二次函數(shù)在初高中教學中的漸進性問題

于海云

摘 要：從初中與高中對二次函數(shù)研究的重點、層次及要求不同，分析二次函數(shù)在初高中教學時應注意的知識講解的漸進性。

關鍵詞：二次函數(shù)；知識點；中考要求

形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫二次函數(shù)。二次函數(shù)在整個中學階段都是比較重要的函數(shù)之一。初中階段是所學三種重要函數(shù)之一。高中階段二次函數(shù)多與其他知識點結合進行研究。例如，其與一元二次方程、一元二次不等式之間的關系，體現(xiàn)著函數(shù)、方程、不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系。初高中所有與二次函數(shù)相關的問題都可以結合圖象來研究，學生需要掌握“數(shù)形結合”等重要數(shù)學思想方法。而且初高中都有新知識點，在教學中如何把握不同知識點的漸進性，何時講解到何種程度才更為合適呢？這是個值得研究的課題。

一、初中二次函數(shù)主要知識點及中考要求

1.初中二次函數(shù)的主要知識點包括解析式與圖象，知識點單一且很少與其他知識點交叉。

（1）三種解析式：一般式、頂點式、兩根式，由一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)a≠0）配方后可化為y=a（x+■）2-■，記h=-■，k=■則得到頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+k拋物線的頂點為（h，k）即（-■，■）.對于和x軸有交點的二次函數(shù)，還有兩根式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2）即對ax2+bx+c進行因式分解，其中x1，x2=■（求根公式），x1、x2為對應一元二次方程的實數(shù)根?，F(xiàn)在人教版初中數(shù)學已經(jīng)刪去了十字相乘法，西藏的初中有的班級教了十字相乘法，有的沒教。如果講了十字相乘法，也可以用十字相乘法來分解因式得到兩根式。十字相乘法雖然有應用的局限性，但是只要可以用十字相乘法分解因式的題目，相比用求根公式計算簡單。（2）與二次函數(shù)的圖象相關的知識點有對稱軸、開口方向、頂點與x軸、y軸交點，與x軸交點又涉及對應一元二次方程根的幾何解釋。

2.中考要求主要有：（1）理解二次函數(shù)概念、性質，會畫二次函數(shù)的圖象。（2）能確定拋物線的開口方向，頂點坐標，對稱軸方程，以及拋物線與坐標軸的交點坐標。（3）會根據(jù)不同條件確定二次函數(shù)的解析式。（4）靈活運用函數(shù)思想，數(shù)形結合思想解決問題。

初中相對高中來說，都是二次函數(shù)一些基礎知識點，知識的靈活運用要求不高，對二次函數(shù)的圖象與性質之間的內(nèi)在聯(lián)系研究很少。

二、高中二次函數(shù)知識點及高考要求

二次函數(shù)在高考中始終是重點之一，近年來隨著初中對二次函數(shù)要求的降低，高中對二次函數(shù)需要研究的內(nèi)容就更多了，綜合性也更強，而且相應內(nèi)容并不是集中在一起出現(xiàn)，很多都是用到二次函數(shù)相關的知識時再介紹，比較零碎。

1.高考要求中直接提到二次函數(shù)的主要有：（1）結合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)。（2）通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系。看似很少，但是實際上二次函數(shù)基本上在每一模塊都有涉及，而且圖象也不再局限于初中內(nèi)容。

2.主要知識點在加深對已有知識點的的剖析及應用的基礎上，引入新知識。圖象、性質、定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、分段函數(shù)、復合函數(shù)等等，一道題目不會只用單一知識點解決。

Ⅰ.二次函數(shù)的圖象和解析式：仍然和初中基本一樣，不需要進行補充，主要是加強培養(yǎng)學生通過圖象研究性質。

Ⅱ.二次函數(shù)的性質：

（1）定義域及值域：對于一般二次函數(shù)，定義域為R，值域為（■，+∞）（a>0）或者（-∞，■]（a<0）有特定條件的題目，還要根據(jù)題目條件來定，靈活多樣。值域由定義域決定，又和最值問題息息相關，“必修一函數(shù)的基本性質”中也會講到二次函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲担涤蛞灿卸喾N情況。

（2）單調(diào)性：二次函數(shù)的單調(diào)性以對稱軸作為區(qū)分，當a>0時，（-∞，-■）或者（-∞，-■]是單調(diào)遞減區(qū)間，[-■，+∞）或者（-■，+∞）是單調(diào)遞增區(qū)間；當a<0時，單調(diào)性相反。

