第二類Weyl 半金屬的金屬-超導-金屬結中的Andreev 反射*

陳書剛 李學思 韓宇?

1) (遼寧大學物理學院,沈陽 110036)

2) (沈陽大學師范學院物理系,沈陽 110003)

理論上研究了第二類Weyl 半金屬的金屬-超導-金屬(NSN)結在傾斜一定角度后體系的散射性質(zhì),計算結果顯示傾斜角可以決定體系的散射機制,當傾斜角較小時,NSN 結中存在兩種局域Andreev 反射和兩種電子隧穿,包括徑向Andreev 反射、鏡面Andreev 反射、徑向電子隧穿和鏡面電子隧穿.隨著傾斜角的增加,局域Andreev 反射逐漸被抑制,當傾斜角超過臨界角后,NSN 結中的輸運過程與正常金屬的NSN 結相同,會同時發(fā)生電子正常反射、電子隧穿、局域Andreev 反射和交叉Andreev 反射.此外,體系的總電導不受化學勢的影響,并且在傾斜角小于臨界角時不受入射角的影響,而在傾斜角大于臨界角時隨入射角的增加而減小,而交叉Andreev 反射電導在某些條件下會隨入射角的增加而增強.

1 引言

Weyl 半金屬是一類新型的拓撲量子材料[1–6],它具有費米弧表面態(tài)、負磁阻效應等特點[7],在電子器件方面具有潛在的應用價值[8],受到人們的廣泛關注.隨著對Weyl 半金屬研究的深入,第二類Weyl 半金屬在理論上被預言并隨后在 MoTe2[9–11],LaAlGe[12],WTe2[13–15],MoxW1?xTe2[16,17]等材料中得以實現(xiàn).不同于第一類Weyl 半金屬中點狀的費米面[18],第二類Weyl 半金屬具有過度傾斜的能帶結構[19–21],因此具有有限大小的費米面,其Weyl點出現(xiàn)在能帶中電子與空穴口袋邊界處[22],費米面則同時穿過電子和空穴費米口袋[4].這種特殊的能帶結構使得第二類Weyl 半金屬具有很強的能帶各向異性,這導致它除了具有與第一類Weyl半金屬類似的性質(zhì),如拓撲保護表面費米弧、手征異常和大的非飽和磁阻[23–25]外,還具有額外的奇異量子特性[26],如反常量子霍爾效應[27]、手征反常朗道層面崩塌[28]等.

此外,傾斜的能帶結構也帶來了新的輸運機制.在由正常金屬(N)和超導體(S)組成的異質(zhì)結界面會發(fā)生Andreev 反射現(xiàn)象[29],近年來被廣泛地用于研究石墨烯類材料或新型拓撲材料的輸運性質(zhì)[30–39].在金屬-超導-金屬(NSN)結中[40–43],電子由一側的金屬入射,會發(fā)生4 種散射過程—電子正常反射、電子隧穿、局域Andreev 反射和交叉Andreev 反射[44–47].而第二類Weyl 半金屬由于具有過度傾斜的能帶結構,在它的NSN 結中電子正常反射和交叉Andreev 反射被完全抑制,取而代之的是兩種局域Andreev 反射和兩種電子隧穿[48].這種雙Andreev 反射雙隧穿的新型輸運機制引起了人們的廣泛關注.隨后,很多第二類Weyl 半金屬能帶結構及其輸運性質(zhì)的相關工作相繼被報道.如在第二類Weyl 半金屬PN 結中,磁場下動量空間中的克萊因隧穿出現(xiàn)了新的量子振蕩現(xiàn)象[49];在第二類Weyl 半金屬的NS 結中,Andreev 反射具有極大的各向異性,可以用于檢測第二類Weyl半金屬的各向異性光譜[39]等.

本文在第二類Weyl 半金屬NSN 結的基礎上,將其傾斜一定的角度,通過散射矩陣方法計算體系的散射系數(shù)及電導以考察體系的輸運性質(zhì).計算結果顯示,傾斜角度決定著體系的散射機制,具體表現(xiàn)為當傾斜角較小時,NSN 結中存在兩種局域Andreev 反射和兩種電子隧穿,包括徑向Andreev反射、鏡面Andreev 反射、徑向電子隧穿和鏡面電子隧穿.隨著傾斜角的增加,局域Andreev 反射逐漸被抑制,當傾斜角超過臨界角后,NSN 結中的輸運過程與正常金屬的NSN 結相同,即電子正常反射、電子隧穿、局域Andreev 反射和交叉Andreev反射.此外,入射能、入射角、化學勢以及超導體長度也會對體系的輸運性質(zhì)有不同程度的影響.最后,計算了微分電導,結果顯示體系的總電導與化學勢無關,并且在傾斜角小于臨界角時不受入射角的影響,而在傾斜角大于臨界角時隨入射角的增加而減小,交叉Andreev 反射的電導則主要受偏壓、化學勢、傾斜角等因素的影響,在某些條件下可被增強.

