橢圓大小問題作了深入研究，推導(dǎo)了控制時機對相對運動橢圓大小改變的解析解.但遺憾的是，文獻(xiàn)［6］與文獻(xiàn)［7］僅針對相對運動橢圓大小控制改變問題進行了研究，對多星集群編隊問題中十分關(guān)鍵的星群相對相位控制并沒有涉及，而且由于小衛(wèi)星資源匱乏，實時的軌道控制基本不可能實現(xiàn)，亟待開展基于實際工程約束的編隊星群相位控制與保持技術(shù)研究.

本文立足于工程應(yīng)用，考慮編隊小衛(wèi)星平臺姿控能力較弱，或出于任務(wù)的特殊性僅能進行跡向控制，基于Hill方程開展編隊星群相對相位控制問題研究，通過求解控制時機對相對相位改變的解析解，使復(fù)雜的相位控制問題可以通過分析其相對簡單的解析解開展研究.

1 共面繞飛編隊星群相位控制

1.1 相對運動方程解

共面繞飛兩航天器在軌道面內(nèi)的相對運動解為相對軌道坐標(biāo)系(x軸徑向朝天，由地心指向參考航天器，y軸在軌道面內(nèi)垂直于x軸沿飛行方向，z軸符合右手定則)中長半軸為短半軸兩倍的跡向漂移橢圓［1］

式中，b為橢圓短半軸，(xc，yc)為橢圓中心，xc=xc0，yc=yc0-1.5xc0nt，n為航天器平均運動角速度，xc0、yc0為初始時刻的橢圓中心，t為自初始時刻起算的時間.根據(jù)Hill方程可知

相對運動參數(shù)解為

nt+θ為衛(wèi)星在相對運動橢圓上的相位，定義見式(4)，θ為初始相位，由初始時刻的相對運動參數(shù)決定.

1.2 編隊衛(wèi)星相位

根據(jù)式(3)，衛(wèi)星在相對運動橢圓上的相位定義為

需要說明的是，式中Θ具體取哪一個值由sinΘ=(y-yc)/(-2b)，cosΘ=(x-xc)/b的符號共同決定.

由式(4)可知，衛(wèi)星在相對運動橢圓上的相位Θ是由相對運動橢圓的內(nèi)切圓和外接圓輔助定義的，從正x軸起算，逆時針旋轉(zhuǎn)為正.

以相位相差90°兩衛(wèi)星繞主星的伴隨飛行為例說明相位的定義，如圖1示，初始相位為0°的A星與初始相位為90°的B星，經(jīng)過t時間后，A星運動到相位為ΘA的A'處，B星運動到相位為ΘB的B'處，依然有ΘB-ΘA=90°，相位角的增加方向為相對運動方向.

圖1 相位示意圖Fig.1 Phase sketch

1.3 編隊衛(wèi)星相位控制

首先，控制時機為控制的時刻，本節(jié)首先介紹相位控制過程中控制時機與相位改變的關(guān)系.

編隊衛(wèi)星在執(zhí)行任務(wù)過程中需要保持穩(wěn)定的構(gòu)型，其中之一就是保持星群間的相對相位穩(wěn)定.由式(4)可知，控制量對相位的改變是通過改變橢圓中心位置xc、yc和橢圓短半軸b實現(xiàn)的.本文以衛(wèi)星只能進行跡向控制為例進行相位控制問題研究，由式(2)可知，跡向控制量ΔV會改變橢圓中心徑向坐標(biāo)xc和橢圓短半軸b的大小，對于cosΘ=(xxc)/b，其大小和符號都可能發(fā)生改變;但對于sinΘ=(y-yc)/(-2b)，雖然ΔV改變橢圓中心徑向坐標(biāo)xc(由yc=yc0-1.5xc0nt易知即改變了橢圓中心漂移速度)，但漂移量yc=yc0-1.5xcnt是一個隨時間累積的量，速度增量作用瞬時不會突變，所以sinΘ只可能改變大小，但符號不變，即控制前后相位在同一x半平面.控制時機與相位改變量滿足如下關(guān)系:

若ΔΘ∈(-π，0)，則可選控制時機為Θ∈(2kπ-ΔΘ，2kπ+π)∪ (2kπ-π-ΔΘ，2kπ);

若ΔΘ∈(0，+π)，則可選控制時機為Θ∈(2kπ，2kπ+π-ΔΘ)∪ (2kπ-π，2kπ-ΔΘ).

其次，控制量為控制的脈沖速度增量大小，下文介紹相位控制過程中控制量與相位改變的關(guān)系.

設(shè)跡向控制量ΔV引起的相位改變量為ΔΘ，由式(2)、(3)和(4)得到控制前后相位角為

式(5)中兩式相除，可得控制量ΔV引起的相位改變量ΔΘ為

將式(6)變形可得要改變ΔΘ的相位角所需的控制量ΔV為

最后，控制量與控制時機構(gòu)成了控制的全部要素，下文將討論3種特殊的控制時機，并給出3種控制時機對應(yīng)的控制量.

