解析機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中MATLAB的應(yīng)用

童賢華

摘要

MATLAB在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中發(fā)揮著重要作用，首先對其優(yōu)化工具做了簡單介紹，然后闡述了其優(yōu)化工具箱函數(shù)，最后結(jié)合實(shí)例對其實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行了分析。

關(guān)鍵詞 機(jī)械化設(shè)計(jì)；MATLAB優(yōu)化工具箱；線性規(guī)劃

引言

隨著生產(chǎn)要求及精確度的提高，需對機(jī)械做進(jìn)一步優(yōu)化，即在特定的環(huán)境和負(fù)荷下，對機(jī)械的尺寸、規(guī)格、性能等因素加以改進(jìn)，通過變量的設(shè)計(jì)，構(gòu)建相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)并求得最優(yōu)解，達(dá)到以最少消耗獲得最大效益的效果。相關(guān)研究愈來愈多，出現(xiàn)了多種優(yōu)化方法，但對應(yīng)用范圍均有限制。MATLAB優(yōu)化工具箱可直接為技術(shù)人員提供有用的優(yōu)化函數(shù)，其語法簡單，輸入初始參數(shù)時(shí)無需繁雜程序，加上編程工程量較少，在當(dāng)前機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的作用日益突出，應(yīng)用越來越廣泛。

1．MATLAB語言及其優(yōu)化工具

MATLAB語言是美國研制的一款實(shí)用數(shù)學(xué)軟件，集矩陣計(jì)算、數(shù)值分析、數(shù)據(jù)可視化、系統(tǒng)建模等功能于一體，在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、流體力學(xué)、圖像處理等領(lǐng)域起著重要作用。該軟件摒棄了以往的程序語言編輯模式，在當(dāng)前十分先進(jìn)，可用于解決較為復(fù)雜的工程問題。另外，根據(jù)其自身功能，還可實(shí)現(xiàn)非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的仿真，將計(jì)算結(jié)果直觀形象地呈現(xiàn)出來。其優(yōu)化工具箱包含二次規(guī)劃、曲線擬合、線性及非線性最小化、方程求解等問題對大型課題的解答方法，對解決實(shí)際問題創(chuàng)造了有利條件。

2．MATLAB優(yōu)化工具箱函數(shù)

2.1 線性規(guī)劃函數(shù)的求解

在機(jī)械優(yōu)化中，線性規(guī)劃指的是屬于優(yōu)化變量的線性函數(shù)，即便有約束條件，函數(shù)也屬于優(yōu)化變量的線性存在等式或不等式的情況。遇到這種情況，通常會選擇使用MATLAB優(yōu)化工具箱中的linprog函數(shù)進(jìn)行求解，關(guān)于線性規(guī)劃求解的方法有很多，單純形法較為常用，效果也高。

2.2 無約束非線性規(guī)劃函數(shù)的求解

非線性規(guī)劃指的是在約束函數(shù)或目標(biāo)函數(shù)中有若干非線性函數(shù)生成的情況。在求解無約束優(yōu)化問題時(shí)，通常會采用兩種方法：一是梯度求解，二是直接搜索法。若目標(biāo)函數(shù)中的非線性較為復(fù)雜，或?qū)?shù)求解難度較大，甚至沒有導(dǎo)數(shù)，遇此情況可選擇使用直接搜索法。單純形法的應(yīng)用，不足之處在于收斂速度過慢。

2.3 有約束非線性規(guī)劃函數(shù)的求解

非線性約束規(guī)劃問題是MATLAB優(yōu)化工具箱解決最多的問題。相關(guān)算法較多，但使用范圍有限制，常常只能解決某一類的非線性規(guī)劃問題。傳統(tǒng)算法的原理為：通過懲罰函數(shù)對約束最優(yōu)化問題進(jìn)行轉(zhuǎn)變，成為無約束最優(yōu)化問題后，進(jìn)一步開展求解。由于無法適應(yīng)當(dāng)前要求，該方法易被代替，常用的是以K-T方程解為基礎(chǔ)的算法。K-T方程是非線性規(guī)劃算法的基礎(chǔ)，此類算法可以直接開展計(jì)算拉格朗日乘子，經(jīng)過擬牛頓法的更新，為K-T方程積聚二階信息，確保有約束擬牛頓法的線性得到收斂。因每次重要迭代過程中需要求解一次二次規(guī)劃問題，故此類方法又叫做序列二次規(guī)劃法。

