河道非恒定流水面線計(jì)算研究

□褚青來（河南省河口村水庫工程建設(shè)管理局）

1.問題的提出

在工程實(shí)踐中，常常要對(duì)河道、水庫或渠道等的水流進(jìn)行計(jì)算，以掌握其水面線和流量數(shù)據(jù)，從而為工程設(shè)計(jì)、洪水預(yù)報(bào)、水庫調(diào)度、潰壩洪水演進(jìn)計(jì)算等提供科學(xué)依據(jù)。對(duì)一些簡(jiǎn)單的工程，可以利用恒定均勻流計(jì)算，稍復(fù)雜的工程可以利用恒定非均勻計(jì)算，但對(duì)大型的重要工程僅靠這些計(jì)算往往不能反映實(shí)際情況，無法滿足工程需要。為解決這一問題，往往要利用理論嚴(yán)謹(jǐn)、計(jì)算精度較高的非恒定流原理。

2.河道非恒定流水面線計(jì)算的基本方程

河道非恒定流水面線計(jì)算的基本方程是由水流的連續(xù)方程和運(yùn)動(dòng)方程組成的方程組，在假定無旁側(cè)入流的情況下，用水位變量z和流量變量Q表示的圣維南方程組如下：

該方程組是非恒定流計(jì)算的基本方程組。由于方程組屬于一階擬線性雙曲型偏微分方程，在一般情況下，無法求出其普遍的解析解，只能針對(duì)具體的明槽非恒定流問題，使用近似的計(jì)算方法求解。

3.基本方程組的解法

根據(jù)圣維南方程組的特征，結(jié)合非恒定流理論的實(shí)際應(yīng)用，目前基本方程組的解法大致可分為3種：

一是特征線法。這一方法是根據(jù)偏微分方程理論，先將基本方程組變換為特征線的常微分方程組，然后對(duì)常微分方程進(jìn)行離散化，再結(jié)合水流的初始條件和邊界條件求解。該方法物理概念明確，數(shù)學(xué)分析嚴(yán)謹(jǐn)，計(jì)算結(jié)果精度較高，在實(shí)際計(jì)算中，其計(jì)算公式簡(jiǎn)單，容易編程。

二是直接差分法。此法是將基本方程組直接離散化，進(jìn)而聯(lián)解得到一組代數(shù)方程，依據(jù)離散化時(shí)采用的數(shù)值格式不同，又可將直接差分法分為顯式差分法和隱式差分法。顯式差分法計(jì)算簡(jiǎn)單，但限制條件較多；隱式差分法計(jì)算過程較為復(fù)雜，且僅適應(yīng)緩慢水流，不適應(yīng)急變流。

三是瞬時(shí)流態(tài)法，簡(jiǎn)稱瞬態(tài)法。此法將運(yùn)動(dòng)方程中的所有慣性項(xiàng)忽略，從而使方程組簡(jiǎn)化為一階非線性拋物型方程組，然后對(duì)簡(jiǎn)化方程離散化，再結(jié)合初始條件和邊界條件進(jìn)行近似計(jì)算。瞬態(tài)法應(yīng)用較早，也是成熟有效的計(jì)算方法，但由于對(duì)基本方程組過于簡(jiǎn)化，計(jì)算精度往往不能滿足實(shí)際需要。

經(jīng)過上述分析，作者推薦采用特征線法求解。

4.特征線法基本方程組

特征線法的基本思想，是根據(jù)基本方程組的特點(diǎn)，引進(jìn)一條特征線，經(jīng)過推導(dǎo)求出特征線方程，即：

式（1）為正（順?biāo)鞣较颍┴?fù)（逆水流方向）兩條特征方程，并經(jīng)過處理得：

式（2）也為兩個(gè)方程，式（1）、（2）是特征線法的四個(gè)基本常微分方程。求解這四個(gè)基本方程有很多方法，作者經(jīng)過分析研究，認(rèn)為庫郎格式求解相對(duì)簡(jiǎn)單，計(jì)算時(shí)不需要迭代，又有一定的計(jì)算精度。

庫郎格式的求解方法，首先建立矩形網(wǎng)格（圖1），并引入積分中值定理，即：

圖1 矩形網(wǎng)格圖

并考慮網(wǎng)格特點(diǎn)，對(duì)L點(diǎn)和R點(diǎn)進(jìn)行線性內(nèi)插得到L、R點(diǎn)的計(jì)算公式，即：