由式(7)可知，對于一定的相位改變量ΔΘ，所需控制量ΔV與控制時機Θ相關(guān)，可以通過選擇最優(yōu)控制時機Θ*使控制量ΔV最小.由式(7)可知當(dāng)sin(Θ+ΔΘ)=±1時，所需控制量絕對值最小:ΔVmin=sinΔΘ(nb/2)，對應(yīng)的最優(yōu)控制時機為Θ*=kπ+π/2-ΔΘ(k為整數(shù)，下文同)，為最省燃料的相位控制，這種控制模式對資源受限的編隊小衛(wèi)星意義重大.

由前面的分析可知，控制前后相位在同一x半平面，對于最省燃料的控制即有:

1)若 sin(Θ*+ΔΘ)=1，即控后相位 Θ*+ΔΘ=2kπ +π/2∈(2kπ，2kπ +π)，則控前相位應(yīng)有:Θ*=2kπ +π/2-ΔΘ∈(2kπ，2kπ +π)，可得相位改變量-π/2＜ΔΘ＜π/2;

2)若 sin(Θ*+ΔΘ)=-1，即控后相位 Θ*+ΔΘ=2kπ -π/2∈(2kπ -π，2kπ)，則控前相位應(yīng)有:Θ*=2kπ -π/2-ΔΘ∈(2kπ -π，2kπ)，可得相位改變量-π/2＜ΔΘ＜π/2.即只有需要改變的相位角ΔΘ∈(-π/2，π/2)為銳角時，才能找到最省燃料的控制時機.此時若最小控制量 ΔVmin=sinΔΘ(nb/2)，則最省燃料的控制時機為Θ*=2kπ+π/2-ΔΘ;若最小控制量為ΔVmin=-sinΔΘ(nb/2)，則最省燃料的控制時機為Θ*=2kπ-π/2-ΔΘ.

由式(7)還可知，一定相位改變量ΔΘ對應(yīng)的控制量ΔV還與橢圓短半軸b相關(guān)，短半軸b越大，所需控制量ΔV也越大.所以編隊構(gòu)型尺度大的衛(wèi)星在進行相位調(diào)整時，燃料耗費相對也多.但對于最省燃料的控制，根據(jù)文獻(xiàn)［7］的推導(dǎo)，最省燃料控制時橢圓短半軸將改變:

即無論是控大還是控小相位，最省燃料控制總是會朝著將橢圓短半軸減小的方向進行.橢圓短半軸減小，后續(xù)進行最省燃料相位控制所需的控制量也會減小.

1.3.2 不改變相位的控制時機

編隊星群的相位控制到位后，希望后續(xù)控制不改變當(dāng)前相位.由式(4)可知，跡向控制量ΔV一定會改變橢圓中心徑向坐標(biāo)xc，從而改變 cosΘ=(x-xc)/b的值;但可以選擇sinΘ≡0，Θ=kπ(相對運動橢圓上下點)的時機進行控制，則控制前后相位均為0，控制不改變相位.

據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，中國矮小癥發(fā)病率約為3%，現(xiàn)有矮小人口約3900萬人。然而，每年真正接受治療的患者不到3萬人。70%以上的家長對矮小癥缺乏足夠的了解，不認(rèn)為矮小是一種病，以致錯過了孩子的最佳治療期，嚴(yán)重影響了孩子的生長發(fā)育。

雖然理論上講，在相對運動橢圓上下點進行控制不改變相位，但實際在軌時，由于測定軌誤差，上下點可能會找不準(zhǔn)，y-yc≠0為一小量;若此時恰好需要施加的控制量較大，且|ΔV|→nb/2為減小橢圓趨勢，可能會使|x-xc|→ 0，此時的括號為0:0型未定式，相位改變不可預(yù)期，為數(shù)學(xué)奇點.圖2和圖3為在不同控制時機施加同一控制量對相位的改變情況.

圖2 正控制量引起的相位改變與控制時機的關(guān)系Fig.2 Relation of phase change and the time of control with positive ΔV

由圖2和圖3可知:

1)當(dāng)控制量|ΔV|＜nb/2時，在上下點進行控制不改變相位，相位改變極值點出現(xiàn)在與控制時機對應(yīng)相位相加和為±90°的地方;

2)當(dāng)控制量|ΔV|＞nb/2時，在上下點進行控制，可能會使橢圓先減小至零后增大，上下點對調(diào)，相位改變180°，故在工程應(yīng)用時對于小尺度的編隊構(gòu)型，應(yīng)盡量避免較大的速度增量，具體的速度增量上限值需要根據(jù)構(gòu)型尺度以及工程經(jīng)驗來確定.

