試析轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

摘 要：分別從函數(shù)、不等式、幾何、方程、排列組合、概率的方面說(shuō)明了轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)中廣泛存在，并闡述了轉(zhuǎn)換的類別與方法，以及轉(zhuǎn)化的多樣性、靈活性、重要性，以引導(dǎo)學(xué)生在解題中逐步應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化思想；高中數(shù)學(xué)；類別；靈活；有效

所謂轉(zhuǎn)化，就是把待解決或未解決的一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問(wèn)題中去，這在高中數(shù)學(xué)中屢屢可見(jiàn)。以下就從幾個(gè)不同的類型分別去說(shuō)明：

一、在立體幾何中

證明線面垂直，可轉(zhuǎn)化為證線線垂直，證明線線垂直可轉(zhuǎn)化為證線面垂直，證明面面垂直可轉(zhuǎn)化為證線面垂直，求點(diǎn)到平面的距離，線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求線面距離。

例1.已知：正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分別是棱AB，BC，BB1上的點(diǎn)，且BE=BF=BG求證：BD1⊥平面EFG。

分析：在正方體中易得EF∥AC，而AC⊥BD1，則BD1⊥EF，同理BD1⊥EG，要證BD1⊥EF，BD1⊥EG，可轉(zhuǎn)化為證BD1⊥AC，BD1⊥AB1。

例2.已知：棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1求：棱B1C1與對(duì)角線BD1間的距離。

分析：欲求B1C1與BD1間的距離，要求公垂線段不易，可轉(zhuǎn)化為B1C1與BD1所在平面平行，然后利用線面之間的距離的求法，可求出B1C1與BD1間的距離。

例3.如圖：已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，CG⊥平面ABCD，CG=2，EF分別點(diǎn)AB，AD中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面GEF的距離。

分析：如果直接找點(diǎn)B到平面GEF的距離不好找，連結(jié)BD，∵BD∥EF∴可轉(zhuǎn)化為求BD到平面GEF的距離，問(wèn)題就簡(jiǎn)單化了。

二、在解析幾何中

例1.已知：a+b=3，求■的最小值

分析：∵■=■

∴可轉(zhuǎn)化為（－5，2）與x+y=3直線上各點(diǎn)連線的最值問(wèn)題，顯而易見(jiàn)，垂線段最短。

例2.若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=1，求■的最小值。

分析：如果直接找最小值，不容易，可聯(lián)想k=■可轉(zhuǎn)化為（1，2）與圓上的各點(diǎn)連線的斜率的最值問(wèn)題：顯然，kPA=■。

三、在不等式中

當(dāng)然，幾何證明題和不等式證明可以利用等價(jià)轉(zhuǎn)化去證明，這樣的例子不勝枚舉。

例1.求證：■+■＞■（a＞b＞0）

分析：當(dāng)然可以利用分析法，但是可轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，利用兩邊之和大于第三邊。

例2.a，b，c∈［0，1］，求證：a+b+c－ab－bc－ca－1≤0

分析：可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（a）=（1－b－c）a+b+c－bc－1

∵f（0）=b+c－bc－1=（1－c）（b－1）≤0

f（1）=1－b－c+b+c－bc－1=－bc≤0

又∵a∈［0，1］∴可利用一次函數(shù)圖像的關(guān)系，命題得證。

四、在函數(shù)中

例1.求函數(shù)y=■+■（a＞0，b≥0）在（0，1）上的極小值。

分析：當(dāng)然，可以求導(dǎo)，但抓住x+1－x=1，可化歸為sin2α+cos2α，令x=sin2α，1－x=cos2α，問(wèn)題就解決了。

即：y=a2csc2α+b2sec2α=a2+b2+a2cot2α+b2tan2α≥（a+b）2

例2.方程：3x+x－3=0與方程：log3x=3-x所有根之和為多少？

分析：此題可把方程轉(zhuǎn)化為y1=3x，y2=yx3，y3=3-x值相等的問(wèn)題：

∴3-x2=x1，∴所有根之和為3.