（3）奇偶性：二次函數(shù)的奇偶性相比單調(diào)性來說更簡單，當定義域關于原點對稱，且對稱軸是y軸時，即-■=0時，函數(shù)是偶函數(shù)，其余情況皆不具備奇偶性。

（4）最值：最值與函數(shù)的定義域有關，情況多變，對于區(qū)間上的最值問題原則是區(qū)分對稱軸與區(qū)間的相對位置（以a<0為例）。第一，如果定義域是R，函數(shù)有最小值ymin=■沒有最大值。

第二，如果定義域是區(qū)間[m，n]（m、n是常數(shù)，且m

（5）二次函數(shù)區(qū)間根的分布情況：一般從判別式、區(qū)間端點函數(shù)值的符號、對稱軸與區(qū)間的相對位置三方面來考慮，可以用圖象求解，令f（x）=ax2+bx+c（a≠0）方程有ax2+bx+c=0有兩個不等實根x1、x2，且x1

①x1<0，x2<0，則？駐>0-■<0a·f（0）>0

②x1>0，x2>0？駐>0-■>0a·f（0）>0

③x1<0

其次，討論兩根與常數(shù)k的大小關系，與第一種情況類似，把0換成k即可。

然后討論根在區(qū)間上的分布：

①兩根都在（m，n）內(nèi)，則？駐>0f（m）·f（n）>0m<-■

②兩根僅有一根在（m，n）內(nèi)，可分：當？駐>0時，若f（m）=0或f（n）=0可表示出另一根，再利用區(qū)間范圍求解；若另一根在[m，n]外時，則f（m）·f（n）<0時。當？駐=0時，方程只有一個實數(shù)根，利用？駐=0求解；

③一根在（m，n）內(nèi)，另一根在（s，t）內(nèi)，m

則f（m）·f（n）<0f（s）·f（t）<0

④兩根分別在（m，n）兩側，即x1n，則f（m）·f（n）>0。

（6）二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的關系（以a>0為例）：

①？駐<0？圳f（x）=ax2+bx+c的圖象與x軸無交點？圳ax2+bx+c=0無實根？圳ax2+bx+c>0的解集為R，ax2+bx+c<0的解集為？準；

② ？駐=0？圳f（x）=ax2+bx+c的圖象與x軸相切？圳ax2+bx+c=0有兩個相等的實根x1=x2？圳fax2+bx+c>0的解集為■，ax2+bx+c<0的解集為？準；

③？駐>0？圳f（x）=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個不同的交點？圳ax2+bx+c=0有兩個不等的實根x10的解集為（-∞，x1）∪（x2，+∞），ax2+bx+c<0的解集為（x1，x2）。

有些知識點可以在相應章節(jié)出現(xiàn)時，對相應分類全面研究。也可以只介紹出現(xiàn)的某種情況，在高三復習時系統(tǒng)總結。具體處理方式還要根據(jù)班級學生基礎及接受力安排研究的時間及難度，總之，二次函數(shù)完全可以單列為一個獨立的章節(jié)，就如北師大版高中數(shù)學教材。

雖然高中數(shù)學人教A版沒有對二次函數(shù)單列章節(jié)研究，但是相應知識分散到各個與之相關的章節(jié)。例如，分段函數(shù)經(jīng)常會有二次函數(shù)形式，冪函數(shù)y=x2也是二次函數(shù)，等差數(shù)列的求和公式Sn=na1+■d是關于n的二次函數(shù)，三角函數(shù)里面有很多公式是二次形式，很多問題最終也會轉化為二次函數(shù)知識求解等。雖然這樣保持了二次函數(shù)在高中階段的貫穿性，但對學生學習實際上造成了不方便，很多知識都是到用時才分析研究，導致學生認為二次函數(shù)的知識“東一榔頭，西一棒子”，不成系統(tǒng)，整理起來也有難度。

所以，對二次函數(shù)的教學，教師必須做到心中有數(shù)，層層遞進，如，抽絲剝繭，把對二次函數(shù)的研究一步步深入下去，不能急躁，要有抖包袱的勁頭，才能更好地引導學生對二次函數(shù)進行深入研究。

（作者單位 西藏拉薩中學數(shù)學組）

編輯 溫雪蓮