圖3 負(fù)控制量引起的相位改變與控制時機的關(guān)系Fig.3 Relation of phase change and the time of control under negative ΔV

1.3.3 趨近最小控制量的控制時機

當(dāng)需要改變的相位角ΔΘ∈［π/2，π］∪［-π，-π/2］時，在可選控制時機區(qū)間內(nèi)找不到最省燃料控制的控制時機，此時可分次進行最省燃料控制，也可以在可選控制時機內(nèi)任一控制時機進行控制，所需控制量按式(7)計算.由式(7)可知，在可選控制時機內(nèi)對不同時機進行控制，控制量大小不同，選擇的時機進行控制，此時控制量趨近最小控制量:

需要注意的是:控制時機無限趨近kπ，但不等于kπ，因為1.3.2分析表明在相對運動橢圓上下點(Θ=kπ)進行控制不改變相位.所以實際應(yīng)用時，需要根據(jù)實際情況設(shè)定“無限趨近”的量化標(biāo)準(zhǔn)，使非銳角相位改變量的控制趨近最小控制量控制，盡可能節(jié)省燃料.

1.3.4 小 結(jié)

根據(jù)上文推導(dǎo)，可得如下結(jié)論:

1)控制量對相位的改變不是任意的，控制前后的相位在同一x半平面.即若ΔΘ∈(-π，0)，則可選控制時機為Θ∈(2kπ-ΔΘ，2kπ+π)∪(2kππ -ΔΘ，2kπ);若 ΔΘ ∈ (0，+π)，則可選控制時機為Θ∈(2kπ，2kπ +π-ΔΘ)∪(2kπ -π，2kπ -ΔΘ).

2)若需要改變的相位角ΔΘ∈(-π/2，π/2)為銳角，可在Θ*=2kπ+π/2-ΔΘ處施加ΔVmin=sinΔΘ·(nb/2)或在Θ*=2kπ-π/2-ΔΘ處施加ΔVmin=-sinΔΘ·(nb/2)的控制量進行最省燃料控制，最省燃料的相位控制總是會將相對運動橢圓控小;

3)在相對運動橢圓上下點進行控制不改變相位，但對于小尺度構(gòu)型，上下點不易準(zhǔn)確得到，可能導(dǎo)致相位發(fā)生不可預(yù)期的改變;

4)若需要改變的相位角ΔΘ∈［π/2，π］∪［-π，-π/2］，找不到最省燃料控制的控制時機，但可在可選控制時機內(nèi)選擇Θ→kπ的時機進行控制，此時控制量趨近最小控制量ΔVmin=±nb/2.

2 仿真算例

2.1 仿真輸入

為驗證本文理論的正確性，引入仿真實例進行驗證.其中主星為 700 km高度，交點周期為5 920.374 s，初始繞飛橢圓短半軸平均值為3.781 km，|nb/2|≈2 m/s，副星繞主星共面繞飛，對副星施加控制.約定用本文公式計算得到的相位改變量為“理論值”，考慮高精度的HPOP數(shù)值外推，并考慮所有攝動，STK仿真得到的相位改變量為“仿真值”，比較“理論值”和“仿真值”的符合程度，即可驗證本文理論的正確性.

2.2 仿真結(jié)果

表1中的“控前相位”即為用相位角表示的控制時機，仿真結(jié)果如表1所示.

由表1得到結(jié)論如下:

1)對需要改變的相位角為 +19.993°和 -19.989°的情況進行了最省燃料控制仿真，相位改變量的理論值和仿真值相符，驗證了最省燃料控制理論的正確性;

2)在相對運動橢圓上下點(0°和180°)施加控制，當(dāng)實施的控制量小于nb/2時，相位改變量的仿真值為0，與理論值相同;

3)在相對運動橢圓上點(0°)附近施加控制，當(dāng)實施的控制量大于nb/2時，橢圓短半軸幾乎減小為0，相位改變較大，表1中的仿真值與理論值的差異是計算過程中的舍入誤差造成的.

表1 仿真效果Tab.1 Simulation results

3 結(jié)束語

本文基于衛(wèi)星只能進行跡向控制的一種微小衛(wèi)星在軌情況，應(yīng)用Hill方程推導(dǎo)了控制量和控制時機對編隊星群相位改變的關(guān)系，得到了當(dāng)需要改變的相位角為銳角時可進行最省燃料的控制，在相對運動橢圓上下點進行控制不改變相位，當(dāng)需要改變的相位角為非銳角時可進行分次控制等結(jié)論，并通過仿真驗證了理論的正確性.

具體應(yīng)用時，可根據(jù)本文推導(dǎo)的理論依據(jù)實際情況選擇控制模式、規(guī)劃控制量和控制時機.對于衛(wèi)星可進行其他方向控制的情況，也可參照本文的推導(dǎo)方式進行進一步推導(dǎo)，結(jié)合實際工程約束進行規(guī)劃.

本文旨在給出控制量、控制時機和編隊衛(wèi)星相位改變量之間的直觀公式，在任務(wù)分析階段可用此公式進行燃料估算和控制模式的初步規(guī)劃.對編隊星群來講，進行相位控制必然會引起構(gòu)型其他特征參數(shù)的改變，其耦合性使得編隊星群的構(gòu)型控制必須從全局綜合考慮，限于篇幅，本文不再詳細(xì)介紹，具體的構(gòu)型控制與保持將作為下一步研究的問題.

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