例3.試判斷函數(shù)f（x）＝ln（■+x）的單調(diào)性.

分析：由題設(shè)知:函數(shù)的定義域?yàn)镽，可知f（x）為奇函數(shù)，此題可轉(zhuǎn)化為證f（x）在［0，+∞）上單調(diào)性的問(wèn)題。

五、在排列組合中

例.4個(gè)不同的紅球和6個(gè)不同的白球放入袋中，現(xiàn)從袋中取出4個(gè)球：

1.若取出的紅球的個(gè)數(shù)不少于白球的個(gè)數(shù)，則有多少種不同的取法？

2.取出一個(gè)紅球記2分，取出一個(gè)白球記1分，若取出4個(gè)球的總分不低于5分，則有多種不同的取法？

分析：抓住取出4個(gè)球，可轉(zhuǎn)化為（1+x）4（1+x）6=（1+x）10中兩邊x4的系數(shù)相等：

C04C46+C14C36+C24C26+C34C16+C44=C410

運(yùn)用此值等式解決1和2就容易了。

1當(dāng)然是C24C26+C34C16+C44或C410-C46-C14C36

2當(dāng)然是C410-C46或C14C36+C24C26+C34C16+C44

六、在概率中

例1.十層樓中的電梯從底層到頂層停不少于三次的概率是多少？停幾次的概率最大？

分析：電梯在每一層的結(jié)果只有兩種，“停”或者“不?！?，且各層之間相互獨(dú)立，所以屬于貝努利型概率。停幾次概率最大問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式■+1-■■的展開(kāi)式中求最大項(xiàng)的問(wèn)題來(lái)解決。

解：二項(xiàng)式■+1-■■的同項(xiàng)為：C r9■■■■=C r9■■，即為停r次的概率，顯然，當(dāng)r=4或者5時(shí)，C r9■■最大，所以停4次或停5次的概率最大。

例2.某地對(duì)空導(dǎo)彈的擊中目標(biāo)的概率是90％，至少以多少枚這樣的導(dǎo)彈同時(shí)發(fā)射才能擊中目標(biāo)的概率超過(guò)99％？

解：設(shè)同時(shí)發(fā)射n（n∈N*）枚導(dǎo)彈，由題意知：有1枚擊中、有2枚擊中、有3枚擊中、……有n枚擊中都符合要求。正面考慮較困難，因此采用“正難則反”的轉(zhuǎn)化思想。

由于n枚都擊不中的概率為0.1n，所以至少有一枚擊中的概率為1-0.1n，若使1-0.1n 99%，即0.1n＜0.01■n＞2，所以至少需3枚導(dǎo)彈同時(shí)發(fā)射才能使擊中目標(biāo)的概率超過(guò)99％。

從以上可以看出：轉(zhuǎn)化的思想方法是把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，把非常規(guī)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問(wèn)題，從而使很多問(wèn)題獲得解決的思想，那么掌握了轉(zhuǎn)化的思想和以上的種類，轉(zhuǎn)化思想是否學(xué)好了？不！因?yàn)檗D(zhuǎn)化具有靈活性、多樣性，對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，我們可以說(shuō)是一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，組成其元素之間的相互依存和相互聯(lián)系的形式是可變的，但其形式并非唯一，而是多種多樣，所以用轉(zhuǎn)化的方法去解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，就沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一模式去遵循，在此正需要我們依據(jù)問(wèn)題本身提供的信息，利用所謂的動(dòng)態(tài)思維，去尋求有利于解決此問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方法。

因此轉(zhuǎn)化思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在近幾年高考試題中都出現(xiàn)，我們?cè)诮虒W(xué)中必須重視，逐步讓學(xué)生掌握這一思想方法。

參考文獻(xiàn)：

［1］熊治周.例談轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用［J］.中學(xué)生數(shù)理化：高中版·學(xué)研版，2011（2）.

［2］廖啟會(huì).轉(zhuǎn)化思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2011（20）.

（作者單位 廣西壯族自治區(qū)岑溪市歸義中學(xué)）

編輯 趙飛飛