關(guān)于泰勒公式及其應(yīng)用的思考與討論

【摘""要】在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，泰勒公式是重要的內(nèi)容，在對(duì)一些數(shù)學(xué)問題的分析和研究中，泰勒公式的應(yīng)用非常廣泛，本文主要針對(duì)泰勒公式在方程根的唯一性和存在性、近似計(jì)算、求極限及不等式問題中的應(yīng)用技巧和方法進(jìn)行思考和討論。

【關(guān)鍵詞】泰勒公式""應(yīng)用""討論

【中圖分類號(hào)】G642"""""""""""【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A"""""""""""【文章編號(hào)】1674-4810（2014）33-0063-01

一"泰勒公式的定理及用泰勒公式展開函數(shù)的方法

定理1，假設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0點(diǎn)的臨近區(qū)域內(nèi)n+1階可微，那么在該臨近區(qū)域內(nèi)：

。

其中，，ξ為x0和x間的某一個(gè)值。

如果x0=0，則

，

0<θ<1。

定理2，假設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0點(diǎn)n階可微，那么在x0近旁則有：

。

如果x0=0，則

應(yīng)用上述原理，可在x0=0近旁展開一些常用函數(shù)，利用這些常用函數(shù)可以間接泰勒展開一些復(fù)合函數(shù)。

例1，求函數(shù)y=lncosx在x=0附近帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒展開式，到x4項(xiàng)。

解：利用和

復(fù)合兩式，得：

o

。

二"泰勒公式在極限函數(shù)中的應(yīng)用

極限問題中，針對(duì)待定型極限問題，通常采用洛必達(dá)法則解決，但是對(duì)于一些相對(duì)煩瑣的求導(dǎo)極限問題，尤其需要多次使用洛必達(dá)法則時(shí)，問題就變得非常復(fù)雜。此時(shí)，應(yīng)用泰勒公式對(duì)這一問題進(jìn)行解決就相對(duì)比較簡(jiǎn)單了。

例2，。

分析：該函數(shù)可利用洛必達(dá)法則求極限，但是需要通過六次應(yīng)用洛必達(dá)法則才能完成，并且一次比一次的導(dǎo)數(shù)復(fù)雜，那么應(yīng)用泰勒公式計(jì)算就比較簡(jiǎn)單了，當(dāng)然是在x=0處展開，選擇佩亞諾型余項(xiàng)。而對(duì)于展開的階數(shù)最終是多少不進(jìn)行考慮，通?？紤]逐階展開，展開一項(xiàng)，消去一項(xiàng)，直到不能消去。首先，展開分子上的函數(shù)，寫出與sinx的泰勒展開式，的第一項(xiàng)為1，sinx的第一項(xiàng)為x，則就可以寫成6x，和后面的6x正好可以消去，然后再展開下一項(xiàng)，得到的前兩項(xiàng)為6x-7x3，所以，還要將其再展開一項(xiàng)，同理，分母也按此方法進(jìn)行。

解：

因此，原式=

三"利用泰勒公式證明等式或不等式

例3，證明不等式

分析：在不等式的左邊，為二次三項(xiàng)式，右邊為無(wú)理函數(shù)，兩者從表面上來(lái)看并沒有明顯的大小關(guān)系，那么需要進(jìn)行泰勒展開，將在x0=0處展開，然后和左邊的二次三項(xiàng)式進(jìn)行對(duì)比，判斷二者的關(guān)系。

證明：設(shè)，則有，，

;，;，

。

因此，（0lt;θlt;1），

當(dāng)x>0時(shí)，余項(xiàng)>0，則。

泰勒公式在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，當(dāng)然不止本文上述的幾個(gè)方面，還有更多問題的解決采用泰勒公式，如求行列式的值、判斷級(jí)數(shù)的斂散性等。本文著重對(duì)泰勒公式的幾個(gè)常用方面的應(yīng)用技巧進(jìn)行分析，對(duì)利用泰勒公式解決數(shù)學(xué)問題有了更深的認(rèn)識(shí)。在遇到不同的問題類型時(shí)，要多加分析，對(duì)題設(shè)的條件及特點(diǎn)進(jìn)行研究，把握處理問題的原則，就能很好地利用泰勒公式對(duì)問題進(jìn)行處理。

參考文獻(xiàn)

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[2]譚康.泰勒公式及泰勒級(jí)數(shù)之妙用[J].高等數(shù)學(xué)研究，2010（3）

〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