概率統(tǒng)計(jì)趣味性教學(xué)案例

【摘""要】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是眾多大學(xué)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課之一，其教學(xué)難點(diǎn)主要在于概念的抽象性造成學(xué)生難以理解。本文給出大量概率論教學(xué)中相關(guān)難點(diǎn)的趣味性教學(xué)實(shí)例，對(duì)豐富概率論課堂內(nèi)容、提高教學(xué)效果有著十分重要的意義。

【關(guān)鍵詞】教學(xué)方法""概率論""教學(xué)案例

【中圖分類號(hào)】G432.07"""""""""""【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A"""""""""""【文章編號(hào)】1674-4810（2014）33-0005-02

概率統(tǒng)計(jì)是現(xiàn)代大學(xué)理工、經(jīng)濟(jì)、社科、農(nóng)林、體育等專業(yè)必修課程。課程的學(xué)習(xí)對(duì)于培養(yǎng)和提高學(xué)生的創(chuàng)新能力與綜合素質(zhì)起著極為重要的作用。其不但為學(xué)生學(xué)習(xí)一些后續(xù)課程奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而且對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性、邏輯性與嚴(yán)密性方面進(jìn)行一定的訓(xùn)練和熏陶，使他們具有理解和運(yùn)用邏輯關(guān)系、研究和領(lǐng)會(huì)抽象事物、認(rèn)識(shí)和利用數(shù)形規(guī)律的初步能力。與其他數(shù)學(xué)研究對(duì)象和分析方法都不一樣，概率統(tǒng)計(jì)的難點(diǎn)和關(guān)鍵是對(duì)概念的理解，學(xué)生普遍反映很難聽(tīng)懂。如何把抽象概念形象化、具體化、簡(jiǎn)明化，值得我們思考。

本文給出筆者在長(zhǎng)期從事概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過(guò)程中針對(duì)概率統(tǒng)計(jì)和高數(shù)各章疑難點(diǎn)，收集和構(gòu)想的一批趣味性教學(xué)實(shí)例，與諸位同行交流，希望能夠豐富概率統(tǒng)計(jì)課堂教學(xué)的內(nèi)容，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，改善教學(xué)效果。以下面幾個(gè)例子介紹概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題：

一"賭徒分莊問(wèn)題

上概率統(tǒng)計(jì)第一堂課，先簡(jiǎn)單介紹該課程的起源。概率論最初是研究賭博中的概率問(wèn)題，其中之一是著名的賭徒分莊問(wèn)題。三百多年前（17世紀(jì)中葉）法國(guó)有一個(gè)非常有名的賭徒名叫Mere，有一次他與Mitton賭博，兩人約定：各擲一次骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)六者為勝一局，五局三勝制，賭金各一萬(wàn)法郎。賭博進(jìn)行了三局，Mere兩勝一負(fù)，此時(shí)因?yàn)樘厥庠蛸€博中止。問(wèn)如何根據(jù)現(xiàn)有結(jié)果來(lái)分割賭金。提供三種分莊方案（比例）：

Mere

1/2

1

2/3

Mitton

1/2

0

1/3

問(wèn)學(xué)生選哪種方案，或有另外的分配方案？學(xué)生回答各種方案的都有，其中選第三種方案的居多。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)兩賭徒選的就是第三種方案。但事后Mere覺(jué)得自己吃虧了，

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就請(qǐng)教數(shù)學(xué)家Pascal。Pascal經(jīng)過(guò)分析得出結(jié)論，并把此問(wèn)題轉(zhuǎn)給另一位數(shù)學(xué)家Fermat，F(xiàn)ermat也得出同樣的結(jié)論。其

結(jié)論是Mere應(yīng)得，為什么？原分配方案對(duì)，只考慮

了已經(jīng)發(fā)生的結(jié)果（2∶1），沒(méi)有考慮到如果賭博繼續(xù)進(jìn)行可能發(fā)生的結(jié)果。設(shè)賭博進(jìn)行完五局，后面有四種可能的結(jié)果：（+、+）、（+、-）、（-、+）、（-、-），其中“+”表示Mere勝，“-”表示Mere負(fù)。上述四種結(jié)果是等可能

