卡諾圖在數(shù)字電子技術(shù)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

胡靜

摘 要 卡諾圖是數(shù)字電子技術(shù)中常用的基本工具，除了用于化簡(jiǎn)外，它還有許多應(yīng)用，作者通過(guò)多年的教學(xué)進(jìn)行了總結(jié)，并通過(guò)例子進(jìn)行了詳細(xì)論述。

關(guān)鍵詞 卡諾圖 設(shè)計(jì) 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：TN47 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0引言

卡諾圖是美國(guó)工程師Karnaugh在上世紀(jì)50年代首先提出來(lái)的，主要應(yīng)用于數(shù)字邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)。在卡諾圖中，將n個(gè)變量的全部最小項(xiàng)各用一個(gè)小方塊來(lái)表示，并且使那些具有邏輯相鄰關(guān)系的最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰或相對(duì)排列，通過(guò)觀察其幾何關(guān)系就可以確定如何合并最小項(xiàng)，將復(fù)雜的化簡(jiǎn)難題變成了簡(jiǎn)單直觀的幾何問(wèn)題。

1用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)實(shí)質(zhì)上是用配項(xiàng)的方法。在用小規(guī)模集成門電路（SSI）設(shè)計(jì)組合邏輯電路時(shí)，為保證設(shè)計(jì)結(jié)果最簡(jiǎn)，必須先將邏輯函數(shù)化成最簡(jiǎn)式（一般為最簡(jiǎn)與或式）?；?jiǎn)的方法有公式法和卡諾圖法，應(yīng)用公式法時(shí)能否化成最簡(jiǎn)取決于化簡(jiǎn)者對(duì)公式的熟練程度，尤其在變量數(shù)達(dá)到四、五個(gè)時(shí)比較難掌握。但是，需要怎樣選擇最小項(xiàng)進(jìn)行合并才是合理的卻并不容易看出來(lái)，如果采用卡諾圖卻可以將這一難題簡(jiǎn)單化解，在卡諾圖中每一個(gè)小方塊對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)，將邏輯函數(shù)用卡諾圖表示出來(lái)實(shí)際上就是配項(xiàng)的方法。由于卡諾圖是平面幾何圖形，具有直觀的優(yōu)點(diǎn)，所以能方便的確定合并最小項(xiàng)的方法，并保證化簡(jiǎn)結(jié)果最簡(jiǎn)。

2用卡諾圖將邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)表達(dá)式

在進(jìn)行邏輯設(shè)計(jì)時(shí)并不是都要將邏輯函數(shù)寫(xiě)成最簡(jiǎn)式，相反，在許多情況下，需要用中規(guī)模（MSI）、大規(guī)模（LSI）器件完成設(shè)計(jì)時(shí)，不僅不能寫(xiě)成最簡(jiǎn)式，而必須寫(xiě)成最小項(xiàng)（或最大項(xiàng)）表達(dá)式。如果按傳統(tǒng)的方法通過(guò)配項(xiàng)去寫(xiě)是很麻煩的，能否利用卡諾圖直接寫(xiě)出邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式呢？初學(xué)者在填卡諾圖時(shí)都是先將邏輯函數(shù)配項(xiàng)成最小項(xiàng)表達(dá)式后才填入卡諾圖中，在熟悉了以后可以不用配項(xiàng)而直接將邏輯函數(shù)填入卡諾圖中。下面以四變量函數(shù)為例舉例說(shuō)明。

例一：

如圖一所示：對(duì)于乘積項(xiàng)A B C對(duì)應(yīng)于卡諾圖中AB取值為00的一行與C取值為0的兩列（D取1或0均可）的交叉處對(duì)應(yīng)的兩個(gè)最小項(xiàng)m0和m1；對(duì)于ACD則對(duì)應(yīng)于A取0的兩行與CD取11的列交叉所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)m3和m7；對(duì)于AC D則對(duì)應(yīng)于A取1的兩行與CD取00的列交叉所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)m8和m12。

3用卡諾圖判斷有無(wú)競(jìng)爭(zhēng)——冒險(xiǎn)現(xiàn)象

在閻石先生的《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》中介紹了這樣一種情況，就是當(dāng)輸入變量每次只有一個(gè)改變狀態(tài)時(shí)，如果邏輯式在一定條件下可以化成Y=A+A或Y=A*A的形式，就可判定存在競(jìng)爭(zhēng)——冒險(xiǎn)現(xiàn)象。例如對(duì)于例一，當(dāng)A=0，B=0，D=1時(shí)原式變?yōu)閅=C+C，存在競(jìng)爭(zhēng)——冒險(xiǎn)，當(dāng)B=C=D=0時(shí)原式變?yōu)閅=A+A也存在競(jìng)爭(zhēng)——冒險(xiǎn)，可以通過(guò)添加冗余項(xiàng)A B D 和B C D 來(lái)消除。

