取象比類方法在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：取象比類法在教學(xué)中起著非常重要的作用，本文利用大家熟悉的三角函數(shù)——正弦函數(shù)說明了復(fù)變函數(shù)中一些函數(shù)進(jìn)行單葉性區(qū)域劃分的意義及初等多值函數(shù)函數(shù)為何有單值解析分支，這是取象比類法在復(fù)變函數(shù)中的一個(gè)重要應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：取象比類 復(fù)變函數(shù) 多值函數(shù)

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）02（a）-0087-01

多值函數(shù)在復(fù)變函數(shù)中是一個(gè)重要而難理解的內(nèi)容，由于學(xué)生接觸的大部分函數(shù)都是有單值函數(shù)，所以對(duì)于多值函數(shù)尤其是其反函數(shù)的單葉性區(qū)域及其本身的單值解析分支的概念令學(xué)生非?？鄲?，學(xué)生會(huì)很難理解研究初等多值函數(shù)為什么先要研究其反函數(shù)的單葉性區(qū)域，比如說為了研究，課本首先從其反函數(shù)的單葉性區(qū)域講起，如果直接按照定義去教給學(xué)生的話，只能是讓學(xué)生死記概念，很難理解為什么要?jiǎng)澐謫稳~性區(qū)域，為什么會(huì)有單值解析分支。此時(shí)，運(yùn)用取象比類法來教授這部分內(nèi)容會(huì)令學(xué)生茅塞頓開，不僅理解了概念，對(duì)如何劃分單葉性區(qū)域，如何取其單值解析分支也會(huì)非常清晰。所謂取象比類，是指運(yùn)用帶有感性、形象、直觀的概念、符號(hào)表達(dá)對(duì)象世界的抽象意義，通過類比、象征方式把握對(duì)象的思維方法，又稱為“意象”思維方法。具體地說，就是在思維過程中以“象”為工具，以認(rèn)識(shí)、領(lǐng)悟、模擬客體為目的的方法。取“象”是為了歸類或比類，即根據(jù)被研究對(duì)象與已知對(duì)象在某些方面的相似或相同，推導(dǎo)在其他方面也有可能相似或類同。教授初等多值函數(shù)這部分內(nèi)容，我們可以從大家最熟悉的函數(shù)三角函數(shù)入手。三角函數(shù)幾乎是初中生就能理解的內(nèi)容，從最簡(jiǎn)單的正弦函數(shù)開始，學(xué)生會(huì)覺得簡(jiǎn)單、親切。我們從正弦函數(shù)入手，來說明為什么研究多值函數(shù)，要先研究反函數(shù)的單葉性區(qū)域。眾所周知，正弦函數(shù)，其定義域?yàn)?，值域?yàn)?，其圖像如圖1所示。

圖1中僅為兩個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖象。

正弦函數(shù)是周期函數(shù)，其最小正周期為，在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，而在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)。我們知道，在整個(gè)定義域內(nèi)其反函數(shù)是不存在的，因?yàn)橐粋€(gè)，有多個(gè)與之對(duì)應(yīng)。但如果按多值函數(shù)“理解”的話，其反函數(shù)是多值函數(shù)。但具體地說，其反函數(shù)很難表示出來，圖象也很難畫出。如果我們按照單調(diào)區(qū)間給它劃分一下再找反函數(shù)會(huì)容易的多。我們知道，單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，因此，在正弦函數(shù)的任意一個(gè)單調(diào)區(qū)間其反函數(shù)一定存在。高中時(shí)候我們把定義在上的正弦函數(shù)所取的反函數(shù)定義為，其實(shí)按照復(fù)變函數(shù)中多值函數(shù)概念的理解，定義在不同的單調(diào)區(qū)間的正弦函數(shù)都能取反函數(shù)，其反函數(shù)是無數(shù)個(gè)分支，如圖2。

實(shí)線部分的曲線為我們通常所認(rèn)識(shí)的，虛線圖象可分別理解為正弦函數(shù)反函數(shù)的分支，它們是分別在正弦函數(shù)的定義域和上所取的反函數(shù)，每一個(gè)分支又是單調(diào)、連續(xù)可微函數(shù)。

由此例我們可以看出，正弦函數(shù)取反函數(shù)將其定義在單調(diào)區(qū)間上就是為了找到也是單值的連續(xù)可微反函數(shù)。而我們研究多值函數(shù)，可以將其“看成”為的反函數(shù)，為了找到單值的反函數(shù)，我們也要找到類似于正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一個(gè)區(qū)域即單葉性區(qū)域，使得定義在該區(qū)域內(nèi)的函數(shù)有單值反函數(shù)即單值分支。我想如果從大家最熟悉的這個(gè)三角函數(shù)入手的話學(xué)生對(duì)初等多值函數(shù)的理解會(huì)更加深刻一下。

在復(fù)變函數(shù)的授課中還有很多內(nèi)容可以用到取象比類的方法，從整本書內(nèi)容的安排到各章內(nèi)容都與數(shù)學(xué)分析有著很多相似之處，如果對(duì)比數(shù)學(xué)分析去講復(fù)變函數(shù)的話不僅可以讓學(xué)生學(xué)好復(fù)變函數(shù)也可以令學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)分析理解得更加深刻。

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