基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)在傳熱學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

摘要：“傳熱學(xué)”是能源動(dòng)力類專業(yè)的專業(yè)主干課，在后期專業(yè)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中起到很重要的作用。研究數(shù)學(xué)知識(shí)在“傳熱學(xué)”中的應(yīng)用，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)與傳熱學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，加強(qiáng)對(duì)傳熱學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)與把握，能夠很好地提高傳熱學(xué)課程的學(xué)習(xí)效果。

關(guān)鍵詞：傳熱學(xué)；基礎(chǔ)數(shù)學(xué)；教學(xué)效果

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-0079（2014）12-0088-02

傳熱學(xué)是能源與動(dòng)力工程專業(yè)和建筑環(huán)境與設(shè)備工程專業(yè)的專業(yè)主干課，是研究熱量傳遞規(guī)律的科學(xué)，為能源工程、動(dòng)力工程、機(jī)械工程、化學(xué)工程、航空航天工程、建筑設(shè)備工程等多個(gè)專業(yè)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。通過(guò)傳熱學(xué)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握熱量傳遞的基本規(guī)律和分析方法，熟悉傳熱學(xué)在生產(chǎn)技術(shù)領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用及研究成果的關(guān)鍵作用，為專業(yè)課程的學(xué)習(xí)，專業(yè)技術(shù)領(lǐng)域中的熱量傳遞過(guò)程的研究建立理論基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決實(shí)際工程傳熱問(wèn)題的能力。

一、基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)在傳熱學(xué)中的體現(xiàn)

進(jìn)行傳熱學(xué)的學(xué)習(xí)之前，需要先修“高等數(shù)學(xué)”、“大學(xué)物理”、“工程熱力學(xué)”、“工程流體力學(xué)”等課程。筆者在給中國(guó)礦業(yè)大學(xué)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院二學(xué)位的學(xué)生進(jìn)行傳熱學(xué)講授時(shí)，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生高等數(shù)學(xué)知識(shí)薄弱。有少數(shù)學(xué)生是文科生，沒(méi)接觸過(guò)高等數(shù)學(xué)，需要在課上講授時(shí)先講解一些基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)做鋪墊，才能使得學(xué)生更好地理解傳熱學(xué)的知識(shí)。但是這樣浪費(fèi)了課上時(shí)間，導(dǎo)致進(jìn)行習(xí)題練習(xí)及引申內(nèi)容的時(shí)間較少，所以有必要研究基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)在傳熱學(xué)中的體現(xiàn)與應(yīng)用。

1.換熱器的效能與極限

換熱器是工程技術(shù)中廣泛采用的冷熱流體交換熱量的設(shè)備。換熱器中的換熱過(guò)程涉及熱傳導(dǎo)、熱對(duì)流和熱輻射三者基本傳熱方式。設(shè)計(jì)計(jì)算和校核計(jì)算是換熱器熱計(jì)算的兩種基本類型，二者最大的差別是已知條件中是否已知KA。換熱器的基本熱設(shè)計(jì)方法包括兩種，一種是平均溫差法（LMTD法），另一種是效能-單元數(shù)法（ε-NTU法），這兩種方法在換熱器的熱設(shè)計(jì)中各有各的優(yōu)勢(shì)。[1]ε-NTU法在校核計(jì)算中，為了算出NTU，同LMTD法一樣，也需要假定溫度來(lái)獲得k，但假設(shè)的流體溫度與真實(shí)溫度的偏差大小對(duì)k的影響是通過(guò)定性溫度來(lái)體現(xiàn)的，顯然遠(yuǎn)不如對(duì)熱平衡熱量或平均溫度影響那么大，從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，ε-NTU法有一定優(yōu)越性。

換熱器效能的定義式如下：，表征的是冷流體或熱流體在換熱器中的實(shí)際溫差中的最大值與流體在換熱器中可能發(fā)生的最大溫差值的比值，即表征了換熱器的實(shí)際效果與最大可能的換熱效果之比。

函數(shù)的極限指的是在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，如果對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)確定的數(shù)，那么這個(gè)確定的數(shù)就叫做在這一變化過(guò)程中函數(shù)的極限。[2]

換熱器的一種特殊情況是當(dāng)冷、熱流體的水當(dāng)量二者幾乎相等時(shí)，可用極限的知識(shí)來(lái)表達(dá)換熱器的效能，即。此時(shí)順流換熱器的效能計(jì)算較容易，但逆流換熱器的效能計(jì)算比較復(fù)雜，需要用到，其中在效能計(jì)算過(guò)程中。

在課堂上講解換熱器效能時(shí)，要指導(dǎo)學(xué)生利用正確的極限計(jì)算方法，而不能想當(dāng)然地將帶入分母中，而得出，進(jìn)而得出錯(cuò)誤的結(jié)論。因?yàn)樾艽淼氖菗Q熱器的實(shí)際換熱效果與最大可能的換熱效果之比，代表最理想的換熱情況。顯然冷、熱流體的水當(dāng)量近似相等并不是理想換熱器的充分條件，并不能通過(guò)冷、熱流體水當(dāng)量近似相等而推導(dǎo)出換熱器效能等于1。換熱器的換熱條件與換熱器的形式、污垢熱阻情況、冷熱流體流動(dòng)形式、換熱面積、水當(dāng)量比值等多種條件有關(guān)。在教學(xué)過(guò)程中，要使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)。

