幾何畫板在立體幾何中的應(yīng)用

幾何畫板是一個(gè)適用于幾何教學(xué)的軟件，它具有強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)變化功能，一流的交互功能，能以濃縮的形態(tài)給學(xué)生提供數(shù)學(xué)背景，動(dòng)態(tài)地保持了幾何圖形中內(nèi)在的、恒定不變的幾何關(guān)系及幾何規(guī)律。通過學(xué)生的參與和親手操作，枯燥抽象的內(nèi)容變成生動(dòng)形象的圖形，原本不明白或不甚明白的概念變得一目了然。利用幾何畫板，給學(xué)生一個(gè)“操作數(shù)學(xué)”的環(huán)境，把抽象的立體幾何教學(xué)變得形象、直觀，動(dòng)態(tài)展示教學(xué)內(nèi)容或數(shù)學(xué)問題，能夠化抽象為具體，化具體為形象，從而使教學(xué)更加直觀、生動(dòng)，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)教學(xué)的趣味性。為此，筆者嘗試對(duì)高中立體幾何教學(xué)中的問題，闡述幾何畫板的優(yōu)勢。

快速建立空間概念

用《幾何畫板》繪制各種立體圖形非常直觀，可以解決學(xué)生從平面圖形向立體圖形，從二維平面向三維空間過渡的難題，因?yàn)樗_實(shí)能把一個(gè)“活”的立體圖形展現(xiàn)在學(xué)生面前。

立體幾何是在學(xué)生已有的平面圖形知識(shí)的基礎(chǔ)上討論空間圖形的性質(zhì)；它所用的研究方法是以公理為基礎(chǔ)，直接依據(jù)圖形的點(diǎn)、線、面的關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)。從平面圖形到空間圖形，從平面觀念過渡到立體觀念，無疑是認(rèn)識(shí)上的一次飛躍。初學(xué)立體幾何時(shí)，大多數(shù)學(xué)生不具備豐富的空間想象能力及較強(qiáng)的平面與空間圖形的轉(zhuǎn)化能力，主要原因在于人們是依靠對(duì)二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實(shí)寫照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于綜觀全局，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線；正方體的各面不能都畫成正方形等。這樣一來，學(xué)生不得不根據(jù)歪曲真相的圖形去想象真實(shí)情況，這便給學(xué)生認(rèn)識(shí)立體幾何圖形增加了困難。而應(yīng)用幾何畫板將圖形動(dòng)起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系惟妙惟肖，使學(xué)生從各個(gè)不同的角度去觀察圖形。這樣，不僅可以幫助學(xué)生理解和接受立體幾何知識(shí)，還可以讓學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力得到充分發(fā)揮。例如，在講解空間幾何體的表面積與體積時(shí)，利用幾何畫板動(dòng)態(tài)的展示空間幾何體的側(cè)面展開過程，讓學(xué)生能直觀的體會(huì)、理解公式。通過拖動(dòng)某一點(diǎn)即可得到圓臺(tái)、柱、錐之間的聯(lián)系，從而得到了公式之間的聯(lián)系，加深對(duì)公式的理解。

突破立體幾何教學(xué)的難點(diǎn)

學(xué)生在立體幾何學(xué)習(xí)過程中的一個(gè)困惑是立體幾何語言表達(dá)無章法，陳述不清、順序顛倒、內(nèi)容遺漏、條件不足、出言無據(jù)、望圖生義、混淆平面與空間，這樣一些現(xiàn)象普遍存在。做任何一件事，只要抓住它的特征，把握它的規(guī)律，這件事就不難解決。那么，立體幾何這門學(xué)科它的學(xué)科特征是什么呢？從哪里入手就可以讓立體幾何的入門教學(xué)變得不難呢？在立體幾何入門教學(xué)中，可以用幾何畫板做出不同類型的幾何體，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和體味立體幾何。例如：在線面平行、垂直判定的教學(xué)中，筆者用幾何畫板作了如下圖形，讓學(xué)生在圖中找平行與垂直關(guān)系，并可以任意拖動(dòng)點(diǎn)改變圖形的形狀，試著用數(shù)學(xué)符號(hào)語言描述對(duì)應(yīng)關(guān)系及簡單的一些推理，如圖一。

又讓學(xué)生結(jié)合幾何畫板作圖，根據(jù)圖形分組做出對(duì)應(yīng)幾何模型，讓學(xué)生體會(huì)立體幾何位置關(guān)系和立體幾何結(jié)構(gòu)的原型之間的轉(zhuǎn)化。

在解題教學(xué)中攻關(guān)

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題，特別是對(duì)于問題的抽象是解題的主要障礙，如何化繁為簡，化虛為實(shí)。利用幾何畫板中的動(dòng)畫，往往能起到出奇制勝的作用。例如，（2005年全國卷）正方體ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn)。那么正方體的過P、Q、R的截面圖形是什么圖形？利用幾何畫板很容易驗(yàn)證學(xué)生的結(jié)論，如圖二：

又如，問題：“順次連接四邊形的各邊中點(diǎn)構(gòu)成什么圖形？”在幾何畫板的支持下，可以在屏幕上制作一個(gè)動(dòng)態(tài)的四邊形，它在運(yùn)動(dòng)過程中忽而是凸四邊形，忽而是凹四邊形，四邊中點(diǎn)的連線組成的圖形也是不斷變化的，可能是一般的平行四邊形，也可能是特殊的平行四邊形，如圖三。在這種情況下，教師可以引導(dǎo)學(xué)生探究附加怎樣的條件將導(dǎo)出什么樣的結(jié)論。

將幾何畫板附于立體幾何教學(xué)中，能將一般傳統(tǒng)教學(xué)中難以表現(xiàn)的數(shù)形及其變化過程生動(dòng)地展示出來，使學(xué)生的表象、聯(lián)想、想象等形象思維能得到很好的培養(yǎng)和鍛煉。

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（作者單位：內(nèi)蒙古自治區(qū)阿拉善盟第一中學(xué)）