基于MATLAB的根軌跡仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

摘 要：在自動(dòng)控制原理課程實(shí)驗(yàn)中，提出了以MATLAB作為工具的根軌跡仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)思路，從根軌跡的繪制、系統(tǒng)性能分析和系統(tǒng)校正三個(gè)方面入手，綜合訓(xùn)練學(xué)生對(duì)根軌跡分析法的理解和應(yīng)用。教學(xué)實(shí)踐表明，該實(shí)驗(yàn)有利于學(xué)生全面掌握所學(xué)知識(shí)，提高分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：根軌跡 仿真 實(shí)驗(yàn) MATLAB

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）02（a）-0056-02

控制系統(tǒng)的根軌跡分析與設(shè)計(jì)是自動(dòng)控制理論中非常重要的一種方法，也是在工程實(shí)際中得到廣泛應(yīng)用的一種圖解方法，在自動(dòng)控制原理課程教學(xué)中占有重要地位。傳統(tǒng)的根軌跡實(shí)驗(yàn)需要手工繪制系統(tǒng)的根軌跡圖以及大量的計(jì)算，效率低，且很難得到精確的結(jié)果[1]；而MATLAB中提供了繪制和分析根軌跡的函數(shù)，可以非常方便、直觀的得到系統(tǒng)的根軌跡，因此，我們將MATLAB引入到自動(dòng)控制原理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，設(shè)計(jì)基于MATLAB的根軌跡仿真實(shí)驗(yàn)。

1 根軌跡仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

根軌跡仿真實(shí)驗(yàn)不但要求學(xué)生掌握繪制根軌跡的方法，而且能夠根據(jù)根軌跡圖分析系統(tǒng)的性能，更進(jìn)一步地，當(dāng)系統(tǒng)性能不滿足要求時(shí)，能夠正確設(shè)計(jì)校正裝置，改善系統(tǒng)的性能。因此，仿真實(shí)驗(yàn)由繪制根軌跡、性能分析和系統(tǒng)校正三部分組成。

（1）繪制根軌跡。

MATLAB中提供了rlocus（ ）函數(shù)，可直接用于控制系統(tǒng)根軌跡的繪制，調(diào)用格式rlocus（num，den），其中num為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式的系數(shù)向量，den為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，多項(xiàng)式各項(xiàng)按s的降冪排列。

在繪制的根軌跡圖上，用鼠標(biāo)左鍵單擊曲線上的任一點(diǎn)，將顯示關(guān)于這個(gè)點(diǎn)的有關(guān)信息，包括該點(diǎn)的增益值，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)特征根的值和可能的閉環(huán)系統(tǒng)阻尼比和超調(diào)量等[2]。

在MATLAB中，提供了rlocfind（ ）函數(shù)用于獲取選定點(diǎn)對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)和增益K的值。該函數(shù)的調(diào)用格式為：[k，r]=rlocfind （num，den）。根軌跡繪制完成，執(zhí)行rlocfind命令時(shí)，出現(xiàn) “Select a point in the graphics window”的提示語(yǔ)，即要求在根軌跡圖上選定一個(gè)點(diǎn)，根軌跡圖上出現(xiàn)“+”標(biāo)記，將鼠標(biāo)移至根軌跡圖上的選定位置，然后單擊左鍵確定，就得到了選定點(diǎn)的閉環(huán)根r和增益K的返回變量值[3]。

（2）性能分析。

系統(tǒng)的性能分析主要是穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)誤差三個(gè)方面。穩(wěn)定性分析的關(guān)鍵是求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，有兩種方法：一種是單擊該點(diǎn)，從顯示信息中讀取該點(diǎn)的增益值；另一種是應(yīng)用rlocfind命令求出根軌跡與虛軸交點(diǎn)的增益值。