2.對(duì)數(shù)平均溫差與積分

在換熱器中，熱流體沿程放出熱量，溫度不斷下降，冷流體沿程吸熱，溫度不斷上升，而且冷、熱流體間的溫差沿程不斷變化的。所以，當(dāng)利用傳熱方程式來(lái)計(jì)算整個(gè)傳熱面上的熱流量時(shí)，要使用整個(gè)傳熱面積上的平均溫差。對(duì)數(shù)平均溫差的物理意義是在整個(gè)換熱器面積上的積分平均值，在冷、熱流體溫度的變化圖上代表溫度變化曲線之間的面積。在課堂講解對(duì)數(shù)平均溫差時(shí)，應(yīng)利用定積分的知識(shí)使學(xué)生深入理解對(duì)數(shù)平均溫差的物理意義，并討論逆流的對(duì)數(shù)平均溫差與順流的對(duì)數(shù)平均溫差的大小關(guān)系，逆流換熱器與順流換熱器的換熱強(qiáng)度關(guān)系。

3.傅里葉定律與矢量

熱傳導(dǎo)是熱量傳遞的三種基本方式之一，是指物體各部分之間不發(fā)生相對(duì)位移時(shí)，依靠分子、原子及自由電子等微觀粒子的熱運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的熱能傳遞。進(jìn)行熱傳導(dǎo)計(jì)算的基本定律是傅里葉定律，即在導(dǎo)熱過(guò)程中，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)給定截面的導(dǎo)熱量，正比于垂直該截面方向上的溫度變化率和截面面積，而熱量傳遞的方向則與溫度升高的方向相反?？陀^世界中有這樣一類量，它既有大小，又有方向，例如物理學(xué)中的位移、速度、加速度、力、力矩等，這類量稱為矢量。在等溫面上某點(diǎn)，以通過(guò)該點(diǎn)最大熱流密度的方向?yàn)榉较颍瑪?shù)值上等于沿該方向的熱流密度的矢量即為熱流密度矢量，簡(jiǎn)稱熱流矢量，其他方向的熱流密度都是熱流矢量在該方向的分量。溫度梯度也是矢量，其方向與熱流密度矢量的方向相反。

在進(jìn)行熱傳導(dǎo)的講解過(guò)程中，要將矢量的概念引入傅里葉定律的介紹，使學(xué)生真正了解溫度梯度、熱流密度矢量、傅里葉定律的物理意義。

4.邊界條件與解的數(shù)目

為了利用傳熱學(xué)知識(shí)，獲得導(dǎo)熱物體的溫度場(chǎng)，需要列出導(dǎo)熱微分方程和定解條件。導(dǎo)熱微分方程包括能量守恒定律和傅里葉定律；定解條件包括物理?xiàng)l件、幾何條件、初始條件和邊界條件。物理?xiàng)l件和幾何條件隱含在導(dǎo)熱微分方程的列出中，初始條件只出現(xiàn)在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題中，邊界條件在穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱和非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題中都需要明確知道。

導(dǎo)熱問(wèn)題的常見(jiàn)邊界條件分為以下三類：第一類邊界條件規(guī)定了邊界上的溫度值，即狄里克萊（Dirichlet）條件；第二類邊界條件規(guī)定了邊界上的熱流密度值，即諾依曼（Numann）條件；第三類邊界條件規(guī)定了邊界上物體與周圍流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h及周圍流體的溫度tf，即洛平（Robin）條件。

很多文獻(xiàn)均給出了左右邊界條件均為第一類邊界條件情況時(shí)的溫度分布，[1]但是并不是所有邊界條件的隨機(jī)組合都有解的存在，并且是唯一的解。在求解過(guò)程中，不同邊界條件組合的求解區(qū)別在于確定積分常數(shù)c1，c2所利用的條件不同。從物理意義上講，物體具有穩(wěn)態(tài)溫度分布的條件是：在有內(nèi)熱源的條件下，單位時(shí)間內(nèi)在全部邊界條件下流出的熱量應(yīng)等于物體內(nèi)部發(fā)出的熱量；在無(wú)內(nèi)熱源的條件下，在全部邊界上流出的總熱量應(yīng)等于0。

若穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的全部邊界條件都以第二類邊界條件給定時(shí)，當(dāng)不滿足上述穩(wěn)態(tài)溫度分布條件時(shí)，則問(wèn)題導(dǎo)熱問(wèn)題無(wú)解，當(dāng)滿足時(shí)，無(wú)唯一解，而是有無(wú)窮多解。原因是因?yàn)榈诙愡吔鐥l件本質(zhì)給出的是邊界位置的溫度梯度值，也就是溫度對(duì)長(zhǎng)度的導(dǎo)數(shù)。如果只給導(dǎo)數(shù)的話，積分后會(huì)多出一個(gè)常數(shù)c，有解的話，解是不唯一的，而是無(wú)窮多，即如果為這一傳熱問(wèn)題的解的話，則也是這一問(wèn)題的解。當(dāng)無(wú)內(nèi)熱源、穩(wěn)態(tài)條件下，左邊流入系統(tǒng)的熱量為50W，右邊流出系統(tǒng)的熱量為，此時(shí)這一傳熱問(wèn)題無(wú)解。

