快速判斷閏年有妙招

鄭藝霞

摘 要： 教師應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重因材施教。在以往教學(xué)中，要判斷某一年是不是閏年，就是用4或400除這一年的年份數(shù)。三年級(jí)學(xué)生只學(xué)習(xí)除數(shù)是一位數(shù)，被除數(shù)最大是三位數(shù)的除法，一位數(shù)除四位數(shù)這類題目，對(duì)學(xué)生來說，難度大，計(jì)算速度非常慢。作者結(jié)合多年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)了一種特別簡(jiǎn)便的方法判斷閏年，并用數(shù)學(xué)語言加以證明。

關(guān)鍵詞： 閏年 理論證明 優(yōu)化計(jì)算方法

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：教師應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重因材施教。人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》三年級(jí)下冊(cè)第四單元《年、月、日》，介紹了平年和閏年的知識(shí)。書上是這樣寫的：公歷年份是4的倍數(shù)的一般是閏年；但公歷年份是整百數(shù)的，必須是400的倍數(shù)才是閏年。換言之，要判斷某一年是不是閏年，用4或400除這一年的年份數(shù)，如果除得的商是整數(shù)且沒有余數(shù)，那么這一年就是閏年；如果有余數(shù)，那么這一年就是平年。三年級(jí)學(xué)生只學(xué)習(xí)除數(shù)是一位數(shù)，被除數(shù)最大是三位數(shù)的除法，一位數(shù)或三位數(shù)除四位數(shù)這類題目，對(duì)學(xué)生來說，有一定難度。雖然近幾年教材變動(dòng)很大，但這部分知識(shí)的學(xué)法還是沒變。這樣的學(xué)法確實(shí)不容易為學(xué)生所接受。那么應(yīng)該怎樣突破這個(gè)難點(diǎn)，本文闡述如下。

一、解讀教材，深度思考

筆者執(zhí)教《年、月、日》前，仔細(xì)研究了這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，覺得讓學(xué)生掌握平年與閏年的判斷方法難度不是很大，而且這部分內(nèi)容和學(xué)生的生活密切聯(lián)系，能激發(fā)學(xué)生極大興趣。但是有這樣的擔(dān)憂，學(xué)生雖然學(xué)習(xí)了除數(shù)是一位數(shù)的除法，但一位數(shù)除四位數(shù)，教材上沒有出現(xiàn)過，更沒有學(xué)過三位數(shù)除四位數(shù)，計(jì)算方面學(xué)生會(huì)有困難。因此，為了順利教學(xué)這部分知識(shí)，課前已經(jīng)多次向?qū)W生滲透了算法。所以當(dāng)介紹完判斷閏年的方法后，學(xué)生個(gè)個(gè)迫不及待地想一試身手時(shí)，借機(jī)組織學(xué)生進(jìn)行相關(guān)練習(xí)，用年份判斷閏年?？粗鴮W(xué)生鴉雀無聲、埋頭苦算的樣子，筆者心中不禁一陣竊喜，看來學(xué)得還不錯(cuò)，提前滲透算法還是有效果的。過了幾分鐘，感覺應(yīng)該做得差不多，但是一經(jīng)檢查，還有相當(dāng)一部分學(xué)生沒有完成。這和課前預(yù)設(shè)的大相徑庭。仔細(xì)檢查學(xué)生練習(xí)本，發(fā)現(xiàn)學(xué)生之所以沒有按預(yù)想的時(shí)間完成主要有兩個(gè)原因：第一，大部分學(xué)生是用每個(gè)年份逐個(gè)除以4或400，這樣就需要大量計(jì)算，浪費(fèi)了時(shí)間；第二，計(jì)算四位數(shù)除以一位數(shù)或三位數(shù)的除法，對(duì)于三年級(jí)學(xué)生來說，難度很大，計(jì)算速度非常慢，甚至有一部分學(xué)生在計(jì)算上還有障礙。但是如果將一位數(shù)除四位數(shù)作為一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，要求學(xué)生掌握，則又會(huì)增加學(xué)生不必要的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

