初中數(shù)學開放題的教與學

摘 要：開放題是指具有多種不同的解法或有多種可能的解答的問題或是條件多余需選擇或是條件不足需補充或答案不固定、不唯一的問題 。其主要特征是答案的多樣性和多層次性。

關鍵詞：數(shù)學；開放題；教學

從近年各地的中考題來看，開放題越來越多地出現(xiàn)在考卷上。所謂開放題是指具有多種不同的解法或有多種可能的解答的問題或是條件多余需選擇或是條件不足需補充或答案不固定、不唯一的問題 。這類問題的出現(xiàn)與新課程改革的要求是一致的。常見的開放題主要有三大類：

一、條件開放題（未知的要素是假設性的問題）

例如 ：

1.多項式9x2+1加上一個單項式后，使它成為一個整式的完全平方，那么加上的單項式可以是 （填一個即可）

答案：6x 或-6x或-9x2或-1或84÷4x4均可

2.寫出一個一元一次方程使它的解為x=2，則這個一元一次方程是

（只寫一個即可）

3.如圖1，在△ABC中，AD⊥BC于D，再添一個條件，就可以確定△ABC≌△ACD，這個條件可以是 。

答案： DC=BD 或AB=AC或∠BAD= ∠CAD或∠B=∠C等

二、結論開放題（未知的元素需要判斷的問題）

1.在四邊形ABCD中，給出下列條件：①AB∥CD，②AD=BC，③∠B=∠D，以其中兩個作為題設，另一個作結論，用“如果……，那么……?！钡男问剑瑢懗鲆粋€真命題是 。

2.經(jīng)過點（0，3）的一條拋物線的解析式為

3.已知點P在第二象限，其橫坐標與縱坐標之和為1， 則點P坐 標可以是 （只要求寫出符合條件的一個即可）

三、策略開放題 （未知的要素需要推理的問題）

1.有一塊長4米，寬3米的園地，現(xiàn)要在園地上辟一個花圃，使花圃的面積是園地的一半，問如何設計？給出你設計的圖案并作出有關的計算。

2.如下圖，菱形公園內(nèi)有四個景點，請你用兩種不同的方法，按下列要求設計成四個部分：（1）用直線分割；（2）每個部分內(nèi)各有一個景點；（3）各部分的面積相等。（可用鉛筆畫，只要求畫圖正確，不寫畫法）（南通）

答案不唯一，如有的問題只給出情景，其條件、解題策略與結論都要主體自行設定與尋找，這類題稱為綜合開放題。

開放題的出現(xiàn)，使學生覺得一籌莫展，不知如何面對。其實開放題并不是什么新題型，在課本上我們也是經(jīng)常碰到的，只不過是我們沒有注意到它而已。作為教師，我們在教學過程中就要有目的的向學生滲透開放題，要循序漸進，要根據(jù)學生的身心特點，符合學生的認知規(guī)律，由封閉一步一步走向開放，在引入開放題的基礎上逐漸進行開放式的教學。

所以教師在授課時要注意以下三個方面的問題：

一、數(shù)學教學內(nèi)容的開放

教學中，在以教師為主導的前提下，堅持學生是探究的主體，充分尊重學生的主體地位，通過數(shù)學教學，在獲取數(shù)學知識的同時，激發(fā)學生的積極性，提高基礎差的學生的學習數(shù)學的興趣，激勵優(yōu)生向更高層探索，讓學生主動學習，自行獲取數(shù)學知識的方法。

例如：在進行《三角形內(nèi)角和定理的證明》的教學時，通過引導學生將三角形紙片的兩個內(nèi)角撕了與第三個角拼在一起（如圖1），把這個過程轉化成數(shù)學的證明。對于這個開放性的教學有很多證明方法，舉兩個例子：

已知：△ABC. 求證：∠A+∠B+∠ACB=180°

（證法一）證明：作BC的延長線CD，過點C作射線CM∥BA，則

∠ACM=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∠MCD=∠B（兩直線平行，同位角相等）

∵∠ACM +∠MCD +∠ACB=180°（1平角=180°）

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）

（證法二）證明：過點A作直線MN∥BC則

∠NAC=∠C、∠MAB=∠B（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∵∠NAC+∠MAB+∠BAC=180°（1平角=180°）

∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代換）

上面兩種證明方法中，方法一與撕紙的過程比較接近，所以大部分學生都能獨立完成，少部分有困難的學生教師可以給予適當?shù)膸椭?，鼓勵學生討論交流與合作。這種教學模式也休現(xiàn)了數(shù)學教學是面向所有的學生的；方法二要稍微難一些，對于中上等的學生也能很快做出來，這時老師可以鼓勵他們在思考其他方法。通過這種開放性的課堂教學能夠最大限度的培養(yǎng)和促進學生的好奇心和求知欲，促進學生積極探索的態(tài)度和探索的策略，鼓勵學生參考已有的知識和技能，提出新問趣，探索新問題，同時又能關注不同程度的學生。

二、學生數(shù)學活動的開放

在數(shù)學活動中，讓學生能夠按各自不同的目的、不同的選擇、不同的能力、不同的興趣選擇并得到發(fā)展，根據(jù)教材提供的學習材料，伴隨知識的發(fā)生、形成、發(fā)展的全過程進行探究活動。能力較強者能夠積極參與數(shù)學活動，有進一步的發(fā)展機會，能力較低者也能參與數(shù)學活動。

通過這樣的開放性練習也能讓不同的學生得到發(fā)展，避免出現(xiàn)過去那種差生不會做，優(yōu)生不愿做的現(xiàn)象。又 如相交弦定理的教學，可以先不給出結論，讓學生觀察圓內(nèi)的兩條相交弦，作適當?shù)妮o助線，探索一些結論（如角相等、三角形相似等），教師順著學生思維或由學生自己探索，由此得出相交弦定理；再進一步展開：若兩條弦的交點在圓外及有一條弦變?yōu)榍芯€的情況有如何？可由學生研究。

三、學生與教學內(nèi)容之間相互作用的開放。

教師在進行教學中應進行開放性的教學，多選擇具有開放性的題目，著力引導學生多思考、多探索，讓學生學會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，只有這樣，才能使學生品嘗到自己發(fā)現(xiàn)的樂趣，才能激起他們強烈的求知欲和創(chuàng)造欲。

所以我們在平時的教學中應滲透開放題，要循序漸進，要根據(jù)學生的身心特點，符合學生的認知規(guī)律，由封閉一步一步走向開放，在引入開放題的基礎上逐漸進行開放式的教學。