如圖一所示，先將邏輯函數(shù)填入卡諾圖中，式中的每個(gè)乘積項(xiàng)對(duì)應(yīng)用一個(gè)矩形框圈起來(lái)（類似化簡(jiǎn)時(shí)的做法），然后觀察，如果某兩個(gè)矩形框存在有邏輯相鄰項(xiàng)，則一定存在競(jìng)爭(zhēng)——冒險(xiǎn)現(xiàn)象，發(fā)生競(jìng)爭(zhēng)——冒險(xiǎn)的條件就是這兩個(gè)相鄰項(xiàng)對(duì)應(yīng)乘積項(xiàng)的取值。如圖二所示，上例中框A B C和框ACD 有相鄰項(xiàng)，將相鄰的最小項(xiàng)合并得所對(duì)應(yīng)的乘積項(xiàng)為A BD，即說(shuō)明當(dāng)滿足條件A=0，B=0，D=1時(shí)存在競(jìng)爭(zhēng)——冒險(xiǎn)，該乘積項(xiàng)A BD即為所需添加的冗余項(xiàng)；同樣，框A B C和框AC D也有相鄰項(xiàng)，合并得乘積項(xiàng)B C D，即說(shuō)明當(dāng)滿足條件B=C=D=0時(shí)存在競(jìng)爭(zhēng)——冒險(xiǎn)，該乘積項(xiàng)也即為所需添加的冗余項(xiàng)。最后添加了冗余項(xiàng)以后的表達(dá)式應(yīng)該為：

Y=A B C + A CD + A C D +A B D + B C D。

4對(duì)時(shí)序邏輯電路自啟動(dòng)的判斷

在時(shí)序邏輯電路的設(shè)計(jì)中，自啟動(dòng)設(shè)計(jì)是一個(gè)重要環(huán)節(jié)，如果等到電路設(shè)計(jì)出來(lái)后經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)不能自啟動(dòng)，這時(shí)再去修改邏輯設(shè)計(jì)是很麻煩的。借助卡諾圖可以在設(shè)計(jì)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)電路能否自啟動(dòng)并可以指導(dǎo)修改設(shè)計(jì)。

例二：設(shè)計(jì)一個(gè)七進(jìn)制計(jì)數(shù)器，狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖如圖三，要求能自啟動(dòng)。

由狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖可得它的次態(tài)卡諾圖如圖四，如果按常規(guī)方法合并最小項(xiàng)，從卡諾圖可以看出，無(wú)關(guān)項(xiàng)XXX在化簡(jiǎn)中不被使用（被視作000），即狀態(tài)000的次態(tài)仍是000，電路不能自啟動(dòng)，如果將無(wú)關(guān)項(xiàng)定義為有效循環(huán)中的任意一個(gè)狀態(tài)即可實(shí)現(xiàn)自啟動(dòng)，比如定義為001，則狀態(tài)000的次態(tài)是001，電路能夠自啟動(dòng)。

5在用數(shù)據(jù)選擇器設(shè)計(jì)組合邏輯電路中的應(yīng)用

在用具有n位地址的數(shù)據(jù)選擇器設(shè)計(jì)n+1變量邏輯函數(shù)時(shí)，應(yīng)用卡諾圖可以輕松實(shí)現(xiàn)。我們知道，具有n位地址的數(shù)據(jù)選擇器可以設(shè)計(jì)成任意n變量或n+1變量組合邏輯函數(shù)，教科書(shū)中都是把所求函數(shù)的表達(dá)式化為最小項(xiàng)表達(dá)式然后和數(shù)據(jù)選擇器的表達(dá)式進(jìn)行對(duì)比而得，這種做法在設(shè)計(jì)成n變量邏輯函數(shù)時(shí)還比較方便，但在設(shè)計(jì)成n+1變量函數(shù)時(shí)需要先配項(xiàng)再變形才能進(jìn)行比較，其實(shí)利用卡諾圖可以比較簡(jiǎn)單地完成。

例三：用八選一數(shù)據(jù)選擇器CC1452設(shè)計(jì)四變量邏輯函數(shù)Z=ABCD+ A B D + B CD + A B，八選一數(shù)據(jù)選擇器的表達(dá)式為Y = m0D0 + m1D1 + …… + m7D7 。按常規(guī)方法把原式配項(xiàng)后寫(xiě)成Z=A B C *D + A B C*0 + A B C *1 + A B C *1 + A B C *1 + ABC *D + ABC *0 + ABC*D，令地址端A2 = A，A1 = B，A0 = C，對(duì)比兩式可知應(yīng)令數(shù)據(jù)端D0 = D7 = D，D5 = D ，D1 = D6 = 0，D2 = D3 = D4 = 1，則Y = Z即為所求。

可以看出，這樣做比較麻煩，如果用卡諾圖則簡(jiǎn)便得多。如圖五所示，將原式填入卡諾圖中，也可以將卡諾圖變換成右邊所示的表格（讓表中的最小項(xiàng)按自然二進(jìn)制數(shù)從小到大排列），表中數(shù)據(jù)端D0――D7的取值原則是：每一行對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)方框中如果沒(méi)有填入1則對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)端取0，如果填入有兩個(gè)1則對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)端取1，如果只填入一個(gè)1，則填左邊取反變量，填在右邊取原變量。

以上是我的一點(diǎn)見(jiàn)解，望以此拋磚引玉，請(qǐng)各位同行批評(píng)指正。

參考文獻(xiàn)

[1] 閻石.數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2006.5.

[2] 康華光.電子技術(shù)基礎(chǔ) 數(shù)字部分（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2000.6.