接下來在第2 節(jié)給出了理論模型并通過散射矩陣方法計算了體系的散射系數(shù);第3 節(jié)計算了體系的電導,并考察了體系的散射系數(shù)和電導隨各參數(shù)的變化;第4 節(jié)給出結論.

2 模型與方法

本文研究的體系為第二類Weyl 半金屬的NSN結,并將其傾斜一定的角度,如圖1(a)所示.首先,第二類Weyl 半金屬中其中一個Weyl 點K0處的低能有效哈密頓量可以寫為[29,48]

圖1 (a)第二類Weyl 半金屬的NSN 結傾斜θ 角度的示意圖.在(b) θ <θc和(c) θ >θc兩種情況下 ky和 kz 一定時NSN 結的能譜,其中紅色(藍色)表示導帶(價帶),實線(虛線)表示電子(空穴)Fig.1.(a) Schematic diagram of the NSN junction based on type-II WSM when changing the orientation angle θ.Energy spectra with finite ky and kz of the NSN junction for (b) θ <θcand (c) θ >θc,where the conduction (valence) bands are colored with red (blue),and the solid (dashed) lines denote electrons (holes).

(1)式滿足時間反演對稱性而空間反演對稱性破缺[50,51].其中k是一個可以保證低能模型有效的足夠小的波矢量;σ(σx,σy,σz) 是泡利矩陣;σ0是單位矩陣;v2是費米速度;v1代表能帶沿kx方向的傾斜程度;V是電化學勢,可以通過門電壓或者化學摻雜進行調(diào)節(jié).相應地,另一個Weyl 點?K0的哈密頓量可以通過時間反演對稱性寫出:

假設NSN 結的傾斜角度為θ,其取值范圍為0?<θ <90?,為了方便計算,可以利用坐標變換

得到Weyl 點K0和?K0的有效哈密頓量:

為了研究體系的輸運性質(zhì),采用Bogoliubovde Gennes (BdG)方程描述電子和空穴的激發(fā)[52]:

式中μ()為整個系統(tǒng)的化學勢,?() 為超導配對勢,它們與電化學勢V() 都屬于階躍函數(shù):

通過求解BdG 方程,可以得到超導體中準粒子的色散關系

以及Weyl 半金屬中電子和空穴的色散關系

通過對超導結能譜的分析,可以發(fā)現(xiàn)NSN 結的傾斜角θ存在一個臨界值θcarccos(v2/v1),當θ <θc時,在一定參數(shù)范圍內(nèi)體系仍然可以發(fā)生兩種局域Andreev 反射和兩種電子隧穿[29,48,53],如圖1(b)所示.而當θ >θc時,在一定參數(shù)范圍內(nèi)體系會發(fā)生電子正常反射、局域Andreev 反射、交叉Andreev 反射和電子隧穿,如圖1(c)所示.這兩種散射過程只針對于第二類Weyl 半金屬,而普通金屬由于沒有過度傾斜的能帶結構,v1cosθ始終小于v2,因此無論傾斜角θ如何變化,其NSN 結中的散射過程始終保持不變.下面分別對這兩種散射過程進行分析,由于體系是關于軸旋轉不變的,接下來的討論中,設置kz0.在這種情況下,入射角的范圍為θ?αc≤α≤min(π/2,θ+αc),其中假設電子以入射能E,入射角α從左側Weyl 半金屬的價帶通道Ee?入射,則超導結各區(qū)域的波函數(shù)可以寫為

這些系數(shù)可以由兩個界面處的邊界條件

其中τz是泡利矩陣的z分量.

θ <θc時,徑向和鏡面Andreev 反射的系數(shù)A1和A2,以及徑向和鏡面電子隧穿的系數(shù)T1和T2分別為

θ >θc時,局域Andreev 反射和電子正常反射的系數(shù)Reh和Ree,以及電子隧穿和交叉Andreev反射的系數(shù)Tee和Teh分別為

由于電流守恒,這些系數(shù)滿足A1+A2+T1+T21,Reh+Ree+Tee+Teh1 的關系.