的，且前三種是Mere贏，故Mere應(yīng)得。

據(jù)說(shuō)，就是從此問(wèn)題討論開(kāi)始，法國(guó)數(shù)學(xué)家Pascal和Fermat與他們的好友荷蘭數(shù)學(xué)家Higens對(duì)賭博的概率問(wèn)題展開(kāi)了系統(tǒng)的研究，并由Higens寫(xiě)成《論賭博中的概率》一書(shū)。它是一部最早的概率論著作，那個(gè)時(shí)期也被定為概率論萌芽時(shí)期。

二"三張卡片的故事

有些古典概率結(jié)果是很直觀的，如擲硬幣出現(xiàn)正面和反

面的概率各一半;擲一顆骰子，出現(xiàn)1～6點(diǎn)的概率都是

等等。但是有些直觀是錯(cuò)誤的，看下面三張卡片的故事：

有三張卡片大小、形狀和顏色都一樣，其中一張中間兩面都畫(huà)有一個(gè)圓圈，另一張兩面中間畫(huà)有一個(gè)黑點(diǎn)，第三張一面中間是圓圈，另一面是黑點(diǎn)，如圖1所示。

從三張卡片中隨機(jī)地取一張，讓你看見(jiàn)其中一面，猜另一面的圖形。

分析1：假設(shè)你看到一面中間是圓圈，那么排除上述第二張，而第一、第三張反面一張是圓圈、一張是黑點(diǎn)，故猜

另一面中間是圓圈或黑點(diǎn)的概率都是。

分析2：同樣假設(shè)你看到圓圈，排除第二張，把第一、第三張卡片中的圖案編號(hào)如圖2。

""""""

圖1"""""""""""""""""""""""""""圖2

你看到的圓圈是1、2、3中之一，且是等可能的。當(dāng)你看到1號(hào)或3號(hào)時(shí)，猜另一面為圓圈正確，當(dāng)你看見(jiàn)2號(hào)時(shí)，猜反面是圓圈錯(cuò)，所以當(dāng)你看見(jiàn)一面是圓圈時(shí)猜另一面是圓

圈猜中的概率為。

分析3：當(dāng)你看見(jiàn)圖案是什么，就猜出另一面也是什么，

成功的概率是（抽中第一、第三張卡片猜對(duì)，第二張猜錯(cuò)）。

顯然，上述分析2、3是對(duì)的，而分析1直觀對(duì)，實(shí)際錯(cuò)了。

三"薄豐投針問(wèn)題

圓周率π是一個(gè)無(wú)理數(shù)。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之是世界上第一個(gè)將π值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后面7位數(shù)的人，即3.1415926，這一紀(jì)錄保持了一千多年。法國(guó)數(shù)學(xué)家薄豐通過(guò)一個(gè)游戲得到π的近似值，精確到小數(shù)點(diǎn)后面5位，讓人嘆為觀止。在講幾何概型時(shí)，我補(bǔ)充了這個(gè)例子。

薄豐是法國(guó)數(shù)學(xué)家，據(jù)說(shuō)他非常富有，每個(gè)周末都邀請(qǐng)親朋好友到家里度假。有一個(gè)周末，他邀請(qǐng)到20多位親朋好友到家，晚上酒足飯飽后，他對(duì)朋友說(shuō)：今天我們來(lái)做一個(gè)游戲，大家每人拿一盒針（100枚），一根一根地往下丟，統(tǒng)計(jì)地上的針與地面平行線（地面磚交線）相交的數(shù)量，把統(tǒng)計(jì)結(jié)果告訴我。

一個(gè)小時(shí)過(guò)去了，游戲結(jié)束，大家把統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)交給薄豐。薄豐統(tǒng)計(jì)出結(jié)果，并把它代入一個(gè)預(yù)先設(shè)定好的計(jì)算公式，計(jì)算結(jié)果讓大家大吃一驚，其結(jié)果是3.14136，太奇妙了。

