利用DFT技術(shù)檢測(cè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)中頻率較近分量方法的研究

摘 要：從信號(hào)檢測(cè)的需求出發(fā)，闡述了運(yùn)用離散傅里葉變換檢測(cè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻譜的原理和具體方法。通過實(shí)例表明：利用DFT檢測(cè)連續(xù)信號(hào)中頻率較近的分量時(shí)，應(yīng)當(dāng)根據(jù)分量的頻率差、窗函數(shù)主瓣的有效寬度、時(shí)域信號(hào)的抽樣頻率，并準(zhǔn)確計(jì)算時(shí)域信號(hào)的抽樣點(diǎn)數(shù)，才能獲得理想的檢測(cè)效果。

關(guān)鍵詞：離散傅里葉變換；頻譜分析；信號(hào)檢測(cè)

中圖分類號(hào)：TP301.6

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，被噪聲掩蓋的各種信號(hào)的檢測(cè)越來越受到人們的重視，應(yīng)用范圍遍及聲、電、熱、力學(xué)、地質(zhì)、環(huán)保、生物、醫(yī)學(xué)、激光材料等領(lǐng)域[1]。

同時(shí)，隨著數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用，數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)在信號(hào)檢測(cè)中也發(fā)揮著重要的作用。在信號(hào)檢測(cè)中，傳感器提取的信號(hào)常常是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，利用數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)檢測(cè)信號(hào)，需對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)域和頻域的離散化處理，再采用數(shù)字系統(tǒng)進(jìn)行分析。

1 利用DFT檢測(cè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻譜的原理

數(shù)字系統(tǒng)分析信號(hào)的頻譜，采用的是有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換，簡(jiǎn)稱為離散傅里葉變換（DFT）。DFT對(duì)應(yīng)的時(shí)域序列和它的頻譜均為有限長(zhǎng)序列，因而利用DFT檢測(cè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜，在時(shí)域和頻域都要對(duì)信號(hào)做離散化處理和信號(hào)的截短處理[2]。

首先，對(duì)連續(xù)信號(hào)x（t）進(jìn)行離散化，使之成為離散序列x[k]。為了使抽樣信號(hào)能恢復(fù)原信號(hào)，信號(hào)抽樣時(shí)應(yīng)該滿足時(shí)域抽樣定理，即：

fsam≥2fm （1）

其中，fm為信號(hào)x（t）的最高頻率，fsam為抽樣頻率。

其次，如果連續(xù)信號(hào)x（t）無限長(zhǎng)，則離散化后的序列x[k]也無限長(zhǎng)，無法采用DFT分析，需要對(duì)其進(jìn)行加窗wN[k]截短，使它成為有限長(zhǎng)序列x[k]，即：xN[k]=x[k]wN[k]，由DTFT的性質(zhì)，該式的頻域表達(dá)式為：

XN（ejΩ）=1/2π∫π-πX（ejθ）WN（ej（Ω-θ））dθ （2）

其中，X（ejΩ）、WN（ejΩ）、XN（ejΩ）分別是信號(hào)想x[k]、窗函數(shù)wN[k]、加窗后序列窗xN[k]的離散時(shí)間傅里葉變換頻譜。

當(dāng)wN[k]是長(zhǎng)度為N的矩形窗RN[k]時(shí)，相當(dāng)于對(duì)序列x[k]直接截?cái)?。WN（ejΩ）為：

（3）

矩形窗的幅度頻譜為 ，如圖1所示：

圖1 矩形窗的幅度頻譜

其中，矩形窗函數(shù)主瓣的有效寬度定義為：ΔΩw=2π/N

因此，加窗對(duì)頻譜分析形成一個(gè)不利影響，即譜線變成了具有一定寬度的譜峰，譜峰的寬度與信號(hào)的長(zhǎng)度成反比，所取的信號(hào)越長(zhǎng)，譜峰的寬度越窄。當(dāng)信號(hào)中兩個(gè)不同頻率分量的頻率差Δf小于譜峰的有效寬度時(shí)，計(jì)算出的頻譜可能顯示不出兩個(gè)明顯的峰值。為使計(jì)算出的頻譜能顯示出相鄰的譜峰，相鄰頻率分量的頻率差Δf應(yīng)當(dāng)大于譜峰的有效寬度，即：