3 結果和討論

本節(jié)考察體系的散射系數(shù)和電導隨入射能、入射角及超導體長度等參數(shù)的變化,在接下來的計算中,取Δ=1 作為能量單元,其他參數(shù)都可用Δ表示,除非特殊說明,否則以下幾個參數(shù)取值均為v21,kz0,?1,U100,UL0,UR0.

首先考察的是θ <θc時,雙Andreev 反射和雙電子隧穿的系數(shù)隨傾斜角θ的變化,如圖2 所示,其中圖2(a)和圖2(b)的入射能分別取為E0 和E0.6.由圖2(a)可以看出,當傾斜角0?<θ <5?時,徑向Andreev 反射系數(shù)A1可以達到1,而其他的散射則被完全抑制.隨著傾斜角θ的進一步增大,A1逐漸減小,鏡面Andreev 反射系數(shù)A2和鏡面電子隧穿系數(shù)T2先增大后減小,而徑向電子隧穿系數(shù)T1則單調(diào)遞增.當傾斜角等于臨界角(θ ≈25?)時,徑向電子隧穿系數(shù)T1可以達到1,而其他三種散射系數(shù)則減小到0.對于入射能E0.6 的情況(圖2(b)),可以看出當傾斜角θ較小時,鏡面Andreev 反射的系數(shù)A2隨θ的增加而先增大后減小,在傾斜角θ3?時A2可達到1,徑向Andreev反射的系數(shù)A1的變化趨勢與A2正相反,而兩種電子隧穿則幾乎被完全抑制.隨著傾斜角θ的增加,兩種Andreev 反射的系數(shù)都呈下降趨勢,鏡面電子隧穿的系數(shù)T2先增大后減小,而徑向電子隧穿系數(shù)T1單調(diào)增大,最終當傾斜角等于臨界角時達到1.比較圖2(a)和圖2(b)可以發(fā)現(xiàn),傾斜角對體系的散射性質(zhì)具有較大影響,當傾斜角較小時,Andreev 反射占主導;隨著傾斜角的增加,Andreev反射逐漸被抑制,電子隧穿逐漸占據(jù)主導地位;當傾斜角等于臨界角時,體系只發(fā)生徑向電子隧穿,其他散射過程被完全抑制.

圖2 θ <θc時,在入射能分別為(a) E0和(b)E 0.6時Andreev 反射和電子隧穿的系數(shù)隨傾斜角θ 的變化.相關參數(shù) 為v1=1.1,v2=1,μ=0.5,UL=0,UR=0,α=30°,U=100,?1,L=10ξFig.2.Andreev reflection and electron transmission coefficients as functions of orientation angle θ for (a) E0 and(b) E0.6 when θ <θc.Parameters:v1=1.1,v2=1,μ=0.5,UL=0,UR=0,α=30°,U=100,?1,L=10ξ.

圖2(b)中,當傾斜角θ3?時,鏡面Andreev反射系數(shù)A2可以達到1,因此,為了更好地觀察Andreev 反射系數(shù)的變化,選取θ3?研究兩種Andreev 反射系數(shù)隨入射能E的變化,結果如圖3所示.其中圖3(a),圖3(c)和圖3(b),圖3(d)分別為選取不同化學勢μ和能帶傾斜系數(shù)v1時兩種Andreev 反射系數(shù)的變化.圖3(a)和圖3(c)選取v11.1,可以看出當入射能E ?時,體系仍然只發(fā)生一種Andreev 反射,同時也發(fā)生電子隧穿,并且隨著入射能E的增大,Andreev 反射系數(shù)伴隨著振蕩衰減.此外還可以看出,體系發(fā)生Andreev 反射的類型取決于入射能E與化學勢μ之間的關系,當E <μ時,只發(fā)生徑向Andreev 反射;當E >μ時,只發(fā)生鏡面Andreev 反射;Eμ是兩種Andreev反射互相轉換的臨界點.圖3(b)和圖3(d)選取μ0.5,可以看出除了v11.1的情況以外,當v1取其他數(shù)值時兩種Andreev 反射共存,其中當入射能E ?時,體系同時發(fā)生Andreev 反射和電子隧穿,兩種Andreev 反射系數(shù)都隨著入射能的增加而呈振蕩衰減,并且A1和A2隨著v1的增加分別增大和減小.

圖3 θ <θc時,Andreev 反射和電子隧穿的系數(shù)隨入射能E 的變化 (a),(c) v1 1.1;(b),(d) μ0.5.相關參數(shù)取值為θ 3?,α30?,v2 1,UL 0,UR 0,U 100,?1,L10ξFig.3.Andreev reflections and electron transmission coefficients as a function of the incident energy E when θ <θc:(a),(c)v1 1.1;(b),(d) μ0.5.Parameters: θ3?,α30?,v2 1,UL 0,UR 0,U 100,?1,L10ξ.

