“化圓為方”之二——尺規(guī)作圖、規(guī)矩數(shù)和π

李先銅

雖然論文已經(jīng)從哲學的高度、數(shù)學的高度、幾何的高度，解決了化圓為方問題，但是還有一些人們懷疑的不清楚的問題，特別是尺規(guī)作圖問題，等等，需要做進一步地說明和論證.

一、在哲學上、幾何上，我已經(jīng)解決了化圓為方問題

1.在哲學上，哲學只是回答，化圓為方可不可能的問題.可能就是可能，不可能就是不可能.早在1831年，黑格爾在《哲學史講演錄》里說，化圓為方是不可能的，是個永垂不朽的問題，是偽命題.我現(xiàn)在化圓為方成功了.這說明，我在哲學上已經(jīng)推翻了哲學的化圓為方不可能的神話，使化圓為方這個偽命題，成了真命題.

2.在幾何上，我也取得了化圓為方的成功.幾何是數(shù)學的一個分支.幾何論證問題，首先在于審題.對于化圓為方這個幾何問題，正確的審題是：把圓和方劃分成相等的或者可以證明的幾何的形或者塊，然后證明各個幾何的形和塊相等，最后得出它們相等的結論.

至于把它們劃分成什么樣的幾何的形或者塊，是扇形還是弓形，是三角形還是尖角形，還是月牙形，是不能預先限制的，要根據(jù)具體的情形而定.筆者在證明化圓為方的時候，采用的幾何圖形是半圓形（半圓規(guī)），用這個半圓幾何圖形來解化圓為方這個幾何問題，是正確的幾何解題思路和方法.

而數(shù)學家懷疑我用的半圓規(guī)這個幾何工具，也就是懷疑半圓這個幾何圖形.這種懷疑是沒有幾何依據(jù)的.

二、關于尺規(guī)作圖問題

1.圓規(guī)的定義

圓規(guī)的定義是：畫圖時作圓的工具.

圓規(guī)不是天生的，而是人造的.造什么樣的圓規(guī)，是個哲學問題.

哲學，在兩千多年前，稱作形而上學.所謂形而上學，是指形而上的東西，是超乎形的東西.那么，對于圓規(guī)的定義來說，就不能有形狀的限制.如果要受形的限制，那就應該受到圓的天性的限制.而圓的天性就是圓形，而不是兩只腳的怪物.

我解化圓為方的時候，用了半圓規(guī)這個幾何工具，這既是符合哲學的，又是符合幾何學的，還符合圓規(guī)的定義的.而且，這個半圓形規(guī)，還具有圓的天性.

2.尺規(guī)作圖的問題

古希臘人認為數(shù)學的精髓在于：基本假設越少越好，推出的命題越多越好.對于作圖工具，當然是越少越好.根據(jù)《幾何原本》第三條公設：以任意中心和直徑可以作圓.數(shù)學家就得出了作圖工具只能是直尺和圓規(guī)的推論.他們認為，直尺和圓規(guī)是最少的兩樣作圖工具.

事實上，在這里，數(shù)學家犯有兩個錯誤.一是，直尺和圓規(guī)是最少的兩樣工具.殊不知，我今天所用的工具，只是一件工具——半圓規(guī)（我稱作尺規(guī)）而已.我的這個一件工具——尺規(guī)（半圓規(guī)），比他們的兩件工具——直尺和圓規(guī)還要少.所以，我這一件工具，才是最少的工具，才真正符合最少工具這個哲學定義.而我這一件工具，還解決了化圓為方的問題.他們的兩件工具還沒有解決化圓為方問題.所以，這不能不說，他們犯了個錯誤.

第二個錯誤是什么呢？根據(jù)《幾何原本》第三條公設：以任意中心和直徑可以作圓.數(shù)學家就推出作圖工具只能用直尺和圓規(guī).我認為，這個推論也是錯誤的.

這個推論的錯誤在于：因為我不需要圓規(guī)，同樣可以作圓.只需要將直徑的中心定為圓心，將直徑對折得到中心和半徑，將中心固定，讓半徑旋轉(zhuǎn)即可作圓.根據(jù)工具越少越好的原理，就不必要再用圓規(guī)了.或者說，用直尺，就可以作圓.具體作法是，將直尺的一端固定為圓心，將其另一端旋轉(zhuǎn)，即可作圓.因為工具越少越好，所以，圓規(guī)就多余了.

