格序環(huán)上矩陣環(huán)理想的一些性質(zhì)

寧云轉(zhuǎn)， 吳雅麗， 楊義川

(北京航空航天大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 北京 100191)

格序環(huán)上矩陣環(huán)理想的一些性質(zhì)

寧云轉(zhuǎn)， 吳雅麗， 楊義川*

(北京航空航天大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 北京 100191)

討論格序環(huán)(即l-環(huán))上的l-矩陣環(huán)的l-理想，建立l-環(huán)理想與l-矩陣環(huán)理想之間的關(guān)系.

l-環(huán);l-環(huán)理想;l-矩陣環(huán)理想

1 引言及預(yù)備知識(shí)

格序環(huán)(簡(jiǎn)寫為l-環(huán)，具體見定義1.1)是由G.Birkhoff等[1]1956年提出來(lái)的一類重要的序代數(shù)結(jié)構(gòu).設(shè)R是一個(gè)環(huán)，n是正整數(shù).易驗(yàn)證，R上的所有n×n階方陣集

Mn(R)={(mij)n×n|mij∈R}

對(duì)于矩陣的普通加法和乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán).設(shè)R是一個(gè)l-環(huán)，任意的矩陣環(huán)A，B∈Mn(R)，如果對(duì)所有的i、j都有aij≥bij(這樣的序叫做通常序)，則矩陣環(huán)Mn(R)在通常序下是R上的一個(gè)全矩陣l-環(huán)[2].

本文將在通常序下，對(duì)格序理想與格序矩陣環(huán)理想之間的關(guān)系進(jìn)行探討.下面先回顧一些必要的概念.

定義1.1[1]一個(gè)偏序環(huán)或者po-環(huán)是一個(gè)帶有偏序關(guān)系≤的環(huán)R，對(duì)任意的a，b，c∈R滿足條件:

(A1)a≤b蘊(yùn)涵a+c≤b+c,

(A2) 0≤a且0≤b蘊(yùn)涵0≤ab.

格序環(huán)是一個(gè)po-環(huán)R，并且環(huán)R在關(guān)系≤下作成格.

定義1.2[3]l-環(huán)R的子集I稱為l-理想，如果I是環(huán)R的理想且是一個(gè)凸子格.

引理1.1[3]設(shè)R是一個(gè)l-環(huán)，P是R的l-理想，則以下條件等價(jià):

(a)R中的任意2個(gè)l-理想I、J，有I∩J=P蘊(yùn)涵I=P或者J=P；

(b)R中的任意2個(gè)l-理想I、J，有I∩J?P蘊(yùn)涵I?P或者J?P；

(c) 任意的a，b∈R，有〈a〉∩〈b〉?P蘊(yùn)涵a∈P或者b∈P.

定義1.3[3]l-環(huán)R的l-理想P稱為不可約格序理想，如果P是一個(gè)真l-理想并且滿足引理1.1中的其中一個(gè)等價(jià)條件.

定義1.4[4]l-環(huán)R的l-理想P稱為素格序理想，如果P是一個(gè)真l-理想并且對(duì)R中任意的l-理想I、J有IJ?P蘊(yùn)涵I?P或者J?P.

注1.1如果P是格序環(huán)R的格序理想且是R作為環(huán)的素理想，則P一定是l-環(huán)R的素格序理想.事實(shí)上，若I、J為格序環(huán)R的2個(gè)任意的l-理想，并且滿足條件IP且JP，則一定存在a∈I、b∈J使得a?P、b?P，則ab∈IJ，因?yàn)镻是環(huán)的素理想，因此有ab?P，從而IJP.即P是格序環(huán)R的素格序理想.但反之不成立，例如:任何一個(gè)元素的平方都為正的阿基米德交換格序環(huán)的素格序理想就不是一個(gè)環(huán)素理想[4].

注1.2如果P是l-環(huán)R的素格序理想，則P一定是l-環(huán)R的不可約l-理想.設(shè)I、J為R的任意2個(gè)l-理想，且I∩J?P，因?yàn)镮J?IR?I且IJ?RJ?J，則有IJ?I∩J，因此有IJ?P,又因?yàn)镻是l-環(huán)的素格序理想，則有I?P或者J?P，由定義1.3知P為l-環(huán)的不可約理想.

定義1.5[2]l-環(huán)R的l-理想P稱為l-根理想，如果P是R的所有極大真l-理想的交.

注1.3在沒有特殊注明的情況下，本文中涉及到的格序環(huán)皆是一般格序環(huán)(不一定是交換的或有單位元的).

2 主要結(jié)果

引理2.1設(shè)R是一個(gè)l-環(huán)，I是R的l-理想，則Mn(I)是Mn(R)的l-理想.