繪制系統(tǒng)的根軌跡曲線后，應(yīng)用grid命令可以在根軌跡曲線上疊畫出等阻尼比線和等自然頻率線，根據(jù)等阻尼比線可以進(jìn)行基于根軌跡的性能分析與設(shè)計(jì)。例如，單擊的等阻尼比線與根軌跡的交點(diǎn)，得出對(duì)應(yīng)的增益K的值，然后繪制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，從而分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

（3）系統(tǒng)校正。

MATLAB提供了一個(gè)非常有用的校正工具rltool，它是一個(gè)應(yīng)用根軌跡方法分析系統(tǒng)性能的圖形界面窗口，可以在界面上可視地設(shè)計(jì)整個(gè)前向通路的控制器（即添加、移動(dòng)零極點(diǎn)），從而改善系統(tǒng)的性能。首先通過(guò)調(diào)用命令：rltool或rltool（G），其中，G為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，打開rltool工具的圖形界面，在界面上會(huì)顯示系統(tǒng)的根軌跡圖。然后單擊圖形界面菜單命令A(yù)nalysis的下拉菜單中的Response to Step Command命令，則彈出一個(gè)新的圖形窗口，顯示系統(tǒng)的閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線，如果系統(tǒng)性能不滿足要求，需要設(shè)計(jì)一個(gè)控制器來(lái)改善系統(tǒng)的性能。單擊界面上的零點(diǎn)和極點(diǎn)添加的按鈕，可以給系統(tǒng)添加零極點(diǎn)，在根軌跡曲線上拖動(dòng)添加的零極點(diǎn)的位置，并調(diào)整控制器增益的值，通過(guò)觀察系統(tǒng)的閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線的變化，則可以試湊地設(shè)計(jì)出滿足要求的系統(tǒng)控制器。此時(shí)，圖形窗口分別顯示的是經(jīng)控制器校正后的系統(tǒng)根軌跡圖和階躍響應(yīng)曲線?？梢?jiàn)，rltool是應(yīng)用根軌跡法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行綜合和設(shè)計(jì)的非常方便、實(shí)用的工具[4]。

2 實(shí)例

設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，試求：（1）系統(tǒng)的根軌跡；（2）系統(tǒng)穩(wěn)定的K*值范圍；（3）若系統(tǒng)不穩(wěn)定，附加零點(diǎn)，使系統(tǒng)具有的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。首先調(diào)用matlab函數(shù)G=tf（[1]，[1，3，0，0]）； rlocus （G）；繪制系統(tǒng)的根軌跡，如圖1所示。由圖1可知，原系統(tǒng)始終有兩條根軌跡分支完全位于s右半平面，K*無(wú)論取何值系統(tǒng)都不穩(wěn)定。給系統(tǒng)附加一個(gè)b=-1的開環(huán)零點(diǎn)，根軌跡如圖2所示。由圖2可知，系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定，并能獲得滿足性能要求的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。

3 結(jié)語(yǔ)

采用MATLAB可以方便地繪制精確的根軌跡圖，并可觀測(cè)參數(shù)變化對(duì)特征根位置的影響，從而對(duì)系統(tǒng)性能進(jìn)行分析和校正。教學(xué)實(shí)踐表明，該實(shí)驗(yàn)有利于訓(xùn)練學(xué)生全面掌握所學(xué)知識(shí)，提高分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)

[1]劉振全，薛薇，齊國(guó)元.自動(dòng)控制理論課的實(shí)驗(yàn)教學(xué)改革探討[J].電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2005，27（2）：90-92.

[2]薛定宇.控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)-MATLAB語(yǔ)言與應(yīng)用[M].3版.北京：清華大學(xué)出版社，2012.

[3]張彩霞，張志飛.基于MATLAB的“自動(dòng)控制原理”實(shí)驗(yàn)教學(xué)[J].實(shí)驗(yàn)室科學(xué)，2007（2）：123-124.

[4]陳艷菲.倒立擺在自動(dòng)控制原理綜合實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2013（32）：94-96.