接下來考察θ <θc時,超導體長度L對體系輸運性質(zhì)的影響,結果如圖4 所示.圖4(a)和圖4(b)分別表示入射能E0和E0.6 兩種情況,其中傾斜角仍然與圖3 一致,取為θ3?.從圖4 (a)可以看出,當入射能E0 時體系只發(fā)生徑向Andreev反射(A1)和徑向電子隧穿(T1),鏡面Andreev反射(A2)和鏡面電子隧穿(T2)被完全抑制,并且隨著超導體長度L的增加,T1由1 逐漸減小,A1則由0 逐漸增加.當L3ξ時,T1減小到0,而A1增大到1,此后散射系數(shù)不再隨超導體長度L的增加而變化.從圖4(b)可以看出,當入射能E0.6時,體系只發(fā)生鏡面Andreev 反射(A2)和徑向電子隧穿(T1),徑向Andreev反射(A1)和鏡面電子隧穿(T2)被完全抑制,并且隨著超導體長度L的增加,T1由1 逐漸減小,A2則由0 逐漸增加,最終在L3ξ時,A2和T1分別穩(wěn)定在1 和0.

圖4 θ <θc 時,Andreev 反射和電子隧穿的系數(shù)隨超導體長度L 的變化 (a) E0;(b) E0.6.相關參數(shù):v1 1.1,v2 1,μ0.5,UL 0,UR 0,θ 3?,α30?,U 100,?1Fig.4.Andreev reflections and electron transmissions coefficients as a function of the SC region length L with incident energy (a) E0 and (b) E0.6 when θ <θc.Parameters:v1 1.1,v2 1,μ0.5,UL 0,UR 0,θ 3?,α30?,U 100,?1.

接下來研究傾斜角θ >θc的情況.在這種情況下,體系會出現(xiàn)與普通金屬的NSN 結類似的電子正常反射(Ree)、電子隧穿(Tee)以及局域Andreev反射(Reh)和交叉的Andreev 反射(Teh).首先考察這4 種散射系數(shù)隨傾斜角θ的變化,結果如圖5 所示.可以看出,這4 種散射系數(shù)隨著θ的增加而呈振蕩型的變化,當θ較小時,體系只存在電子正常反射(Ree)、電子隧穿(Tee)和交叉Andreev反射(Teh),其中電子隧穿的系數(shù)Tee隨著傾斜角θ的增加而減小,電子正常反射系數(shù)Ree隨θ的增加而增大,局域Andreev 反射(Reh)只在θ較大時出現(xiàn),其系數(shù)Reh隨著θ的增加而逐漸增大,交叉Andreev 反射的系數(shù)Teh隨著θ的增加而先增大后減小,其中當傾斜角θ47.97?時,交叉Andreev反射系數(shù)Teh達到最大值,接近0.4,如圖5 中紫色圓圈所標記.選取這個最大值點,計算散射系數(shù)隨入射能的變化情況,如圖5 中插圖所示.可以看出,隨著入射能的增加,電子正常反射系數(shù)Ree單調(diào)遞增,電子隧穿系數(shù)Tee和交叉Andreev 反射系數(shù)Teh先增大后減小,其中Teh的最大值可達到0.43 左右,而局域Andreev 反射則在整個入射能的范圍內(nèi)被完全抑制.上述現(xiàn)象說明,通過調(diào)整傾斜角可以在一定程度上增強交叉Andreev 反射,當傾斜角較大時,會對體系的輸運性能起到消極影響.

圖5 θ >θc 時,Andreev 反射和電子隧穿的系數(shù)隨傾斜角θ 的變化.插圖為散射系數(shù)隨入射能E 的變化.相關參數(shù):E 0,v1 1.3,v2 1,μ0,UL 0,UR 0,α85?,U 100,?1,LξFig.5.Andreev reflections (Reeand Reh) and electron transmissions coefficients (Teeand Teh) as a function of orientation angle θ when θ >θc.The inset shows the scattering coefficients with the increment of the incident energy E. Parameters:E 0,v1 1.3,v2 1,μ0,UL 0,UR 0,α85?,U 100,?1,Lξ.