全國(guó)著名特級(jí)教師錢金鐸老師曾說：“在課程的實(shí)施過程中，預(yù)設(shè)的教學(xué)過程同課堂的真實(shí)情境之間經(jīng)常存在著不同程度的偏離。而這樣的偏離正是學(xué)生個(gè)人知識(shí)、直接經(jīng)驗(yàn)、生活世界等兒童文化的外顯，正是學(xué)生與教材碰撞出的自我解讀，其中不乏有價(jià)值的成分?！蹦窃撊绾握业竭@其中有價(jià)值的成分，課后，筆者多次觀摩這一內(nèi)容的公開課，同樣，方法學(xué)生雖然會(huì)了，但是計(jì)算起來相當(dāng)麻煩，每判定一次都需要列除法豎式，學(xué)生判斷閏年的正確率和速度得不到保證。有的同學(xué)一看到這類題目就皺起眉頭，產(chǎn)生畏難情緒。這樣的方法已經(jīng)偏離了學(xué)生認(rèn)知水平。

二、改進(jìn)教學(xué)，引導(dǎo)探究

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)結(jié)合小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)展開，為學(xué)生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。再次教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，筆者調(diào)整了教學(xué)思路，在學(xué)生計(jì)算前多設(shè)計(jì)了一些活動(dòng)：一看，觀察年歷表，初步發(fā)現(xiàn)它與4的關(guān)系（每4年有一個(gè)閏年）；二猜，根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)猜一猜哪些年是閏年；三推，用加4減4的規(guī)律推一推，發(fā)現(xiàn)閏年的年份數(shù)與4的密切關(guān)系；四算，最后引出用年份數(shù)除以4的方法。在計(jì)算過程中，學(xué)生遇到困難，此時(shí)學(xué)生渴望尋找快速判斷的好方法。于是，筆者順?biāo)浦?，緊追一步，有了以下片斷教學(xué)：

師：同學(xué)們，我們能不能根據(jù)個(gè)位上的數(shù)來判斷呢？

生：1983年是平年，不用除以4的，我都可以看出是平年，4的倍數(shù)個(gè)位都是雙數(shù)。個(gè)位是單數(shù)的肯定不是閏年。

師：也就是說我們可以先用排除法，如果年份數(shù)是單數(shù)的，就一定不是閏年。那現(xiàn)在剩下年份數(shù)是雙數(shù)的情況，還可以怎么排除呢？

生：先找出是整百的年份，只要用它的前兩位數(shù)去除以4就可以了。

師：能舉個(gè)例子嗎？

生：比如：1600年，可以直接用16去除以4，沒有余數(shù)，那就是閏年。1900年，只要用19去除以4，有余數(shù)，那就是平年。

師：你為什么這樣判斷呢？能不能講一下其中的道理呀？

生：因?yàn)?400里面有24個(gè)100，400里面有4個(gè)100，看2400里面有幾個(gè)400，只要用24去除以4就可以了。

聽著他的回答，教室里一片掌聲……

師：通過運(yùn)用排除法，由原來需要計(jì)算6題，現(xiàn)在只剩下1996年和2014年，只需計(jì)算2題，大大減少了計(jì)算量，節(jié)省了時(shí)間，我們可以更快地完成這類題型。

生：我還有更快的方法，年份是雙數(shù)的，我可以用后兩位數(shù)除以4。比如：1996年用96除以4沒有余數(shù)，所以1996年是閏年。14除以4有余數(shù)，2014年不是閏年。

師：為什么？

生：……

學(xué)生說不出原因，筆者也在思考，到底這個(gè)方法可不可以，于是組織學(xué)生舉例驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)是這個(gè)方法是可行的。這樣的課堂生成讓筆者驚喜不已。

蘇霍姆林斯說：“教育的技巧并不在于預(yù)見到課的所有細(xì)節(jié)，而在于根據(jù)當(dāng)時(shí)的具體情況，巧妙地在學(xué)生的不知不覺中作出相應(yīng)的變動(dòng)?！敝挥形覀冏鹬厣?，弘揚(yáng)學(xué)生的課堂主權(quán)；引導(dǎo)生成，保證資源的有效價(jià)值，課堂才能充滿智慧的靈光。這節(jié)課學(xué)生不經(jīng)意出現(xiàn)的這個(gè)亮點(diǎn)是學(xué)生學(xué)習(xí)的頓悟、靈感的萌發(fā)，稍縱即逝。教師要及時(shí)捕捉到這條“價(jià)值不菲”的信息，從而激活其他學(xué)生的思維，使得這個(gè)判斷方法不斷升華，為最后的巧算奠定基礎(chǔ)。在這一過程中，學(xué)生的智慧正在綻放，視野正在擴(kuò)大，我們必須用心傾聽、及時(shí)捕捉和充分肯定，這比任何所謂的知識(shí)目標(biāo)更為可貴。

