數(shù)學(xué)的對(duì)稱美與和諧美

作為一門科學(xué)，數(shù)學(xué)的最大特點(diǎn)就是它的真，真中見美，數(shù)學(xué)包含的不僅是真理，也是無上的美——一種冷峭而嚴(yán)峻的美，恰像一尊雕刻一樣。數(shù)學(xué)的美，是數(shù)與形的協(xié)調(diào)之美，是幾何的優(yōu)雅之美。數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是數(shù)、形、式，數(shù)的美、形的美、式的美，隨處可見。

一 對(duì)稱美

對(duì)稱和美緊密相連，具有對(duì)稱的東西給人以圓滿的勻稱美感與精神享受。

1.幾何中的對(duì)稱美

平面幾何中的軸對(duì)稱、中心對(duì)稱，正方形、圓形、等腰三角形都是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，圓是最美的平面圖形。在立體幾何中的正方體、長(zhǎng)方體、正四面體都是對(duì)稱的幾何體，球在各個(gè)方面都是對(duì)稱的，是一切立體幾何中最美的圖形。

數(shù)學(xué)中的對(duì)稱圖形在日常生活中的應(yīng)用比比皆是，都給人以完美的藝術(shù)享受。如幾何中的海倫公式便是以對(duì)稱形式出現(xiàn)的： ，它是那么耐人尋味，既然把（s-a）作為一個(gè)因子，那么一定也要把（s-b）（s-c）請(qǐng)出來，可是（s-a）（s-b）（s-c）的單位cm3取算術(shù)根后，得不出面積的單位cm2，怎么辦？只要在“ ”號(hào)下再乘上一個(gè)cm，但乘上那條邊呢？乘上a？乘上b？乘上c？都不行，因?yàn)檫@樣一來對(duì)于a、b、c就不公平了，想來想去還是乘上s吧，一方面它的單位是cm，更重要的是，對(duì)于s=

來說，a、b、c是平等的、對(duì)稱的。

2.代數(shù)中的對(duì)稱美

代數(shù)式a+b=b+a，（a+b）c=ac+bc，（a+b）=a2+2ab+b2… 都有對(duì)稱性，代數(shù)中的很多平滑曲線，也給人以對(duì)稱美的感受。如橢圓、雙曲線、拋物線的圖像，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，正弦、余弦函數(shù)的圖像等。

有奇數(shù)和偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、整數(shù)和分?jǐn)?shù)、有理數(shù)和無理數(shù)、實(shí)數(shù)與虛數(shù)、正數(shù)與負(fù)數(shù)，從常量到變量，從有限到無限都能體現(xiàn)一種無形的對(duì)稱美。

數(shù)學(xué)的對(duì)稱美還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)內(nèi)容本身在結(jié)構(gòu)上的有機(jī)統(tǒng)一。從宏觀上講，中學(xué)數(shù)學(xué)分為代數(shù)與幾何，各數(shù)學(xué)分支在結(jié)構(gòu)意義下達(dá)到完美統(tǒng)一。從微觀講，數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)之間又是有機(jī)統(tǒng)一的，如在實(shí)數(shù)的運(yùn)算中，加法和減法是統(tǒng)一的，乘法和除法也是統(tǒng)一的，乘方和開方是統(tǒng)一的，而實(shí)數(shù)的運(yùn)算和有理數(shù)的運(yùn)算以及自然數(shù)的運(yùn)算的法則又是統(tǒng)一的。

二 和諧美

美是和諧，和諧美也是數(shù)學(xué)美的一種。和諧即雅致、嚴(yán)謹(jǐn)、形式結(jié)構(gòu)無矛盾性。

1.數(shù)學(xué)比例的和諧美

數(shù)學(xué)中和諧的比例與優(yōu)美的曲線或圖形都能給人以強(qiáng)烈的形式美。比如直角三角形斜邊的平方等于其兩直角邊的平方和a2+b2=c2；最負(fù)盛名的黃金分割，具有美神之稱，它是黃金三角形的底與腰的比，也是黃金矩形的寬與長(zhǎng)之比，人體自身的軀干寬高比約為1∶1.618，8層高的樓房，4或5層最佳，一些名畫的主題大部分也畫在畫面的0.618處。再如圓周長(zhǎng)公式C=2πR這個(gè)初等數(shù)學(xué)公式，揭示了圓周長(zhǎng)和半徑之間的一種簡(jiǎn)潔、奇妙、和諧的比例美。世界上存在著很多圓，但是數(shù)學(xué)定義中的圓比任何畫家、藝術(shù)家所能描繪的圓更完美、更和諧。

2.數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的和諧美

和諧指理論體系內(nèi)部的嚴(yán)謹(jǐn)、統(tǒng)一。數(shù)學(xué)體系是把自然規(guī)律抽象成一些概念、公式或定理，并通過簡(jiǎn)潔的推理證明出各種令人驚嘆的公式和定理，充分表現(xiàn)了其內(nèi)在的和諧性與統(tǒng)一性，從中感受到一種崇高、博大、妙不可言的和諧美，就像音樂家憑借7個(gè)音符譜寫出令人心醉的樂章所帶給人們藝術(shù)美的享受一樣。例如，從等式ab=N出發(fā)，（1）已知a、b求N要用到乘方運(yùn)算；（2）已知b求N要用到開方運(yùn)算，（3）由和諧美原則，知a、N求b要用到一種新的運(yùn)算即對(duì)數(shù)運(yùn)算。又如棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)等形狀各異，但他

們的體積公式都能統(tǒng)一到同一公式 中。

數(shù)學(xué)有很多分支很多內(nèi)容，這些內(nèi)容不是互不相干地堆積起來的，而是互相聯(lián)系成一個(gè)有機(jī)的整體。這種有機(jī)的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，而且，通過這種聯(lián)系和統(tǒng)一使得整個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容顯得線條清晰，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔，體現(xiàn)了一種簡(jiǎn)潔的美。整個(gè)數(shù)學(xué)體系的前后關(guān)聯(lián)、交相呼應(yīng)、渾然一體、天衣無縫，構(gòu)成一個(gè)龐大的知識(shí)網(wǎng)，千絲萬縷，有理可依，絕對(duì)是世上最完美的美、最和諧的美。試問，有哪個(gè)人能推翻數(shù)學(xué)體系？又有誰能創(chuàng)建出另一套思維邏輯體系而與數(shù)學(xué)不發(fā)生任何聯(lián)系？毫無疑問，數(shù)學(xué)才是美麗的皇后。

三 結(jié)束語

音樂可以描繪成感覺的數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)也可以描繪成理性的音樂，音樂家可以感覺到數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)家也可以感受到音樂——音樂是夢(mèng)想，數(shù)學(xué)是工作的一生——每一方都經(jīng)由對(duì)方達(dá)到盡善盡美的境地，

美麗的山川、璀璨的星空、豐富的色彩、多姿的生活、寶貴的生命……這些美好事物的背后都深藏著許多數(shù)學(xué)奧妙，可以說數(shù)學(xué)美無處不在。用當(dāng)今數(shù)學(xué)家克萊因的一句話來概括數(shù)學(xué)的美就是：“音樂能激發(fā)或撫慰人的情懷，繪畫能使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)能使人獲得智慧，科技可以改變物質(zhì)生活，但是數(shù)學(xué)卻能提供以上一切?！?/p>

參考文獻(xiàn)

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[3]張景中.數(shù)學(xué)家的眼光[M].北京：中國(guó)少年兒童出版社，2007

〔責(zé)任編輯：范可〕