解題信息的分類(lèi)與提取

【摘 要】在高中學(xué)生數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中，時(shí)常有不能把已經(jīng)掌握的知識(shí)運(yùn)用出來(lái)的現(xiàn)象。為了解決這一問(wèn)題，本文擬把解題信息區(qū)分為目標(biāo)信息、已知信息和隱含信息，介紹能較好挖掘隱含信息從而產(chǎn)生解題思路的倒推-順推法，并剖析了其間內(nèi)在的邏輯關(guān)系。

【關(guān)鍵詞】目標(biāo)信息 已知信息 隱含信息 倒推—順推法

【中圖分類(lèi)號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）25-0139-02

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生最理想的狀況是“一看就會(huì)，一做就對(duì)”。然而經(jīng)驗(yàn)告訴我們，學(xué)生時(shí)常發(fā)生的情況是：看似能夠解決的問(wèn)題，在特定的情境下就是無(wú)法跨越某些障礙，而一旦被人提示或受答案的啟發(fā)即恍然大悟，原來(lái)所謂的“難”，只是一時(shí)之間沒(méi)有想到！如何改進(jìn)這種狀況呢？

高中數(shù)學(xué)關(guān)于推理與證明的介紹提供了很好的思維方式，可以幫助學(xué)生有效地探尋解題思路。遺憾的是，無(wú)論是在新課教學(xué)還是在高三復(fù)習(xí)過(guò)程中，人們往往過(guò)于重視其“知識(shí)性”價(jià)值，而忽視甚至無(wú)視其“方法性”價(jià)值，遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有發(fā)揮出這部分內(nèi)容的作用。因此，本文擬通過(guò)解題信息的分類(lèi)與提取做些探討，為學(xué)生的解題學(xué)習(xí)提供一個(gè)“腳手架”，以便他們?cè)诮忸}過(guò)程中能較快地產(chǎn)生解決問(wèn)題的思路，從而在一定程度上改變上述令人懊惱的現(xiàn)象。

一 解題信息的分類(lèi)

解決問(wèn)題的信息就在問(wèn)題背景之中，從問(wèn)題設(shè)置的結(jié)構(gòu)來(lái)看，解題的有關(guān)信息可分為目標(biāo)信息、已知信息和隱含信息三種。

1.目標(biāo)信息

目標(biāo)信息指題目中結(jié)論提供的信息。通常情況下，目標(biāo)信息以典型問(wèn)題的形式體現(xiàn)出來(lái)，如求字母的值或取值范圍、求曲線(xiàn)方程、求數(shù)列的通項(xiàng)公式或前項(xiàng)和、求空間角與距離、證明不等式、比較大小等。此外，目標(biāo)信息還包含設(shè)問(wèn)之間的關(guān)系，它們主要是遞進(jìn)關(guān)系，上一個(gè)問(wèn)題的解決有助于下一個(gè)問(wèn)題的解決，或下一個(gè)問(wèn)題的解決需要以上一個(gè)問(wèn)題的解決為前提；有時(shí)不同的設(shè)問(wèn)表現(xiàn)為并列關(guān)系，彼此之間沒(méi)有關(guān)聯(lián)，上一個(gè)問(wèn)題是否得到解決不影響下一個(gè)問(wèn)題的解決。

2.已知信息

已知信息指的是題目條件中直接提供的信息，是問(wèn)題解決的背景，借助符號(hào)、文字或圖形的語(yǔ)言形式表現(xiàn)出來(lái)，主要表現(xiàn)為概念、性質(zhì)、公式、法則、定理、典型問(wèn)題等。大部分信息以常規(guī)習(xí)慣表現(xiàn)，如向量、點(diǎn)、數(shù)列的表示；有些則和常規(guī)習(xí)慣有些區(qū)別，需要現(xiàn)場(chǎng)的理解，如函數(shù)中表示變量的符號(hào)。

