直線系方程的教學(xué)研究

徐寧

[摘 要]求適合幾何條件的直線的方程，可以設(shè)出含參數(shù)的直線系方程，再通過幾何條件的關(guān)系來確定參數(shù)值，進(jìn)而消去參數(shù)，表示出所求直線，這樣可以簡化計算過程.

[關(guān)鍵詞]直線系方程;參數(shù);研究

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）32-0011-02

我們在研究直線的過程中發(fā)現(xiàn)，某些直線具有共同的特征.比如，與已知直線平行的直線，它們的斜率是相等的，一般式方程[Ax+By+C=0]中A、B可以完全一樣，將C表示成變化的參數(shù)即可.類似的還有與已知直線垂直的直線，過某定點(diǎn)的直線，等等.我們把這種具有某種共同特征的直線的集合稱為直線系.

直線的一般式方程是關(guān)于x，y的二元一次方程，由于直線系表示很多條具有共同特征的直線，它的方程除了x，y，還有一個變化的參數(shù)，取定一個參數(shù)值，便對應(yīng)一條確定的直線.利用直線系方程求解直線問題，通過預(yù)設(shè)所求直線形式，確定參數(shù)值，進(jìn)而表示出所求直線，可以大大簡化計算過程.類似可以推廣到圓系、曲線系，優(yōu)化解析幾何的思維和運(yùn)算.

下面重點(diǎn)探討過兩直線交點(diǎn)的直線系方程及其簡單應(yīng)用.

一、過兩直線交點(diǎn)的直線系的認(rèn)識

教師提問：同學(xué)們，你們在學(xué)過直線方程的一般式后，遇到一類含參數(shù)的二元一次方程，類似于直線方程，它是直線嗎？

為了研究這個方程，教師引導(dǎo)學(xué)生從圖像到理論，進(jìn)行了詳細(xì)探討，并了解它的具體應(yīng)用.

課堂呈現(xiàn)：

觀察方程形式為關(guān)于x，y的二元一次方程，即直線的一般式方程.在同一個直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)直線的圖形.猜測：它代表過一定點(diǎn)的無數(shù)條直線.

活動1：圖像直觀得到結(jié)論.

（1）用幾何畫板演示，當(dāng)λ變化時，每一個λ值對應(yīng)一條確定的直線，讓學(xué)生認(rèn)真觀察這些直線的共同特點(diǎn)，學(xué)生從直觀上得出結(jié)論，這些直線經(jīng)過同一點(diǎn).

（2）引導(dǎo)學(xué)生猜想這個點(diǎn)，并認(rèn)真思考如何求出該點(diǎn)的坐標(biāo).

這樣，教師先引導(dǎo)學(xué)生取特值畫圖像觀察，小組討論，進(jìn)而用幾何畫板演示直觀得到了結(jié)論，然后根據(jù)直線的一般式方程，理論上對直線系方程進(jìn)行說明，讓學(xué)生印象深刻.

學(xué)生活動：全班交流自己總結(jié)的結(jié)論，通過分析、抽象、歸納，從理性認(rèn)識上認(rèn)識經(jīng)過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程，培養(yǎng)學(xué)生的分類討論、數(shù)形結(jié)合思想.

二、過兩直線交點(diǎn)的直線系的應(yīng)用

1.求直線系方程過定點(diǎn)問題

當(dāng)我們遇到一個含參數(shù)的二元一次方程時，認(rèn)識到它表示直線系，取定一個參數(shù)的數(shù)值，就對應(yīng)一條直線，參數(shù)變化，直線就變，但這些直線恒過一個定點(diǎn)，只要將原方程整理成一部分含參數(shù)，一部分不含參數(shù)，找到兩條直線的交點(diǎn)，即定點(diǎn).

點(diǎn)評：對證明直線過定點(diǎn)問題，常用方法有特殊值法和直線系法.特殊值法，主要是取定參數(shù)的兩個特殊值，對應(yīng)得到兩條確定的直線，求出這兩條直線的交點(diǎn)，即得到定點(diǎn)，但需要代入原直線方程檢驗.直線系法是將直線方程變形，變?yōu)楹瑓?shù)和不含參數(shù)的兩部分相加，由于參數(shù)為任意實(shí)數(shù)，列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，方程組的解即為直線恒過的定點(diǎn).兩種方法相比較，直線系法更為通用.

2.運(yùn)用直線系求直線方程

若一條直線[l]過兩條直線[l1]、[l2]的交點(diǎn)，它肯定是[l1]、[l2]組成的直線系中某一條，可以將直線方程設(shè)成含參數(shù)的直線系方程，只要根據(jù)其他條件求出參數(shù)值，即可求得直線[l]的方程.

點(diǎn)評：解法一是常規(guī)解法，先聯(lián)立方程組求交點(diǎn)，再求出斜率，用點(diǎn)斜式求直線方程;解法二用與已知直線垂直的直線系表示直線;解法三應(yīng)用了過兩直線交點(diǎn)的直線系方程，省去了求兩直線交點(diǎn)的過程，簡化了解方程組的運(yùn)算.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 劉修龍.直線系在直線問題中的應(yīng)用[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2007（Z1）：81.

[2]? 季建梅.例談直線系方程在解題中的求解思維策略[J].數(shù)理化解題研究（高中版），2009（11）：4-5.

[3]? 張姝媛.巧用直線系方程解題[J].中學(xué)生數(shù)理化（高一版），2010（11）：12-13.

[4]? 趙建勛.過兩直線交點(diǎn)的直線系方程的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2017（15）：27，26.

[5]? 孫海鵬.聚焦直線系方程的應(yīng)用問題[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究），2019（Z1）：8.

[6]? 苗馨予.巧用直線系方程，妙解幾何問題[J].中學(xué)生數(shù)理化（自主招生）， 2020（2）：19.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）