讓我們看看奇跡是如何發(fā)生的。設(shè)地面平行線的距離為2d，針的長(zhǎng)度為2L，針的中點(diǎn)至最近平行線的距離為x，針與平行線的夾角為θ，如圖3。

這是幾何概率問(wèn)題：

樣本空間

針與線相交的充要條件是

圖3""""""""""""""""""""""圖4

故針與直線相交的概率為

設(shè)投針總量為N，針與線相交的數(shù)量為n，則其頻率為。

由頻率與概率的關(guān)系得：。

已知N=2000，n=382，d=20cm，L=6cm，一并代入

上式得：。

通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)，求出π的近似值，確實(shí)讓人驚奇。學(xué)生們可以自己設(shè)計(jì)一個(gè)薄豐投針的程序用電腦模擬實(shí)驗(yàn)，可以得到更精準(zhǔn)的π值。

四"概率為0與不可能事件

我們知道，不可能事件的概率為0，即P（φ）=0。但是，概率為0的事件一定是不可能事件嗎？答案是否定的。

例如，向[0，1]區(qū)間內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)恰好落在上的概率

P（）=？，設(shè)P（）=p，若pgt;0，則P（）=P（）=

pgt;0，n=1，2，…

由可列可加性，矛盾。故p=0，而“點(diǎn)恰

好落在上”是可能發(fā)生的事件。

注：此例也表明，概率為1的事件不一定是必然事件。

五"可列無(wú)窮與不可列無(wú)窮

細(xì)心的同學(xué)可能會(huì)問(wèn)，在上例中，對(duì)，有

P（χ）=0。于是，矛盾。是呀！問(wèn)題出在哪里呢？

概率公理化定義中第三條可列可加性是指：設(shè)有可列多個(gè)不相容事件A1，A2，…，An

有

而是不可列無(wú)窮多之和，下式是不成立的。

概率公理化定義中第三條可列可加性之所以強(qiáng)調(diào)“可列可加”而不是任意無(wú)窮可加，上述例子正是好的注解。

六"最大似然的估計(jì)

最大似然的估計(jì)是參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的一種重要方法，一般教材中是這樣闡述的：設(shè)總體X～f（x，θ），其中θ是要估計(jì)的參數(shù)，抽取一個(gè)樣本（X1，X2，…，Xn）其聯(lián)合概率函數(shù)為

∠（θ），其中（x1x2…xn）為樣本值稱∠（θ）為

似然函數(shù)。選取θ的估計(jì)值，使∠（θ）取到最大值，這個(gè)估計(jì)值就稱為最大似然估計(jì)。為什么要選θ的估計(jì)值，使∠（θ）取到最大值？學(xué)生很難理解這種思維方法。在長(zhǎng)期的教學(xué)過(guò)程中，我構(gòu)想了下面這個(gè)例子：

1個(gè)盒子中有10個(gè)球，分黑白兩種顏色，兩種球比例為9∶1，但不知哪種球多，現(xiàn)從中任取一個(gè)球，發(fā)現(xiàn)是白球，問(wèn)盒中黑白球各多少？

學(xué)生回答：白球9個(gè)，黑球1個(gè)。為什么呢？學(xué)生回答，白球多，取到的概率大。如此簡(jiǎn)單的一個(gè)例子可以讓學(xué)生對(duì)這一抽象概念有直接的認(rèn)識(shí)。

七"結(jié)束語(yǔ)

本文是筆者在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)改革與實(shí)踐中獲得的一點(diǎn)粗淺的認(rèn)識(shí)和體會(huì)，愿與各位同仁交流。

參考文獻(xiàn)

[1]宋桂榮.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)改革研究[J].時(shí)代教育，2012（19）：9～11

[2]魏巍.本科概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)模式改革的探索[J]數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（23）：119～121

〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕

*"廣東省高等教育教學(xué)改革重點(diǎn)項(xiàng)目（編號(hào)：2013-5-220）、廣東海洋大學(xué)教學(xué)改革課題（XJG201259）