這里只是以第二類邊界條件為例來(lái)說(shuō)明不同邊界條件隨機(jī)組合解的數(shù)目問(wèn)題，在課堂教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)使學(xué)生明確不同的邊界條件對(duì)傳熱問(wèn)題解的存在性與唯一性的影響，更深入地理解什么情況下能得到有明確物理意義的溫度場(chǎng)。

5.差分與微分

對(duì)導(dǎo)熱微分方程在特定的定解條件下進(jìn)行積分求解，得出的解稱為分析解。對(duì)于幾何形狀和邊界條件簡(jiǎn)單的問(wèn)題能夠獲得分析解。但是，對(duì)于工程中遇到的許多幾何形狀或邊界條件復(fù)雜的導(dǎo)熱問(wèn)題，由于數(shù)學(xué)上的困難目前還無(wú)法得出分析解。近幾十年來(lái)，計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，離散求解的數(shù)值方法在數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中的應(yīng)用越來(lái)越多。數(shù)值方法包括有限差分法、有限元法和邊界元法等，其中有限差分法概念明確、實(shí)施方法簡(jiǎn)單。

利用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法獲得一階、二階導(dǎo)數(shù)的常用差分形式的方法在很多書籍中都有詳細(xì)的論述。[3]

在課堂教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)使學(xué)生深入了解泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)在傳熱學(xué)數(shù)值方法中的應(yīng)用，以免造成學(xué)生對(duì)傳熱學(xué)數(shù)值計(jì)算方法與數(shù)學(xué)知識(shí)關(guān)系理解的缺失和不足。

二、基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)滲透入傳熱學(xué)教學(xué)中

傳熱學(xué)知識(shí)與基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系緊密，在學(xué)習(xí)與講授過(guò)程中應(yīng)將數(shù)學(xué)知識(shí)融入傳熱學(xué)知識(shí)中去，使學(xué)生詳細(xì)掌握與傳熱學(xué)知識(shí)相關(guān)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)背景。

1.課前準(zhǔn)備階段

傳熱學(xué)是能動(dòng)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)主干課，也是其他專業(yè)課的基礎(chǔ)，所以學(xué)生學(xué)習(xí)及教師講授過(guò)程都應(yīng)提起重視。在傳熱學(xué)的備課階段，抓住欲講章節(jié)的主要傳熱學(xué)知識(shí)，充分準(zhǔn)備與欲講章節(jié)相關(guān)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，將這部分內(nèi)容放在這一節(jié)課的ppt的前面中或通過(guò)板書的方式呈現(xiàn)出來(lái)，利用板書應(yīng)設(shè)計(jì)好板書的內(nèi)容及前后連貫性。

2.課堂講授階段

在傳熱學(xué)的課堂教學(xué)過(guò)程中，將基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)與傳熱學(xué)知識(shí)緊密聯(lián)系，講新的傳熱學(xué)概念、公式、理論等知識(shí)之前，先講基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，作為傳熱學(xué)知識(shí)的鋪墊，必要時(shí)可讓學(xué)生自己推導(dǎo)，加深印象，以達(dá)到促進(jìn)學(xué)生理解，提高教學(xué)效果的目的。由于傳熱學(xué)知識(shí)點(diǎn)較多，公式較多，學(xué)生需要具備自己推導(dǎo)公式的能力。

3.課后答疑階段

課上時(shí)間畢竟有限，對(duì)于理解困難的概念、公式等，學(xué)生在課上時(shí)間不一定能完全掌握新知識(shí)，課堂講授結(jié)束后，學(xué)生課下消化吸收，不懂的問(wèn)題課后進(jìn)行答疑。答疑期間，保證學(xué)生將基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)與傳熱學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通。

三、結(jié)論

傳熱學(xué)作為能源動(dòng)力類專業(yè)的一門基礎(chǔ)專業(yè)主干課，地位十分重要，起到聯(lián)系基礎(chǔ)知識(shí)與專業(yè)課程知識(shí)的作用。提高課堂教學(xué)效果，加強(qiáng)學(xué)生理解能力是傳熱學(xué)教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)重要問(wèn)題。筆者根據(jù)傳熱學(xué)教學(xué)過(guò)程中的體會(huì)，提出了將基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到傳熱學(xué)教學(xué)過(guò)程中的方法。這種方法可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)傳熱學(xué)知識(shí)的充分認(rèn)識(shí)和理解，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和能動(dòng)性。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊世銘，陶文銓.傳熱學(xué)[M].第四版.北京：高等教育出版社，2006.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007.

[3]陶文銓.數(shù)值傳熱學(xué)[M].第二版.西安：西安交通大學(xué)出版社，2008.

（責(zé)任編輯：王意琴）