徑向基函數(shù)隨機響應(yīng)面法

摘要：針對隨機響應(yīng)面法對非正態(tài)分布響應(yīng)與標準正態(tài)分布輸入之間的復(fù)雜非線性隱函數(shù)擬合不夠理想的問題，基于徑向基函數(shù)在雜散數(shù)據(jù)擬合方面的優(yōu)異性能，提出使用徑向基函數(shù)替換Hermite多項式來解決復(fù)雜非線性隱函數(shù)擬合問題。以若干個非線性解析函數(shù)和鋼管混凝土肋拱極限承載力不確定性問題作為算例，驗證該方法對非正態(tài)分布響應(yīng)擬合的精確性和對工程問題的適用性。算例結(jié)果表明，基于徑向基函數(shù)隨機響應(yīng)面法對高度非線性的響應(yīng)與輸入隱函數(shù)擬合較好；在多參數(shù)鋼管混凝土拱極限承載力不確定性問題中，精度較高，且比Hermite多項式樣本點數(shù)量少。

關(guān)鍵詞：隨機響應(yīng)面法；徑向基函數(shù)；非正態(tài)分布響應(yīng)；極限承載力；鋼管混凝土拱

中圖分類號：U441

文獻標志碼：A

文章編號：16744764（2014）02004206

Abstract：For nonideal interpolation results of complex implicit nonlinear functions between nonnormal distribution response and standard normal distribution inputs using stochastic response surface method， radial basis functions was used to replace Hermite polynomials so as to solve complex implicit nonlinear function interpolation problem for its excellent performance on scattered data interpolation. A few nonlinear analytical functions and uncertainty problems of the load carrying capacity of single circular concrete filled steel tubule （CFST） arch were used as examples to test and verify the precision of proposed method in nonnormal distribution response interpolation and its engineering applicability. The results show that stochastic response surface method based on radial basis functions performs well in fitting highly nonlinear input implicit functions， and can achieve high precision on multiparameters CFST arch load carrying capacity uncertainty problems. Meanwhile， the method has less sample points compared to the Hermite polynomials method.

Key words：stochastic response surface method； radial basis functions； nonnormal distribution response； load carrying capacity； concrete filled steel tubule arch

極限承載力表征著結(jié)構(gòu)能承擔的最大荷載，是描述結(jié)構(gòu)抗力的重要指標。結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)、材料參數(shù)和初始缺陷等是影響極限承載力的主要參數(shù)，當這些參數(shù)具有不確定性時結(jié)構(gòu)的極限承載力也具有不確定性。在結(jié)構(gòu)極限承載力不確定性的分析方法中，蒙特卡洛有限元法MCFEM（Monte Carlo Finite Element Method）[1]將一定分布的隨機數(shù)作為確定性有限元模型的輸入，經(jīng)大量雙重非線性數(shù)值計算和對輸出結(jié)果的統(tǒng)計分析，得到極限承載力不確定性的統(tǒng)計特征。該方法精度高，被廣泛認可為精確解，用于校核其他不確定性分析方法；由于MCFEM方法需進行大量非線性有限元運算，因而計算成本高。隨機響應(yīng)面法SRSM（Stochastic Response Surface Method）[2]使用埃爾米特（Hermite）多項式擬合響應(yīng)與參數(shù)之間的復(fù)雜隱函數(shù)關(guān)系，因而能夠快速得到系統(tǒng)的響應(yīng)，解決了計算成本問題，并在可靠度領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。文獻[3]對響應(yīng)面法和隨機響應(yīng)面法在結(jié)構(gòu)可靠度分析中的應(yīng)用進行了比較，發(fā)現(xiàn)后者具有較好的精度；文獻[4]使用隨機響應(yīng)面法對可靠度靈敏度進行了分析；文獻[5]在對結(jié)構(gòu)疲勞開裂分析預(yù)測中使用了隨機響應(yīng)面法。為進一步拓展隨機響應(yīng)面法的應(yīng)用范圍，文獻[6]提出基于高階Hermite多項式的隨機響應(yīng)面法，用以解決非正態(tài)分布輸出擬合及輸入隨機變量相關(guān)性問題；文獻[7]基于Nataf變換解決了隨機響應(yīng)面法在相關(guān)的非正態(tài)分布隨機變量輸入情況下的應(yīng)用；文獻[8]提出最優(yōu)概率配點法則，用以降低高維參數(shù)下隨機響應(yīng)面的試驗次數(shù)；這些工作均是隨機響應(yīng)面法的進一步發(fā)展。

胡常福，等：徑向基函數(shù)隨機響應(yīng)面法

學(xué)者們通過對Hermite多項式研究后發(fā)現(xiàn)，當輸出不是正態(tài)分布時Hermite多項式的收斂較慢[9]。這個缺陷使得對響應(yīng)與參數(shù)為高度的非線性函數(shù)關(guān)系時，基于低階Hermite多項式的隨機響應(yīng)面法擬合不夠理想，而高階Hermite多項式表達形式過于復(fù)雜不便于使用；基于Hermit多項式的隨機響應(yīng)面法使用p+1階Hermit多項式根的組合作為試驗的樣本點，相當于p+1個因素p+1水平的全因子試驗，在高維參數(shù)下試驗次數(shù)急劇增多，計算效率大大降低，這一點在費時的鋼管混凝土拱極限承載力不確定分析中尤為重要。本文基于徑向基函數(shù)RBF（Radial Basis Functions）在雜散數(shù)據(jù)擬合方面的優(yōu)異性能，將其引入隨機響應(yīng)面法中替代Hermite多項式作為擬合函數(shù)，用以拓展隨機響應(yīng)面法在響應(yīng)輸入高度非線性隱函數(shù)關(guān)系中的應(yīng)用。以幾個非線性解析函數(shù)和鋼管混凝土肋拱極限承載力不確定性問題為例，驗證本文方法對擬合非正態(tài)分布輸出的精確性和對工程多維參數(shù)問題的適用性。