證明先證Mn(I)是Mn(R)的環(huán)理想.任取

A=(aij)，B=(bij)∈Mn(I)，

則有

A-B=(aij-bij)∈Mn(I).

任意的K=(kij)∈Mn(R)，則有

其中

因此，C，C′∈Mn(I),即Mn(I)是Mn(R)的環(huán)理想.

再證Mn(I)是凸子格.任取A，B∈Mn(I)，則有

A∧B=(aij∧bij)，A∨B=(aij∨bij)，

任意的C∈[A∧B，A∨B]，C=(cij)，即

aij∧bij≤cij≤aij∨bij，

因?yàn)镮是l-環(huán)理想，則I是凸子格，即有

[aij∧bij，aij∨bij]?I，

因此cij∈I，即C∈Mn(I)，則Mn(I)是凸子格.

綜上所述，引理得證.

引理2.2設(shè)R是一個(gè)l-環(huán)，M是Mn(R)的l-理想，令

I={a∈R|存在A=(aij)∈M，a11=a}，

則I是R的l-理想.

證明先證I是R的環(huán)理想，任意的a，b∈I，則存在A=(aij)∈M有

a11=a，B=(bij)∈M，

有b11=b，則

a-b=a11-b11∈I.

任意的r∈R，則有

C=(cij)=rA=(raij)∈M，

且c11=ra11=ra，因此ra∈I，即I是R的環(huán)理想.

再證I是凸子格.任意的a，b∈I，則存在

A=(aij)，B=(bij)∈M，

使得a11=a，b11=b，因?yàn)镸是l-理想，則[A∧B，A∨B]∈M，其中

A∧B=(aij∧bij)，A∨B=(aij∨bij)，

由I的定義知a∧b∈I，a∨b∈I，任意的c∈[a∧b，a∨b]，設(shè)C=(cij)，其中c11=c，cij=aij，i≠1，j≠1，則C∈[A∧B，A∨B]?M，由I的定義知c=c11∈I，因此I是凸子格.

綜上所述，引理得證.

引理2.3設(shè)R是一個(gè)有單位元的l-環(huán)，M是Mn(R)的l-理想，則存在R的l-理想I，使得M=Mn(I).

證明首先，由引理2.2知，I={a∈R|存在A=(aij)∈M，a11=a}是R的l-理想.

下證M=Mn(I).設(shè)Eij表示矩陣元素eij=1，其余元素全為0的n階方陣.任意的A=(aij)∈M，則E1iAEj1∈M，且有E1iAEj1中第一行、第一列元素為aij，由I的定義知aij∈I，即有

A=(aij)∈Mn(I)，

因此M?Mn(I).反過(guò)來(lái)，任意取

B=(bij)∈Mn(I)，

則有bij∈I，從而存在C=(cij)∈M，使得c11=bij，于是bijEij=Ei1CE1j∈M，從而

B=(bij)=∑bijEij∈M，

因此，Mn(I)?M，即M=Mn(I).

綜上所述，引理得證.

由引理2.1和引理2.3可得：

定理2.1設(shè)R是一個(gè)有單位元的l-環(huán)，則Mn(I)為格序矩陣環(huán)Mn(R)的格序矩陣環(huán)理想當(dāng)且僅當(dāng)I是R的l-理想.

引理2.4設(shè)Iij(1≤i≤j≤n)是l-環(huán)R的l-理想，且對(duì)任意i≤m≤l≤j有Iml?Iij，則

A-B=(aij-bij)∈M.

因?yàn)閟gt;j，有ksj=0，從而igt;j時(shí)有

當(dāng)1≤i≤j≤n時(shí)，結(jié)合aij∈Iij及對(duì)任意i≤m≤l≤j有Iml?Iij，則有

再證M是凸子格.任意的A=(aij)，B=(bij)∈M，則

A∧B=(aij∧bij)，A∨B=(aij∨bij)，

因?yàn)镮ij(1≤i≤j≤n)是R的l-理想，則Iij為凸子格，即[aij∧bij，aij∨bij]?Iij，因此

A∧B，A∨B∈M.

任意的C=(cij)∈[A∧B，A∨B]，則

cij∈[aij∧bij，aij∨bij]，

因?yàn)镮ij為凸子格，則cij∈Iij，從而C∈M，即

[A∧B，A∨B]?M.

因此，M是凸子格.

綜上所述，引理得證.

證明令I(lǐng)ij={a∈R|存在A=(aij)∈M使得a=aij}(1≤i≤j≤n).由引理2.2知，Iij是R的l-環(huán)理想.對(duì)任意的i≤m≤l≤j，設(shè)c∈Iml，則存在A=(aij)∈M使得aml=c.于是

EimAElj=amlEij=cEij∈M，

故c∈Iij.從而Iml?Iij.

