新課標(biāo)下立體幾何中應(yīng)關(guān)注的幾個(gè)問題

甘海

立體幾何是高中階段非常重要的一部分內(nèi)容，高中新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的“立體幾何”主要包含兩個(gè)部分，必修2中的“立體幾何初步”和選修2-1中的“空間向量與立體幾何”.如何在新課程理念下對立體幾何進(jìn)行有效的教學(xué)始終是眾多同行研究討論的熱點(diǎn)，筆者結(jié)合近幾年來新課程的教學(xué)實(shí)踐談?wù)劻Ⅲw幾何教學(xué)中應(yīng)注意的幾個(gè)問題和體會(huì).

1.對柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的認(rèn)知

按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，教學(xué)時(shí)首先通過實(shí)物模型或借助計(jì)算機(jī)，讓學(xué)生觀察大量的空間圖形，通過直觀感知，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，通過實(shí)踐與體驗(yàn)去發(fā)現(xiàn)、確認(rèn)這些幾何體的本質(zhì)特征，抽象概括出這些空間幾何體的概念.必修2的前半部分對這些概念比較抽象，在后半部分求空間幾何體的表面積和體積時(shí)才有對直棱柱、正棱柱、正棱錐的概念作出明確的表述，這與傳統(tǒng)的立體幾何內(nèi)容相比發(fā)生了很大的變化，因此筆者認(rèn)為應(yīng)讓學(xué)生觀察后，再利用已有的經(jīng)驗(yàn)去感知這些空間幾何體，通過充分的感受去發(fā)現(xiàn)它們的本質(zhì)，理解立幾知識(shí)的產(chǎn)生源于發(fā)展過程，從而獲得解決問題的情感體驗(yàn).

例如對臺(tái)體的結(jié)構(gòu)特征的把握上，先讓學(xué)生直觀感受臺(tái)體是由平行于底面的平面去截棱臺(tái)（或圓臺(tái)）所得的剩下的幾何體，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)棱臺(tái)的主要特征——有兩個(gè)面平行，且所有側(cè)棱延長后相交于一點(diǎn)，這樣使得學(xué)生對“形”的把握上更加準(zhǔn)確，也感知理解了立體圖形的結(jié)構(gòu)特征.

2.點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

新課程標(biāo)準(zhǔn)中，對于立體幾何的推理論證的要求是分階段、分層次地達(dá)到要求的，其中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系一直以來都是立體幾何的重要考查點(diǎn).由于初中義務(wù)教育階段對幾何的推理論證能力的要求有所降低，所以高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何初步”階段以論證較為簡單的位置關(guān)系為主，而線線與線面的位置關(guān)系尤為關(guān)注.

圖1 例1 （2009年江蘇卷，16） 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點(diǎn)，點(diǎn)D在B1C1上，A1D⊥B1C.求證：

（1）EF∥平面ABC；

（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C.

分析 本題主要考查直線與平面、平面與平面的

位置關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力.

第（1）問關(guān)鍵在于EF∥BC，第（2）問依據(jù)A1D⊥平面BB1C1C不難求證.縱觀近幾年的高考試題，我們可以發(fā)現(xiàn)考查的線線與線面的位置關(guān)系難度系數(shù)不大，因此在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握這些基本的推理論證要求.

圖2 例2 給出下列命題：（1）三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=60°，則∠BPC必小于60°；（2）過平面α的斜線l有且只有一個(gè)平面與α垂直；（3）四棱錐的四個(gè)側(cè)面中最多有三個(gè)直角三角形.其中，真命題的個(gè)數(shù)為 個(gè).

分析 命題（1）是假命題.可舉如下反例，如圖2，設(shè)PA=AB=1，AC=x， 有PB= 2 ，PC= 1+x2 ，BC= 1+x2-x .令cosθ = 1 2 ， 在三角形PBC中，由余弦定理可得2+1+x2-2· 2（1+x2） cosθ=1+x2-xx=2+ 6 .即當(dāng)x=2+ 6 時(shí)，θ= 60°，故原命題是假命題.

借助身邊的實(shí)物比畫操作可知命題（2）是真命題.

圖3

對于命題（3），可以把它放在一個(gè)特定的長方體中，如圖3，四棱錐P-ABCD，易證得其各個(gè)側(cè)面都為直角三角形，即原命題為假命題.

故本題中真命題的個(gè)數(shù)為1個(gè).

從上例可以看出當(dāng)難以想象出滿足題意的空間圖形，或者一個(gè)立體幾何問題用直接推理的方法不容易想時(shí)，不妨換個(gè)角度來思考，把它“嵌”入長方體或其他熟悉的幾何體中，化抽象為具體，做到有“體”可循，許多問題就可以迎刃而解.

3.向量法解決復(fù)雜的角和距離的運(yùn)算

向量的引入，開辟了許多立體幾何問題求解的新途徑，借助空間向量來處理異面直線所成的角、線面角、二面角和距離的問題簡單方便.向量法的特點(diǎn)是圖形簡單，思路清晰，降低了思維難度，將幾何問題代數(shù)化，解法也相對比較固定，學(xué)生操作起來容易接受.

4.開放式的立幾探究題型

根據(jù)新課程的教學(xué)理念，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)“倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式”，開放式的探究題型就是其中一個(gè)很好的教學(xué)方式，它有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造過程”.

圖4 例3 如圖4，PA⊥ABCD所在的平面，則當(dāng) 時(shí)，AC⊥BD；當(dāng)DC⊥ 時(shí)，PD⊥DC.

分析 從結(jié)論出發(fā)往前推測，假如AC⊥BD成立，

由PA⊥BD，可知BD⊥平面PAC，從而PC⊥BD；

假設(shè)PD⊥DC成立，又PA⊥CD，可知CD⊥平面PAD，從而得DC⊥AD.因此答案是BD，AD.

這類的問題教師在教學(xué)過程中應(yīng)適當(dāng)創(chuàng)設(shè)開放性問題情境，給予學(xué)生充分的思維空間和展示空間，讓學(xué)生主動(dòng)地參與探究，使學(xué)生通過觀察、操作、思考和交流，培養(yǎng)學(xué)生提出問題和解決問題的能力，讓學(xué)生強(qiáng)化應(yīng)用的意識(shí)，感受數(shù)學(xué)創(chuàng)造的樂趣，也更有利于學(xué)生對空間幾何體圖形結(jié)構(gòu)的把握，形成更全面的認(rèn)知.

總之，新教材中的立體幾何已有別于傳統(tǒng)的立體幾何，它突出了直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算這一逐步分層次的探索研究幾何的過程，也遵循了新知識(shí)螺旋式上升的發(fā)展規(guī)律，更有利于學(xué)生的整體發(fā)展.因此隨著新課標(biāo)的實(shí)施，教師關(guān)鍵要真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的精髓，在新課程理念下關(guān)注、研究以上幾類問題的教學(xué)，才能更好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生把握圖形的能力、空間想象能力和邏輯推理能力.