1徑向基函數(shù)隨機響應(yīng)面法

1.1隨機響應(yīng)面法

隨機響應(yīng)面法是經(jīng)典響應(yīng)面法RSM（Response Surface Method）的拓展，它將標準正態(tài)分布隨機變量ξ作為系統(tǒng)的輸入，采用如式（1）所示的Hermite多項式擬合系統(tǒng)響應(yīng)與輸入之間的隱函數(shù)關(guān)系[2]。

由表4可以看出，在2參數(shù)至5參數(shù)的各隨機工況，使用Hermit多項式及RBF函數(shù)隨機響應(yīng)面法計算的鋼管混凝土拱極限承載力不確定性與Monte Carlo有限元法結(jié)果相比，Hermit多項式結(jié)果均值相對誤差的最大值為0.34%，標準差相對誤差的最大值為1.60%，RBF函數(shù)結(jié)果均值相對誤差的最大值為0.47%標準差相對誤差的最大值為1.61%，表明兩者均具有較高的精度；由圖2可以看出，在兩參數(shù)至五參數(shù)的各隨機工況，使用Hermit多項式及RBF函數(shù)隨機響應(yīng)面法計算的概率密度曲線與Monte Carlo有限元法結(jié)果均吻合較好；對4個工況計算結(jié)果的進一步分析結(jié)果表明，鋼管混凝土拱極限承載力不確定性結(jié)果的統(tǒng)計分布不拒絕正態(tài)分布假設(shè)，所以RBF隨機響應(yīng)面結(jié)果不能比Hermit隨機響應(yīng)面結(jié)果精度更高，因大量研究實踐表明后者在正態(tài)分布結(jié)果擬合方面具有很高的精度。在樣本點數(shù)量方面，Hermit多項式隨機響應(yīng)面法在五個隨機工況下分別為32、33、34、35個，而RBF函數(shù)隨機響應(yīng)面法樣本點數(shù)量分別為22+5、23+7、24+9、25+11個，分別為前者的1.00、0.56、0.31、0.18倍，呈現(xiàn)出隨著參數(shù)維數(shù)的增加而樣本點數(shù)量大量減少的規(guī)律。綜合表4、圖2和樣本點分析可知，在輸出為正態(tài)分布的多維參數(shù)不確定性工程問題中，RBF函數(shù)隨機響應(yīng)面法與Hermit隨機響應(yīng)面法精度均較高，后者在具有較好精確性的同時，樣本點數(shù)量大大減少，且隨著參數(shù)維數(shù)的增加而減少越明顯。

4結(jié)論

基于徑向基函數(shù)在雜散數(shù)據(jù)擬合方面的優(yōu)異性能，將其引入隨機響應(yīng)面法中替代Hermite多項式作為擬合函數(shù)，用以解決響應(yīng)與輸入高度非線性復(fù)雜隱函數(shù)的擬合問題；通過對幾個典型非線性解析函數(shù)和鋼管混凝土拱極限承載力不確定性問題的檢驗，得到以下主要結(jié)論。

1）基于徑向基函數(shù)的隨機響應(yīng)面法，可用于非正態(tài)分布響應(yīng)與標準正態(tài)分布輸入之間復(fù)雜非線性隱函數(shù)的擬合問題。

2）通過對幾個典型強非線性解析函數(shù)不確定性的驗算結(jié)果表明，徑向基函數(shù)隨機響應(yīng)面法的響應(yīng)統(tǒng)計特征值和概率密度曲線均與精確解吻合較好。

3）在鋼管混凝土拱極限承載力不確定性問題中，徑向基函數(shù)隨機響應(yīng)面法結(jié)果與Monte Carlo有限元法結(jié)果在響應(yīng)統(tǒng)計特征值和概率密度曲線方面均吻合較好，計算成本較傳統(tǒng)Monte Carlo有限元法顯著減少。

4）對鋼管混凝土拱極限承載力5個隨機參數(shù)工況不確定性的分析結(jié)果表明，在輸出為正態(tài)分布的工程問題中，徑向基函數(shù)隨機響應(yīng)面法樣本點數(shù)量比Hermit多項式隨機響應(yīng)面法大為減少，且隨參數(shù)維數(shù)的增加而減少越明顯。

5）數(shù)學(xué)算例與鋼管混凝土拱極限承載力不確定性算例表明，徑向基函數(shù)隨機響應(yīng)面法在非正態(tài)分布與多參數(shù)正態(tài)分布響應(yīng)擬合方面具有較好的優(yōu)勢，傳統(tǒng)Hermit隨機響應(yīng)面在少參數(shù)的正態(tài)分布響應(yīng)中應(yīng)用結(jié)果較好。

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（編輯王秀玲）