用M′表示等式的右邊.任取A=(aij)∈M，則aij∈Iij(1≤i≤j≤n).則A∈M′，M?M′.反過(guò)來(lái)，若A=(aij)∈M′，則aij∈Iij(1≤i≤j≤n)，因此，存在相應(yīng)的矩陣B=(bij)∈M，使得bij=aij，于是

aijEij=bijEij=EiiBEjj∈M，

綜上所述，結(jié)論得證.

由引理2.4和引理2.5可得：

定理2.2設(shè)R是一個(gè)有單位元的l-環(huán)，則

是格序矩陣環(huán)Mn(R)的上三角l-矩陣?yán)硐氘?dāng)且僅當(dāng)Iij是R的l-理想，且滿足對(duì)任意i≤m≤l≤j有Iml?Iij.

引理2.6設(shè)R是一個(gè)l-環(huán)，Ii(i=1，2，…，n)是R的l-理想，則

{diag(a1，a2，…,an)|ai∈Ii，i=1，2，…，n)}

M={diag(a1，a2，…,an)|ai∈Ii，i=1，2，…，n)}

由引理2.6可得

定理2.3設(shè)R是一個(gè)l-環(huán)，則

{diag(a1，a2，…,an)|ai∈Ii，i=1，2，…，n}

引理2.7設(shè)R是一個(gè)有單位元的l-環(huán)，I是R的素l-理想，則Mn(I)是Mn(R)的素l-理想.

證明由引理2.1知Mn(I)是Mn(R)的l-理想.現(xiàn)在只需證Mn(I)是Mn(R)的素理想.設(shè)M1、M2為Mn(R)的任意2個(gè)l-理想，且

M1M2?Mn(I).

假設(shè)M1Mn(I)，M2Mn(I)，由引理2.3知存在I1、I2使得

M1=Mn(I1)，M2=Mn(I2).

對(duì)于任意的A=(aij)∈Mn(I1)且A?Mn(I)，有aij∈I1且存在k、l使得akl?I，于是有I1I，對(duì)于任意的B=(bij)∈Mn(I2)且B?Mn(I)，有bij∈I2且存在m、n有bmn?I，同樣有I2I.因?yàn)镮是R素格序理想，則I1I2I.

任意的c∈I1I2必然存在a∈I1、b∈I2使得c=ab，設(shè)A′=(aij)，其中a11=a，aij=0(i≠1，j≠1)，B′=(bij)，其中b11=b，bij=0(i≠1，j≠1)，設(shè)C=AB，則

c11=c，cij=0,i≠1，j≠1，

因此C∈Mn(I1)Mn(I2).由題設(shè)知

Mn(I1)Mn(I2)?Mn(I)，

于是C∈Mn(I)，即c=ab∈I，從而可得I1I2?I，與I1I2I矛盾，因此假設(shè)不成立.

綜上所述，結(jié)論成立.

引理2.8設(shè)R是一個(gè)有單位元的l-環(huán)，M是Mn(R)的素l-理想，令I(lǐng)={a∈R|存在A=(aij)∈M，a11=a}.則I是R的素l-理想.

證明由引理2.2知I必是l-理想.下面證明其為素l-理想，設(shè)I1、I2是R的任意2個(gè)格序環(huán)理想，且I1I2?I.由引理2.3知，對(duì)I1、I2存在

M1=Mn(I1)，M2=Mn(I2)，

因?yàn)镮1I2?I，則M1M2?M，又因?yàn)镸為素格序理想，則Mn(I1)?M或者M(jìn)n(I2)?M.不妨設(shè)Mn(I1)?M成立，任意的a∈I1，則存在

A=(aij)∈Mn(I1)，

使得a11=a，因?yàn)镸n(I1)?M，則A∈M，由I的定義知a∈I，從而I1?I，即I是R的素l-理想.

綜上所述，結(jié)論得證.

引理2.9設(shè)R是一個(gè)有單位元的l-環(huán)，M是Mn(R)的素l-理想，則存在R的素l-理想I，使M=Mn(I).

證明由引理2.7、引理2.8及引理2.3得證.

由引理2.7和引理2.9可得：

定理2.4設(shè)R是一個(gè)有單位元的l-環(huán)，則Mn(I)為Mn(R)的素l-理想當(dāng)且僅當(dāng)I是R的素l-理想.

引理2.10設(shè)R是一個(gè)有單位元的l-環(huán)，I是R的極大l-理想，則Mn(I)是Mn(R)的極大l-理想.

證明假設(shè)Mn(I)不是Mn(R)的極大l-理想，則存在Mn(R)的格序理想M，且滿足

Mn(I)MMn(R)，

由引理2.3知存在l-理想

J={a∈R|存在A=(aij)∈M，a11=a},

使得M=Mn(J).從假設(shè)知I?J，且存在B=(bij)∈Mn(J)但B=(bij)?Mn(I)，則存在i、j使得bij?I，因此，IJ.再由假設(shè)顯然可得到JR，這與題設(shè)中I是R的極大l-理想矛盾.因此，假設(shè)不成立，即Mn(I)是Mn(R)的極大l-理想.