3.隱含信息

隱含信息指與目標(biāo)信息和已知信息有關(guān)的、題中沒(méi)有直接體現(xiàn)出來(lái)的、平時(shí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的概念、性質(zhì)、公式、法則、定理、公理、典型問(wèn)題及其常規(guī)解決辦法、數(shù)學(xué)思想方法等內(nèi)容。其實(shí)這些都是顯在的知識(shí)，應(yīng)是在之前學(xué)習(xí)過(guò)程中已經(jīng)掌握的知識(shí)，隱含只是對(duì)于題目自身的表述而言。正是這些隱含信息，把目標(biāo)信息和已知信息聯(lián)結(jié)起來(lái)，使得解題分析能較順利地展開(kāi)，不同隱含信息的使用反映了不同問(wèn)題的解決方法，其直接程度（或簡(jiǎn)便程度）往往也有所不同。

4.例題簡(jiǎn)析

在1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn。再令an=lgTn，n≥1。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=tanantanan+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和。

目標(biāo)信息：求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求數(shù)列的前n項(xiàng)和；設(shè)問(wèn)之間是遞進(jìn)的關(guān)系。

已知信息：在1和100之間插入了n個(gè)實(shí)數(shù)；上述n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成了一個(gè)等比數(shù)列；構(gòu)成所得的等比數(shù)列是遞增的；

構(gòu)成所得的等比數(shù)列的各項(xiàng)的積記為T(mén)n；an=lgTn；bn=tanantanan+1。

隱含信息：等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式；數(shù)列中典型問(wèn)題的常規(guī)處理方式等；對(duì)數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算法則等；三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，如兩角和的正切公式等；常用對(duì)數(shù)符號(hào)及其之間的聯(lián)系等。

二 解題信息的提取

解題信息的提取首先是快速閱讀，感知已知信息和目標(biāo)信息，了解題目大意。如果比較順利，問(wèn)題能得到正常解決；一旦思路受阻，存在著解題困難，那么就可以考慮下面提供的倒推—順推法，來(lái)分析、尋找問(wèn)題解決過(guò)程中可能涉及的隱含信息。

1.倒推

即我們常說(shuō)的“執(zhí)果索因”，也就是“要什么，找什么”。如求字母的值需要找與其有關(guān)的方程，求數(shù)列的前n項(xiàng)和需要分析其通項(xiàng)公式的特征，求角的大小往往要先求出它的某種三角函數(shù)值再討論角的范圍等。此時(shí)“果”是外顯的，“因”是內(nèi)隱的，所以，為了更為直接地達(dá)成目標(biāo)，解題者應(yīng)從目標(biāo)的需要出發(fā)，確定問(wèn)題解決的基本程序，尋求使之運(yùn)行的條件。

2.順推

即我們常說(shuō)的“由因?qū)Ч?，也就是“給什么，用什么”。如已知橢圓方程則其各種性質(zhì)已定，已知函數(shù)單調(diào)性就可以根據(jù)自變量的大小判斷對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小，也可以根據(jù)函數(shù)值的大小判斷相應(yīng)自變量的大小，還可以判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)等，已知正四棱柱為解題背景則其中特殊的點(diǎn)線(xiàn)面之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系就會(huì)有特定的作用等。此時(shí)，“因”是外顯的，“果”是內(nèi)隱的，究竟怎樣使用這里的“果”必須根據(jù)目標(biāo)的需要加以判定。

3.倒推—順推法

綜合交叉地考慮上述兩個(gè)過(guò)程來(lái)提取解題信息的方法稱(chēng)之為倒推—順推法。圍繞目標(biāo)需要尋找其成立條件時(shí)，兼顧已知提供的信息，時(shí)時(shí)關(guān)注“所找”與“所用”能否比較直接地產(chǎn)生聯(lián)系，從而把倒推和順推緊密地結(jié)合起來(lái)，而不是單純地倒推或盲目地順推。這種提取解題信息的方法源于分析法和綜合法，又是對(duì)它們的變通和綜合，應(yīng)用時(shí)可能側(cè)重于倒推，也可能側(cè)重于順推，還可能邊倒推邊順推，宜根據(jù)具體情況確定是否有所側(cè)重。

