以定積分為主線的積分教學(xué)的嘗試

摘 要：以定積分為主線，對(duì)積分學(xué)的教學(xué)進(jìn)行了整合，并對(duì)定積分定義的引入、湊微分法的教學(xué)做了細(xì)致探討。

關(guān)鍵詞：主線 積分教學(xué) 積分形式不變性

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）04（b）-0195-02

“微積分”是高校各專業(yè)學(xué)生必修的一門重要課程，主要內(nèi)容有微分學(xué)與積分學(xué)兩部分，對(duì)于微分學(xué)。教師的教學(xué)安排、學(xué)生知識(shí)掌握情況通常較好；而對(duì)于積分學(xué)。傳統(tǒng)的教材內(nèi)容體系、教師的教學(xué)安排多延續(xù)了“不定積分—定積分”的順序模式。

從實(shí)際應(yīng)用角度來看。積分思想的本質(zhì)是某種特定結(jié)構(gòu)形式的極限問題，即黎曼和的極限。而從計(jì)算角度來看，定積分是帶了限的不定積分，這種先講“不定積分”。再講“定積分”的教學(xué)安排.往往使學(xué)生重視定積分的計(jì)算。而忽略了對(duì)定積分概念本身的認(rèn)識(shí)。而黎曼和的思想恰是我們?cè)诮鉀Q大量實(shí)際問題中需要靈活掌握的定積分定義的核心所在。

在從事微積分教學(xué)近十年時(shí)間里。筆者以為“不定積分—定積分”這種教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)與安排對(duì)不利于學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解和掌握積分內(nèi)涵。為了解決這個(gè)困擾。在教學(xué)中。筆者嘗試建立了以定積分為主線的積分學(xué)的教學(xué)體系結(jié)構(gòu)。并在教學(xué)中得以實(shí)踐。

1 從本質(zhì)入手，闡述定積分思想

進(jìn)入積分學(xué)，首先介紹定積分的概念，可針對(duì)不同專業(yè)學(xué)生，引用相關(guān)領(lǐng)域的實(shí)際問題，激起學(xué)生興趣，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生自主探究新問題，最后歸納出定積分概念——黎曼和的極限。

定積分能很好的求解面積，以求圖形面積引入定積分是經(jīng)典的教學(xué)方法，但是傳統(tǒng)教材都采用演繹法，即以抽象問題的形式給出，對(duì)學(xué)生理解復(fù)雜的“分割—近似—求和—取極限”有一定難度，何不采用歸納法，使學(xué)生更易接受？教學(xué)中，筆者采用如下例子。

例：如圖1所示，求由軸、軸、直線及曲線所圍平面圖形的面積。

分析：將區(qū)間[0，1]等分，如圖2所示。分點(diǎn)為每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度每個(gè)小區(qū)間對(duì)應(yīng)一個(gè)窄曲邊梯形；由于每個(gè)曲邊梯形很窄，以右端點(diǎn)的函數(shù)值為高作矩形，其面積作為窄曲邊梯形面積的近似。這個(gè)窄曲邊梯形面積的有限和近似于曲邊梯形的面積即

上式中，當(dāng)時(shí)，有限和為1.385； 時(shí)，有限和為1.338；時(shí)，有限和為1.334，不難想到，區(qū)間劃分無限加細(xì)。當(dāng)小矩形的個(gè)數(shù)時(shí)，每個(gè)矩形的寬度上述有限和的極限

即為所求曲邊梯形的面積。

將以上引例一般化，再給出定積分定義，通過分析具體的曲邊梯形面積求解過程，可使學(xué)生對(duì)近似值到精確值的過渡與跨越產(chǎn)生更加直觀、感性的認(rèn)識(shí)，從而能較自然地理解定積分概念的實(shí)質(zhì)。

2 微積分學(xué)基本公式的教學(xué)

顯然，由定積分的定義來計(jì)算定積分，即求黎曼和的極限，其困難可想而知，沿著解決定積分的計(jì)算問題這一主線，進(jìn)入微積分學(xué)基本公式的教學(xué)。它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)與微分的內(nèi)在聯(lián)系，更提供了計(jì)算定積分的方法。

此時(shí)。引入原函數(shù)與不定積分的概念恰到好處。這樣，原先教學(xué)安排中“不定積分—定積分”順序模式中二者并列平等的地位，將演變?yōu)橐远ǚe分為主線的教學(xué)，其中，不定積分內(nèi)容只作為定積分的計(jì)算教學(xué)中的一個(gè)環(huán)節(jié)，一個(gè)鋪墊，一個(gè)步驟，學(xué)生的認(rèn)知體系結(jié)構(gòu)也得以明確、精簡(jiǎn)。即，教學(xué)內(nèi)容順序安排如下。

“原函數(shù)與不定積分—積分上限函數(shù)—微積分學(xué)基本公式?！敝链耍瑢W(xué)生可以明確認(rèn)識(shí)到.定積分與不定積分概念的本質(zhì)區(qū)別，定積分是黎曼和的極限，而不定積分則是微分的逆運(yùn)算，是原函數(shù)的全體，通過定積分與不定積分定義的對(duì)比，更能加深學(xué)生對(duì)定積分定義的清晰理解。接著，對(duì)微積分基本公式的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅能明白微分與積分的內(nèi)在聯(lián)系，更能把握利用原函數(shù)計(jì)算定積分的理論依據(jù)。

學(xué)生已能運(yùn)用微積分學(xué)基本公式計(jì)算簡(jiǎn)單的定積分，并能看出，不定積分與定積分的計(jì)算既有區(qū)別，又有聯(lián)系，其切合點(diǎn)就是被積函數(shù)的原函數(shù)，定積分則是將求不定積分過程與微積分學(xué)基本公式有機(jī)結(jié)合起來，計(jì)算過程完全相似。

3 積分的計(jì)算方法

積分是微分的逆運(yùn)算。其求解要難于微，除了基本積分公式表中的積分外，計(jì)算積分的思路是對(duì)被積函數(shù)或被積表達(dá)式進(jìn)行恒等變形后再積分。

對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行恒等變形后，采用基本積分公式進(jìn)行積分（稱為直接積分法）；對(duì)被積表達(dá)式進(jìn)行恒等變形時(shí)常用積分方法有三種：湊微分法、變量代換法及分部積分法。下面以湊微分法為例闡述定積分的計(jì)算。

湊微分法的實(shí)質(zhì)是借助一階微分形式不變性，擴(kuò)展了基本積分公式的適用范圍，其理論依據(jù)可以進(jìn)一步得以明確，即積分形式不變性

定理（積分形式不變性）若 則

其中可微。

證明因?yàn)椋?/p>

所以由微分形式不變性，可微，則。

兩邊積分，得

定積分形式不變性將湊微分法的思想以明確形式給出，更利于學(xué)生對(duì)湊微分法的理解與運(yùn)用，從而，基本積分公式應(yīng)用更為靈活、廣泛了。

接下來，舉例體會(huì)不定積分和定積分計(jì)算的異同。

例：求積分

（1）；（2）

解（1）

（2）

（2）

通過例題進(jìn)行對(duì)比，不定積分與定積分的計(jì)算既有區(qū)別，又有聯(lián)系，共同之處在于二者都包含了求原函數(shù)的過程，區(qū)別則體現(xiàn)在兩種積分的結(jié)果。

變量代換法與分部積分法的教學(xué)也可參照以上思路來進(jìn)行。

筆者以為，以定積分為主線，整合不定積分與定積分的教學(xué)內(nèi)容，無論從學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)角度，或是教師教學(xué)角度，無疑不是一個(gè)新的嘗試與探索。

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