一元二次不等式解法的教學(xué)探討

【摘 要】本文通過(guò)將一元二次方程的根、拋物線的圖像、一元二次不等式的解三者結(jié)合起來(lái)進(jìn)行討論，力求講清解一元二次不等式的來(lái)龍去脈，進(jìn)而將解一元二次不等式簡(jiǎn)化為當(dāng)判別式大于零時(shí)，按“小于兩根之內(nèi)，大于兩根之外”不解，判別式小于或等于零時(shí)，觀察草圖來(lái)解，從而讓學(xué)生更易于學(xué)會(huì)解一元二次不等式。

【關(guān)鍵詞】一元二次方程 拋物線 一元二次不等式 解法

【中圖分類號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）36-0119-02

一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是高考的一個(gè)重要內(nèi)容，它的應(yīng)用很廣泛，可以用于集合、三角函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、最值、數(shù)列等知識(shí)模塊里。對(duì)學(xué)生來(lái)講，也是一個(gè)難點(diǎn)。對(duì)此，本文僅作一些粗淺的教學(xué)方面的探討。

一 知識(shí)根源——來(lái)龍去脈

學(xué)生學(xué)習(xí)中難以掌握這個(gè)內(nèi)容的原因是要把下面三個(gè)知識(shí)同時(shí)兼顧來(lái)考慮問(wèn)題，而很多學(xué)生無(wú)法將這三者有機(jī)結(jié)合起來(lái)。

拋物線y=ax2+bx+c （1）

一元二次方程ax2+bx+c=0 （2）

二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 （3）

以下討論都假設(shè)二次不等式中二次項(xiàng)系數(shù)a>0，Δ=b2-4ac，在下面討論1中，設(shè)x1

第一，當(dāng)Δ>0時(shí)，方程（2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，相應(yīng)的拋物線（1）與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（x1，0）和（x2，0），這時(shí)，要解不等式ax2+bx+c>0，就相當(dāng)于在拋物線（1）的圖像上找縱坐標(biāo)大于0的那些點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍。也就是找圖1中x軸上方的圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍。于是由圖1易得到不等式ax2+bx+c>0的解集為{x︱xx2}，表示的數(shù)剛好在兩個(gè)根x1，x2的外側(cè)，故可簡(jiǎn)稱“大于兩根之外”。

同樣的，要解不等式ax2+bx+c<0，就相當(dāng)于在拋物線（1）的圖像上找縱坐標(biāo)小于0的點(diǎn)它們的橫坐標(biāo)的范圍。也就是找圖1中x軸下方的圖像上的點(diǎn)它們的橫坐標(biāo)的范

圍。于是由圖1易得到不等式ax2+bx+c<0的解集為{x︱x1

若將上面的不等式中的“<”和“>”號(hào)分別換成“≤”和“≥”，只要在最后相應(yīng)的解集中將“<”和“>”號(hào)分別換成“≤”和“≥”號(hào)即可。

第二，當(dāng)Δ=0時(shí)，方程（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根為x1=

x2= ，相應(yīng)的拋物線（1）與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)，

要解不等式ax2+bx+c>0就相當(dāng)于在拋物線（1）的圖像上找縱坐標(biāo)大于0的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍。也就是圖2中x軸上方的圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍。于是由圖2易得到不等式

ax2+bx+c>0的解集為{x︱x≠ }，即拋物線的圖像上除

了頂點(diǎn)外的所有點(diǎn)，橫坐標(biāo)都適合不等式ax2+bx+c>0，這個(gè)結(jié)果只要會(huì)觀察圖像就能直接寫出答案了。

同樣的，要解不等式ax2+bx+c<0，就相當(dāng)于在拋物線（1）的圖像上找縱坐標(biāo)小于0的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍。也就是圖2中x軸下方的圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍，而這時(shí)拋物線（1）在x軸下方?jīng)]有圖像，于是由圖2易得到不等式ax2+bx+c<0的解集為空集?。