根據(jù)求得的 ZL、QL、ZR和 QR，進(jìn)而可求得 ZP和 QP，即：

或

以上式中：

Z、Q分別代表水位和流量；

t為時(shí)間，△t為計(jì)算時(shí)段長(zhǎng)；

s為順?biāo)鞣较虻木嚯x；

△s為斷面間距或流段長(zhǎng)；

D、M、E為已知網(wǎng)格節(jié)點(diǎn);

P為求解網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)；

L、R分別代表上、下游網(wǎng)格之間過渡計(jì)算點(diǎn)；

A為過水?dāng)嗝婷娣e，B為水面寬度；

g為重力加速度，一般取9.8m/s2。

式中：B、A、Q、R、n、i分別代表 M節(jié)點(diǎn)水面寬度、面積、流量、水力半徑和糙率、底坡。

(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)式是特征線法的庫郎格式的基本方程組。該解法是利用已知的D、M、E網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)水力要素直接計(jì)算出網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)P點(diǎn)的水力要素。對(duì)于P點(diǎn)位于上下游邊界時(shí)，則要分別情況，利用上述公式計(jì)算（詳細(xì)情況在下面敘述）。

5.特征線解法的方法步驟

5.1 收集各過水?dāng)嗝尜Y料

斷面資料包括糙率、底坡坡降和斷面幾何資料。

對(duì)于糙率n，可參照有關(guān)水利設(shè)計(jì)手冊(cè)選取，為保證計(jì)算精度，各斷面應(yīng)分別取n值，如果各斷面相近也可采用統(tǒng)一的n值。

對(duì)于坡降，各斷面應(yīng)分別計(jì)算，且要把握總體坡降趨勢(shì)。

對(duì)于斷面幾何資料，如果斷面規(guī)則，比如為矩形或梯形，可直接建立高程z和面積、濕周x、水力半徑R、水面寬度B之間的關(guān)系，如果不規(guī)則，如天然河道，則要根據(jù)實(shí)測(cè)資料或地形圖，建立數(shù)據(jù)關(guān)系，具體求解時(shí)進(jìn)行內(nèi)插計(jì)算，也可將各斷面的數(shù)據(jù)關(guān)系處理成關(guān)系曲線，采用近似的計(jì)算公式，以便編程。

5.2 確定計(jì)算時(shí)段、斷面間距

對(duì)于計(jì)算時(shí)段和流段，要依據(jù)庫郎約束條件確定，即要滿足關(guān)系，△s不可過大，否則影響計(jì)算精度，一般應(yīng)取500m左右，特殊情況可適當(dāng)放寬，但不宜超過3000m。

5.3 確定計(jì)算的初始條件

初始條件為計(jì)算起始各斷面的水位和流量。非恒定流理論的前提是起始時(shí)刻各斷面有一定的水深，不能是干的河道或渠道。確定起始條件時(shí)，視具體情況，可用恒定均勻流或恒定非均勻流計(jì)算各斷面的水位和流量，也可根據(jù)實(shí)測(cè)資料確定水位和流量。

5.4 確定上游（入流斷面）、下游（出流斷面）邊界條件

對(duì)上游邊界條件，如果已知水位（比如從水庫中引水）ZP，可直接利用式（5）、（6）和（8）計(jì)算流量 QP；如果已知流量過程線（已知 QP），將式（8）變化為：

再結(jié)合式（5）、（6）計(jì)算 ZP。

對(duì)下游邊界條件，如果已知水位（如下游連接大型水庫、湖泊，水位穩(wěn)定）ZP，可利用式(9)計(jì)算流量QP；如果已知流量（如電站引水）QP，將式(9)變換為：

再結(jié)合式（3）、（4）計(jì)算ZP。如果下游邊界為水位～流量關(guān)系即Q=f（z），如水閘，則要先利用式（3）、（4），計(jì)算出ZL、QL，然后利用式(9)和QP=f（zP）關(guān)系組成兩元方程組，因一般情況無法直接解出zP、QP，要通過試算求解。

5.5 編程計(jì)算

進(jìn)行非恒定流計(jì)算時(shí)，由于工作量大，要用計(jì)算機(jī)編程求解。作者結(jié)合具體的工程實(shí)例，依據(jù)非恒定流特征線法的庫郎格式原理，用VB成功編制了計(jì)算程序，如有需要可同作者聯(lián)系。