三、利用理論，驗(yàn)證方法

牛頓曾說：“沒有大膽的猜想就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞在1953年就大聲疾呼：“讓我們教猜測(cè)吧！”“先猜后證——這是大多數(shù)的發(fā)現(xiàn)之道?！睂W(xué)生的猜想是否正確呢？帶著這個(gè)問題，筆者訪問了很多高年級(jí)學(xué)生，他們也都表示沒有使用過。又詢問過幾位教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的教師，他們也都表示在教學(xué)生涯中沒有這樣教過。或者說有這樣想過，但不敢直接教給學(xué)生。確實(shí)數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，不能單靠有限個(gè)數(shù)字的驗(yàn)證，就妄自下定論。為了讓這個(gè)判斷方法更好地運(yùn)用于生活實(shí)際，筆者結(jié)合多年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。證明如下：

1.公歷年份不是整百數(shù)

證明：設(shè)M=A×1000+B×100+C×10+D是任意一個(gè)四位數(shù)整數(shù)，其中A，B，C，D表示0～9的整數(shù)。因?yàn)镸÷4=（A×1000+B×100+C×10+D）÷4=A×250+B×25+（C×10+D）÷4且A×250，B×25都是整數(shù)，故如果（C×10+D）÷4是整數(shù)，則M是4的倍數(shù)，否則M不是4的倍數(shù)。

同理可證年份數(shù)是三位數(shù)的情況。

所以當(dāng)公歷年份不是整百數(shù)時(shí)，年份數(shù)的末兩位是4的倍數(shù)，則這個(gè)年份數(shù)就是4的倍數(shù)。

2.公歷年份是整百數(shù)

證明：設(shè)M=A×1000+B×100是任意一個(gè)整百數(shù)，其中A，B表示0～9的整數(shù)。因?yàn)镸÷400=（A×1000+B×100）÷400=（A×10+B）÷4，故如果（A×10+B）÷4是整數(shù)，則M是400的倍數(shù)，否則M不是400的倍數(shù)。

同理可證年份數(shù)是三位數(shù)的情況。

所以當(dāng)年份數(shù)是整百數(shù)時(shí)，只要去掉末尾的兩個(gè)零，剩下的數(shù)是4的倍數(shù)，則這個(gè)年份數(shù)就是4的倍數(shù)。

四、概括總結(jié)，回顧反思

有了理論支撐，快速判斷閏年的方法總結(jié)如下：首先看年份的個(gè)位，個(gè)位是單數(shù)的年份是不是閏年；其次判斷年份是雙數(shù)的情況，當(dāng)公歷年份不是整百數(shù)時(shí)，只要看年份數(shù)的末兩位是不是4的倍數(shù)，如果是4的倍數(shù)，那么是閏年；當(dāng)年份數(shù)是整百數(shù)時(shí)，只要去掉末尾的兩個(gè)零后再除以4，如果是4的倍數(shù)，那么就是閏年。掌握了這種方法之后，即使學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)一位數(shù)除四位數(shù)，也不會(huì)影響到閏年的判斷，甚至學(xué)生不需要計(jì)算，只要口算就能立即知道某一年是平年還是閏年，而且在日常生活中也很有實(shí)用價(jià)值。

教學(xué)過程是動(dòng)態(tài)的，因時(shí)因人而發(fā)生變化。教師對(duì)于教材上提供的方法不能生搬硬套，要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況加以靈活運(yùn)用，這樣才能使學(xué)生更有效地掌握，同時(shí)對(duì)教師的素質(zhì)提出更高要求。在教學(xué)工作實(shí)踐中，沒有最好的教學(xué)方法，只有最適合的教學(xué)方法。只要我們多加思考，就會(huì)找到更適合的方法。一線教師在新一輪課程改革面前，必須走進(jìn)新課程，而不是讓新課程走進(jìn)我們。在新的課堂教學(xué)中，要用教材去教，而不是教教材。從學(xué)生實(shí)際生活出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)置于實(shí)際生活的背景之下，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值。