觀察圖2可知，若不等式ax2+bx+c>0中的“>”號(hào)換成“≥”號(hào)，則解集為R，即拋物線（1）的圖像上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都滿足不等式ax2+bx+c≥0；若將不等式ax2+bx+

c<0中的“<”換成“≤”，則解集為{x︱x= }，就是

說(shuō)，除了拋物線（1）的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)能滿足不等式ax2+bx+c≤0外，沒(méi)有哪個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)能夠滿足二次不等式ax2+bx+c≤0。

第三，當(dāng)Δ<0時(shí)，方程（2）沒(méi)有實(shí)數(shù)根，相應(yīng)的拋物線（1）與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，這時(shí)，要解不等式ax2+bx+c>0，就相當(dāng)于在拋物線（1）的圖像上找縱坐標(biāo)大于0的點(diǎn)它們的橫坐標(biāo)的范圍。

于是由圖3可以得到不等式ax2+bx+c>0的解集為R，若將不等式ax2+bx+c>0中的“>”號(hào)改成“≥”號(hào)，解集仍為R。

同樣的，要解不等式ax2+bx+c<0，就相當(dāng)于在拋物線（1）的圖像上找縱坐標(biāo)小于0的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍。于是由圖3可以得到不等式ax2+bx+c<0的解集為空集?，若將不等式ax2+bx+c<0中的“<”換成“≤”，則解集仍為?。

二 歸納總結(jié)——易于操作

將上述詳細(xì)討論的解法歸納一下，二次不等式的解法其實(shí)就只有兩句話：在二次項(xiàng)系數(shù)a>0的情況下：當(dāng)Δ>0時(shí)，用口訣“大于兩根之外，小于兩根之內(nèi)”來(lái)解。當(dāng)Δ=0和Δ<0時(shí)，畫出草圖觀察圖像來(lái)解。

這樣一來(lái)，所有的一元二次不等式都可以如此來(lái)解了。

詳見(jiàn)下表：

Δ>0Δ=0Δ<0

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）的圖像y=ax2+bx+c

y=ax2+bx+c

y=ax2+bx+c

一元二次方程ax2+bx+c=0

（a>0）的根有兩相異實(shí)根

x1，x2（x1，

x1=x2=

無(wú)實(shí)根

ax2+bx+c>0

（a>0）的解集{x︱x

x>x2}{x︱x≠ }

R

ax2+bx+c≥0

（a>0）的解集{x︱x≤x1或

x≥x2}RR

ax2+bx+c<0

（a>0）的解集{x︱x1

ax2+bx+c≤0

（a>0）的解集{x︱x1≤x≤x2}{x︱x= }

三 典型例題——學(xué)以致用

例1，[2010年全國(guó)高考卷（13）]不等式 -x≤1的解集是 。

解析1：原不等式等價(jià)于 ，

解得：0≤x≤2。

解析2： -x≤1? ≤1+x?

? ?0≤x≤2?{x︱0≤x≤2}，其中解不等式x2-

2x≤0時(shí)就可以直接用口訣來(lái)解。

例2，已知函數(shù)f（x）=lg（x2-2mx+m+2），若f（x）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解析：因?yàn)閷?duì)數(shù)的真數(shù)必須大于0，所以由題意可知，不等式x2-2mx+m+2>0的解集為R，即拋物線y=x2-2mx+m+2的圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)（參見(jiàn)上表），所以Δ=（-2m）2-4（m+2）=4m 2-4m-8<0?m2-m-2<0?-1

所以，若f（x）的定義域?yàn)镽，實(shí)數(shù)m的取值范圍（-1，2）。其中解不等式m2-m-2<0時(shí)可以直接用口訣來(lái)解。

例3，一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集是（ ，

），求a+b的值。

解析：依題意，由上邊的討論可知，如果這里a>0，那么解集肯定是“兩根之外”的形式，而這里是“兩根之內(nèi)”的形式，說(shuō)明這里a<0，且方程ax2+bx+2=0的兩根分別

為 和 ，于是由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：

? ?a+b=-14。

〔責(zé)任編輯：林勁〕