在倒推—順推過(guò)程中，有時(shí)需要采用一些輔助方法，以便于讓題意表現(xiàn)得更有利于理解，讓隱含信息更容易得到挖掘。如數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、取特殊值、列表、換元、正難則反等。

4.例題簡(jiǎn)析

在1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn。再令an=lgTn，n≥1。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=tanantanan+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和。

倒推：求數(shù)列的通項(xiàng)公式有哪些常見(jiàn)類(lèi)型？數(shù)列{an}是怎樣產(chǎn)生的？求數(shù)列的前n項(xiàng)和有哪些常用方法？數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式有何特點(diǎn)？

順推：構(gòu)造所得的數(shù)列有多少項(xiàng)？等比數(shù)列的公比能用首項(xiàng)和末項(xiàng)來(lái)表示嗎？怎樣利用等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、公比表示Tn？怎樣由Tn得出an？數(shù)列{an}是什么數(shù)列？an和an+1之間有何聯(lián)系？tanantanan+1的形式在哪里出現(xiàn)過(guò)？可能使用什么求和方法？

輔助方法：在規(guī)律不明顯的情況下，數(shù)列部分常常可以考慮抽象問(wèn)題具體化，通過(guò)對(duì)n賦值來(lái)探尋規(guī)律。如n=1

時(shí)，q=10= ，三個(gè)數(shù)字為1、10、100；n=2時(shí)，q= ，

四個(gè)數(shù)字為1、 、（ ）2、（ ）3=100；n=3時(shí)，

q= 五個(gè)數(shù)字分別為1、（ ）、（ ）2、（ ）3、（ ）4

=100……由此不難歸納得出一般情況，從而理清后續(xù)思路。

基本思路：設(shè)n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列為{cn}，公比為q（q>1），數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，則本題的基本解決思路為如下：

Sn←bn←an←Tn←cn←c1=1，cn+2=100

↑

兩角和與差的正切公式

三 解題分析模式的應(yīng)用

上文分別從解題信息的分類(lèi)和解題信息的提取兩個(gè)不同的角度展開(kāi)了分析，解題信息的分類(lèi)是為提取服務(wù)的，目標(biāo)信息和已知信息是解題思路產(chǎn)生的邏輯起點(diǎn)，隱含信息則是解題思路順利完成的必要條件；事實(shí)上，信息分類(lèi)和提取是緊密地聯(lián)系在一起的，可以通過(guò)下圖來(lái)理解。

目標(biāo)信息 隱含信息 隱含信息

↓ ↓ ↓

倒推： 要什么→找什么——↓

（輔助方法） ……

順推： 給什么→用什么——↑

↑ ↑ ↑

已知信息 隱含信息 隱含信息

顯然，數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公式、法則、定理以及數(shù)學(xué)方法、典型問(wèn)題常規(guī)解決方法等掌握是解題信息分類(lèi)與提取的必要條件。學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)讓學(xué)生明白：沒(méi)有書(shū)本知識(shí)是絕對(duì)不行的，但僅有書(shū)本知識(shí)還是不夠的，要加強(qiáng)學(xué)生閱讀理解能力的培養(yǎng)，要加強(qiáng)解題分析，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題是多變的，但不變的是知識(shí)，不變的是方法，并通過(guò)這種相對(duì)穩(wěn)定的方法把穩(wěn)定的書(shū)本知識(shí)在變化的問(wèn)題情境中用好。

解題信息的分類(lèi)與提取是一種策略性知識(shí)，需要教師借助例題反復(fù)使用、向?qū)W生解釋說(shuō)明，并帶動(dòng)學(xué)生操作練習(xí)，以便達(dá)到相對(duì)自動(dòng)化、習(xí)慣化的狀態(tài)，從而幫助他們更好地挖掘隱含信息，更快地形成解決問(wèn)題的思路，更有效地解決遇到的疑難。

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〔責(zé)任編輯：林勁〕