3．MATLAB在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的實(shí)際應(yīng)用

3.1 解決步驟

MATLAB優(yōu)化工具箱的應(yīng)用多按照以下步驟進(jìn)行：結(jié)合目標(biāo)定義，考慮設(shè)計(jì)要求，對問題進(jìn)行優(yōu)化，并指明優(yōu)化類型。分類時(shí)可能會遇到單目標(biāo)和多目標(biāo)、線性和非線性等情況，需加強(qiáng)對其具體情況的重視了解；確定優(yōu)化類型后，可開始構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，選擇適宜的函數(shù)；進(jìn)一步明確重點(diǎn)數(shù)據(jù)、設(shè)計(jì)初始點(diǎn)等要素；結(jié)合目標(biāo)函數(shù)呈現(xiàn)出的形態(tài)，預(yù)設(shè)優(yōu)化選項(xiàng)；各項(xiàng)參數(shù)輸入并確定后，對函數(shù)程序加以調(diào)整；依據(jù)提示的信息，校正優(yōu)化現(xiàn)象的各項(xiàng)設(shè)置，確保其符合要求；對設(shè)計(jì)方案及優(yōu)化數(shù)據(jù)進(jìn)行合理分析。

3.2 實(shí)際案例分析

某人字形鋼架由兩根鋼管組成，鋼管材料密度ρ為7.8 × 103kg/m3，彈性模量E為2.1 × 105MPa，管壁厚度T為0.25cm，鋼架跨度2B ＝ 152cm，外力2F ＝ 3 × 105N。鋼管壓應(yīng)力R在低于失穩(wěn)臨界應(yīng)力和許用壓應(yīng)力的基礎(chǔ)上，鋼管平均直徑D及鋼架的高h(yuǎn)使得鋼管總質(zhì)量達(dá)到最小值?？芍鋬?yōu)化問題為：x ＝ [D，h]T時(shí)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量需滿足穩(wěn)定性約束條件R(x) ≤ Re(失穩(wěn)臨界應(yīng)力）及強(qiáng)度約束條件R（x）≤ Ry（許用壓應(yīng)力）。

① 設(shè)計(jì)變量的獲取

鋼管質(zhì)量需在求得鋼管直徑的鋼架高度后進(jìn)一步獲得，故可將平均直徑D及高架高度h作為設(shè)計(jì)變量，則可知：

X ＝ [x1 ，x2]T ＝ [D，h]T

② 目標(biāo)函數(shù)的獲取

為求得鋼管質(zhì)量的最小值，需構(gòu)建以下的目標(biāo)函數(shù)：

M（D，h）＝ 2πρTD（B2 ＋ h2）1/2

③ 約束條件的獲取

關(guān)于穩(wěn)定性約束條件，為R ≤ [Re],即：

≥

關(guān)于其強(qiáng)度約束條件，為R ≥ [Ry]，即：

≥ Ry

根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，在10cm ≤ D ≤120cm ，且200cm ≤ h ≤ 1000cm時(shí)，其邊界約束條件為：

0 ≤ D － 10

0 ≤ 120 － D

0 ≤ h － 200

0 ≤ 1000 － h

3.3 數(shù)學(xué)模型的優(yōu)化

從上述計(jì)算分析中可知，該優(yōu)化問題實(shí)際是一個(gè)包含了6個(gè)約束的二維非線性優(yōu)化問題，經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后，將其所有函數(shù)表達(dá)式依次套入已知條件按中，可得到模型如下：

X ＝ [x1 ，x2]T ＝ [D，h]T

Minf(x) ＝ 1225224 × 10﹣3 x1

4．結(jié)束語

MATLAB優(yōu)化工具箱在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中起著重要作用，可對其中的復(fù)雜問題 加以有效分析并予以解答。優(yōu)化結(jié)果更加精確可靠，編程也簡單許多，進(jìn)而提升了設(shè)計(jì)效率。基于這諸多優(yōu)勢，有必要將該技術(shù)做進(jìn)一步推廣使用。

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