類比推理在解題中的應(yīng)用

【摘""要】在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有助于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2第二章推理與證明中，教材將類比推理作為合情推理的一個(gè)重要內(nèi)容，是整個(gè)高中階段對(duì)類比推理的高度概括與總結(jié)，也是將這種培養(yǎng)學(xué)生思維能力的方式從幕后推向臺(tái)前，是點(diǎn)睛之筆。

【關(guān)鍵詞】類比推理""概念類比""升維類比""降維類比

【中圖分類號(hào)】G632"""""""""""【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A"""""""""""【文章編號(hào)】1674-4810（2014）33-0019-01

類比推理以舊的知識(shí)作基礎(chǔ)，推測(cè)新的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)的功能。類比在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中具有重要作用，如通過(guò)空間與平面、向量與數(shù)、無(wú)限與有限、不等與相等的類比，可從熟悉的知識(shí)（如平面、數(shù)、有限、相等）中得到啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)可研究的問(wèn)題及研究方法。由于類比推理的前提是兩類對(duì)象之間具有某些可以清楚定義的類似特征，所以進(jìn)行類比推理的關(guān)鍵是明確地指出兩類對(duì)象在某些方面的類似特征。筆者下面探究類比推理在解題中的應(yīng)用。

一"概念類比，延伸定義范圍

我們可以從已經(jīng)獲得的知識(shí)出發(fā)，通過(guò)類比而得出新發(fā)現(xiàn)，類比已有的定義可以提出新的定義，法國(guó)天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦正是類比了加法和乘法在不同的集合的運(yùn)算，提出了“群”的概念。

例1，（2007年，福建理）中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，如“相等關(guān)系”“平行關(guān)系”等，如果集合A中元素之間的一個(gè)關(guān)系“～”滿足以下三個(gè)條件：（1）自反性：對(duì)于任意a∈A，都有a～a;（2）對(duì)稱性：對(duì)于a，b∈A，若a～b，則有b～a;（3）傳遞性：對(duì)于a，b，c∈A，若a～b，b～c，則有a～c。

則稱“～”是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，如“數(shù)的相等”是等價(jià)關(guān)系，而“直線的平行”不是等價(jià)關(guān)系（自反性不成立），請(qǐng)你再列出三個(gè)等價(jià)關(guān)系："""""""""""""""""。

點(diǎn)評(píng)：本題答案不唯一，如“圖形的全等”“圖形的相似”“非零向量的共線”“命題的充要條件”等。

二"升維類比，得出新結(jié)論

在立體幾何中為了研究幾何體的性質(zhì)，常在平面幾何中尋找一個(gè)研究過(guò)的對(duì)象，通過(guò)類比這個(gè)對(duì)象的性質(zhì)，獲得幾何體性質(zhì)的猜想以及證明這些猜想的思路，如長(zhǎng)方形類比長(zhǎng)方體，直角三角形類比三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，圓類比球，正三角形類比正四面體等。在研究不等式性質(zhì)時(shí)，也常先研究維數(shù)較低的不等式，再進(jìn)行類比猜想出維數(shù)較多的不等式，如均值不等式、柯西不等式等。

例2，（2009年，江蘇理）在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的體積比為_(kāi)________。（答案：1∶8）

點(diǎn)評(píng)：類比平面圖形的相似性質(zhì)：面積比等于相似比的平方;幾何體的相似性質(zhì)：體積比等于相似比的立方。

三"降維類比，探索解法

例3，設(shè)x+y+z=19，則函數(shù)

的最小值為_(kāi)______。

筆者將解此題的思考過(guò)程展示出來(lái)：初看此題，可以想到與兩點(diǎn)距離公式有關(guān)，但不知從何下手，后來(lái)嘗試構(gòu)造了只有兩個(gè)變量的類比題：已知x+y=19，求函數(shù)的最小值_______。并用如下方法解了出來(lái)：將y=19-x代入函數(shù)得

表示x軸上的動(dòng)點(diǎn)P（x，0）到兩定點(diǎn)A（0，2），B（19，3）的距離之和，取B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B'（19，-3），則≥。但這一方法不適合推廣到三

維，后來(lái)又改進(jìn)了解法。

[當(dāng)且僅當(dāng)P（x，2），O（0，0），Q（y，3）

三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)]，即≥。因此在解本題時(shí)構(gòu)造了五個(gè)點(diǎn)：P（x，2），O（0，0），Q（y，3），R（x+y，2+3），S（z，4）。

故本題的解法：

≥≥

，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=，

，時(shí)，函數(shù)的最小值為。

點(diǎn)評(píng)：本題難在要先后兩次構(gòu)造三角形不等式，還要分析等號(hào)成立的條件。構(gòu)造三角形不等式時(shí)，在變量比較多時(shí)，可以先減少一下變量的個(gè)數(shù)以便于研究解法。注意本題等號(hào)成立的條件是構(gòu)造的三個(gè)點(diǎn)能在同一直線上。

參考文獻(xiàn)

[1]王朝璇.類比題的類型及解題方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2009（2）

[2]張愛(ài)梅、劉元利.活躍在高考題中的立體幾何類比題評(píng)析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2008（3）

[3]劉兵華、田仁好.從高考試題看類比推理在解題中的作用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2008（6）

〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕

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*"福建省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度課題“高中學(xué)生校外數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)踐狀況研究”（編號(hào)：FJJKXB13-069）