（4）

其中，T為時(shí)域抽樣間隔，N為抽樣點(diǎn)數(shù)，fsam為抽樣頻率，Tp=NT為時(shí)域信號(hào)的長(zhǎng)度。由式（4）可知，所取的信號(hào)Tp越長(zhǎng)，所能分辨的譜峰間隔Δfw就越小，即分辨相鄰譜峰的能力就越強(qiáng)，因此，根據(jù)（4）可知分辨相鄰譜峰所需的最小樣本數(shù)為：

（5）

2 利用DFT檢測(cè)連續(xù)信號(hào)中頻率較近的信號(hào)分量

連續(xù)信號(hào)中的兩個(gè)頻率分量在頻域相距較遠(yuǎn)時(shí)，檢測(cè)比較容易。而當(dāng)它們的頻率相距較近時(shí)，準(zhǔn)確地檢測(cè)它們應(yīng)該考慮時(shí)域連續(xù)信號(hào)的長(zhǎng)度Tp、兩個(gè)頻率的距離Δf，從而獲得分辨兩個(gè)頻率分量的最小抽樣點(diǎn)數(shù)N[3]。

如連續(xù)信號(hào)x（t）=cos（2πf1）+cos（2πf2），其中f1=110Hz，f2=130Hz，兩個(gè)頻率分量相距較近Δf=20Hz。若要檢測(cè)出x（t）中的兩個(gè)頻率f1、f2，實(shí)現(xiàn)過程如下。

首先，按照時(shí)域抽樣定理式（1）選取抽樣頻譜fsam=500Hz對(duì)信號(hào)進(jìn)行抽樣，樣本間隔為T=1/fsam；

根據(jù)式（5）計(jì)算當(dāng)采用DFT分析其頻譜時(shí)，N≥fsam/Δf=500/20=25，

時(shí)域信號(hào)的長(zhǎng)度：Tp=NT=25×1/500=0.05s，利用DFT求得連續(xù)信號(hào)x（t）近似頻譜的MATLAB仿真波形如圖2所示：

如果選取時(shí)域信號(hào)的抽樣樣本數(shù)N=20，連續(xù)信號(hào)x（t）頻譜的MATLAB仿真波形如圖3所示：

圖2 信號(hào)樣本點(diǎn)數(shù)N=25

圖3 信號(hào)樣本點(diǎn)數(shù)N=20

比較圖2、圖3可以看出：如果對(duì)時(shí)域信號(hào)抽樣時(shí)選取的樣本數(shù)大于等于25，能夠清晰分辨出連續(xù)信號(hào)想x（t）中的兩個(gè)頻率成分f1=110Hz，f2=130Hz，如果選取的樣本數(shù)小于25則不能明確判斷出信號(hào)x（t）中的頻率分量是一個(gè)還是兩個(gè)。

3 結(jié)束語

利用DFT檢測(cè)連續(xù)信號(hào)中頻率較近的分量時(shí)，應(yīng)當(dāng)根據(jù)分量的頻率差、窗函數(shù)主瓣的有效寬度、時(shí)域信號(hào)的抽樣頻率，并準(zhǔn)確計(jì)算時(shí)域信號(hào)的抽樣點(diǎn)數(shù)，才能獲得理想的檢測(cè)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]高晉占.微弱信號(hào)檢測(cè)[M].北京：清華大學(xué)出版社.2004.

[2]陳后金，薛健，胡健.數(shù)字信號(hào)處理（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]劉曉虹.信號(hào)分析與處理實(shí)驗(yàn)[M].呼和浩特：內(nèi)蒙古大學(xué)出版社，2011.

作者簡(jiǎn)介：劉曉虹（1969-），女，碩士，副教授，研究方向：數(shù)字信號(hào)處理。

作者單位：包頭師范學(xué)院 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，內(nèi)蒙古包頭 014030

基金項(xiàng)目：包頭市科技局項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2013Z2010-03）。