根據(jù)上述散射系數(shù)的結果,進一步計算體系的微分電導.由Blonder-Tinkham-Klapwijk (BTK)公式可得電導表達式為[29,54]

最后,考察體系的總電導G和交叉Andreev反射的電導GCAR隨傾斜角θ和偏壓eV的變化情況,如圖6 所示.為了方便,取對電導進行規(guī)范.圖6(a)為μ0.5,L10ξ,入射角α取不同值時,體系的零偏壓電導G隨傾斜角θ的變化情況,此時傾斜角的臨界角為θc30?.可以看出,當θ <θc時,總電導G隨著傾斜角θ的增加而減小,當θ >θc時,總電導G隨著傾斜角θ的增加而先減小后增大,最后穩(wěn)定在G2.而入射角α的變化則主要在θ >θc時起作用,具體表現(xiàn)為總電導G隨入射角α的增大而減小.當固定入射角α30?,化學勢μ取不同值時,總電導G不隨化學勢變化.圖6(b)是入射角α取不同值時交叉Andreev 反射的電導GCAR隨偏轉角θ的變化情況,可以看出,入射角取不同值時,相應的電導都會在傾斜角θ取某些值時達到最大值,而后隨著θ的繼續(xù)增大而逐漸減小,最終在θ接近 90?時減小到0.為了獲得更大的交叉Andreev反射的電導,選取入射角α70?時交叉Andreev反射電導GCAR的最大值點θ59?,GCAR/GN0.24 (如圖6(b)中紫色圓圈標記)畫出交叉Andreev 反射的電導GCAR隨偏壓eV的變化情況.圖6(c)和圖6(d)分別取超導體長度Lξ和L10ξ.當Lξ時,從圖6(c)可以看出,隨著偏壓eV的增加,交叉Andreev 反射的電導GCAR先增大后減小.在偏壓較小時獲得最大值,并且當偏壓eV <0.5?時GCAR隨著化學勢μ的增大而減小,當μ0.01 ,eV接近0 時,GCAR取得最大值0.29;而當偏壓較大時化學勢的改變對電導不會造成明顯影響.當L10ξ時,從圖6(d)可以看出,GCAR隨偏壓的增加而呈振蕩變化,當eV1.7?時取得最大值,可達到 0.4.此外還可以看出,當偏壓eV ?以后GCAR不再受到化學勢的影響.

圖6 總電導G 和交叉Andreev 反射電導 GCAR隨(a),(b)傾斜角θ 和(c),(d)偏壓 eV的變化.相應參數(shù):(a),(b) μ0.5,L10ξ;(c)θ 59?,α70?,Lξ;(d)θ 59?,α70?,L10ξ.其他參數(shù):v1 2/ v2 1,UL 0,UR 0,U 100,?1, 10Fig.6. Conductance G and its CAR component GCARdependence of (a),(b) orientation angle θ and (c),(d) bias votage eV.P√arameters:(a),(b) μ0.5,L10ξ;(c)θ 59?,α70?,Lξ;(d)θ 59?,α70?,L10ξ.Other parameters:v1 2/v2 1,UL 0,UR 0,U 100,?1, 10.

4 結論

本文研究了第二類Weyl 半金屬的NSN 結在傾斜一定角度后體系的散射性質(zhì).計算結果表明,傾斜角度可以決定體系的散射機制,當傾斜角較小時,NSN 結中存在兩種局域Andreev 反射和兩種電子隧穿,包括徑向Andreev 反射、鏡面Andreev反射、徑向電子隧穿和鏡面電子隧穿.隨著傾斜角的增加,局域Andreev 反射逐漸被抑制,當傾斜角超過臨界角后,NSN 結中的輸運過程與正常金屬的NSN 結相同,即電子正常反射、電子隧穿、局域Andreev 反射和交叉Andreev 反 射. 此 外,入 射能、入射角、化學勢以及超導體長度也會對體系的輸運性質(zhì)有不同程度的影響.最后計算了微分電導,結果顯示體系的總電導與化學勢無關,并且在傾斜角小于臨界角時不受入射角的影響,而在傾斜角大于臨界角時隨入射角的增加而減小,交叉Andreev 反射的電導則主要受偏壓、化學勢、傾斜角等因素的影響,在某些條件下可被增強.由于本文中研究的參數(shù)較多,為了使讀者更直觀地獲得本文的研究結論,我們匯總了各參數(shù)對散射系數(shù)的影響,如表1 所列.

表1 各參數(shù)對散射系數(shù)的影響Table 1. Influence of various parameters on scattering coefficient.

附錄A第二類Weyl半金屬的NSN 結在傾斜0?時的本征矢量

當θ >θc時,左側Weyl 半金屬中的電子反射和右側Weyl 半金屬中的空穴反射分別可以寫為

其中電子和空穴在方向的波矢量可以寫為

其中

中間超導區(qū)域的散射模式可以寫為

其中