綜上所述，結(jié)論得證.

引理2.11設(shè)R是一個(gè)有單位元的l-環(huán)，M是Mn(R)的極大l-理想，令I(lǐng)={a∈R|存在A=(aij)∈M，a11=a}，則I是R的極大l-理想.

證明假設(shè)I不是R的極大l-理想，則存在R的理想J，滿足IJR，由引理2.3知M=Mn(I)，并且J對(duì)應(yīng)格序矩陣環(huán)理想Mn(J).因?yàn)镮J，則存在a∈J且a?I，取

A=(aij)，a11=a，aij∈I,i≠1，j≠1.

則A∈Mn(J)，A?Mn(I)，因此

M=Mn(I)Mn(J).

同理Mn(J)Mn(R).這與M是Mn(R)的極大理想矛盾，假設(shè)不成立.即I是R的極大格序理想.

綜上所述，結(jié)論得證.

引理2.12設(shè)R是一個(gè)有單位元的l-環(huán)，M是Mn(R)的極大l-理想，則存在R的極大l-理想I，使得M=Mn(I).

證明由引理2.10、引理2.11以及引理2.3得證.

由引理2.10和引理2.12可得:

定理2.5設(shè)R是一個(gè)有單位元的l-環(huán)，則Mn(I)為Mn(R)的極大l-理想當(dāng)且僅當(dāng)I是R的極大l-理想.

結(jié)合定義1.5、引理2.11、引理2.12及定理2.5可得：

定理2.6設(shè)R是一個(gè)有單位元的l-環(huán)，I是R的l-根理想，則Mn(I)是Mn(R)的l-根理想.

定理2.7設(shè)R是一個(gè)有單位元的l-環(huán)，M是Mn(R)的l-根理想，令I(lǐng)={a∈R|存在A=(aij)∈M，a11=a}，則I是R的l-根理想.

定理2.8設(shè)R是一個(gè)有單位元的l-環(huán)，則Mn(I)是Mn(R)的l-根理想當(dāng)且僅當(dāng)I是R的l-根理想.

3 結(jié)束語(yǔ)

文中矩陣環(huán)上的格序假定是通常序，其中的一些結(jié)果需要用到環(huán)的乘法單位元的存在性.下面列出幾個(gè)問(wèn)題，有興趣的讀者可以閱讀近期相關(guān)的一些文章，如文獻(xiàn)[5-7]等.

1) 能否構(gòu)造出相關(guān)結(jié)果在無(wú)單位環(huán)的情形下不成立的反例？

2) 能否在矩陣環(huán)上構(gòu)造出相容的線性序？

3) 能否構(gòu)造出不同構(gòu)于通常序的相容格序？

[1] BIRKHOFF G, PIERCE R S. Lattice-ordered rings[J]. Anais Da Academia Brasileira De Ciências,1956,28:41-69.

[2] BIRKHOFF G. Lattice Theory[M]. 3rd. New York:American Math Soc,1967.

[3] KLAUS K. The representation of lattice-ordered groups and rings by sections in sheaves[C]//Lectures on the Applications of Sheaves to Ring Theory,1971:1-98.

[4] DIEM J M. A radical for lattice-ordered rings[J]. Pacific J Math,1968,25(1):71-82.

[5] KITAMURA Y, TANAKA Y. Partially ordered rings II[J]. Tsukuba J Math,2016,39(2):181-198.

[6] SCHWARTZ N, YANG Y C. Fields with directed partial orders[J]. J Algebra,2011,336(1):342-348.

[7] YANG Y C. A lattice-ordered skew field is totally ordered if squares are positive[J]. Am Math Monthly,2006,113(3):265-266.

2010MSC:06F25; 06B10; 15A33

(編輯 余 毅)

Some Properties of l-ideals of Lattice-ordered Matrix Rings over an l-ring

NING Yunzhuan, WU Yali, YANG Yichuan

(SchoolofMathematicsandSystemScience,BeihangUniversity,Beijing100191)

In this paper, we discuss thel-ideals ofl-matrix rings over anl-ring and establish the relationship betweenl-ideals of thel-rings andl-ideals of the matrix rings.

l-ring;l-ideal ofl-ring;l-ideal ofl-matrix ring

O153.1

1001-8395(2017)06-0722-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.002

2016-12-03

國(guó)家自然科學(xué)基金(11271040)

*通信作者簡(jiǎn)介:楊義川(1970—)，男，教授，主要從事邏輯代數(shù)、序代數(shù)、軟計(jì)算及其應(yīng)用的研究，E-mail：ycyang@buaa.edu.cn