居然圓規(guī)是靠旋轉(zhuǎn)作圓的，那么，我當然可以讓直尺旋轉(zhuǎn)作圓啊.

那么，根據(jù)第三條公設，我得出圓規(guī)多余的結論.對不對呢？這是第三公設錯了，還是我的推論錯了呢？

其實，這第三條公設沒有錯，我的推論也沒有錯.而是數(shù)學家的推論：只能用直尺和圓規(guī)作圖，錯了.

那他們是怎么錯的呢？

根據(jù)第三公設，以任意中心和直徑可以作圓，可以推出，直尺和圓規(guī)可以作圖的結論.但這不是作圖的唯一方法.數(shù)學家的錯誤，是把這個可行的方法，當作了唯一的方法.把這兩樣可行的工具，當作只能采用的工具.所以，是數(shù)學家錯了.這是邏輯上的錯誤.

三、關于規(guī)矩數(shù)問題

1.規(guī)矩數(shù)里，數(shù)學家犯了一個錯誤

規(guī)矩數(shù)的規(guī)指圓規(guī)，圓規(guī)作出的圖是圓弧或者圓周.在數(shù)學王國里，圓規(guī)就是用圓弧和圓周來存儲數(shù)據(jù)的.規(guī)矩數(shù)中的矩指直尺，直尺作出的圖，是直線.在數(shù)學王國里，直尺就是用直線來儲存數(shù)據(jù)的.

為了表達更準確，我把規(guī)矩數(shù)中圓規(guī)代表的數(shù)，稱作規(guī)數(shù)，把直尺代表的數(shù)稱作矩數(shù).這樣，因為圓規(guī)只能作圓周，所以規(guī)數(shù)就只能表示在圓周上.因為直尺只能作直線，所以矩數(shù)就只能表示在直線上.規(guī)數(shù)和矩數(shù)以及它們合作產(chǎn)生的新數(shù)據(jù)，統(tǒng)稱規(guī)矩數(shù).

值得注意的是，圓規(guī)是不能作出（畫出）半徑或者直徑的，半徑和直徑只能由直尺畫出的.所以，半徑和直徑只能是直尺的數(shù)，是矩數(shù).數(shù)學家在這里犯了個錯誤，他們認為，圓規(guī)是用半徑或者直徑來儲存數(shù)據(jù)的.或者說，數(shù)學家想當然的，并不是理論證明了的，把半徑和直徑當作了圓規(guī)儲存數(shù)據(jù)的地方.這是數(shù)學家的錯誤，并不是規(guī)矩數(shù)的錯誤.

2.關于弧度的秘密

其實，圓周的旋轉(zhuǎn)或者滾動，早在17世紀就產(chǎn)生了，這是數(shù)學史上的一個秘密.因為弧度點，也就是等于半徑長度的那段圓弧在圓周上的那個點，早在17世紀隨著弧度制的產(chǎn)生就產(chǎn)生了.這個點是怎么產(chǎn)生的呢？就是圓的旋轉(zhuǎn)或者滾動產(chǎn)生的.這個秘密人們一直不敢捅破.究竟是什么原因呢？原因就是數(shù)學家把圓規(guī)限定為兩腳規(guī)造成的錯誤.

3.關于π的問題

數(shù)學家說，π不是規(guī)矩數(shù).他們說π是超越數(shù).這又是數(shù)學家的一個錯誤.

眾所周知，π之所以產(chǎn)生，是因為圓周.圓周的產(chǎn)生，是因為圓規(guī).沒有圓規(guī)，就沒有圓周，就沒有π.圓規(guī)畫一個圓周，π就產(chǎn)生了.所以，π是圓規(guī)畫出的數(shù)，理所當然，π是規(guī)矩數(shù).

總之，數(shù)學如果接受了半圓規(guī)，規(guī)矩數(shù)也就正確了，π也就是規(guī)矩數(shù)了.有了新圓規(guī)的參與，數(shù)學新的視野就打開了.那是一個嶄新的世界，那是一個廣闊的天地！

我就是接受了半圓規(guī)，正確認識了規(guī)矩數(shù)，一舉解決了化圓為方這個千古難題的.