高考函數(shù)問(wèn)題中的新熱點(diǎn)討論

劉運(yùn)金

摘要：縱觀(guān)近幾年的高考試卷，函數(shù)問(wèn)題的命題方式正悄然發(fā)生變化，它與數(shù)學(xué)中其他分支或者其他學(xué)科進(jìn)行交叉命題已成為一大熱點(diǎn)，并且經(jīng)常以綜合性題目的形式出現(xiàn)，這就要求學(xué)生不僅要具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)還應(yīng)具備橫向思維的能力。面對(duì)這一形勢(shì)，本文從函數(shù)與函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)、概率、物理問(wèn)題等多個(gè)方面對(duì)高考函數(shù)的命題方式進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：高考；函數(shù)；新熱點(diǎn)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711(2014)07-0157

一、引言

函數(shù)，作為高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，起著連結(jié)和支撐數(shù)學(xué)知識(shí)的重要作用，一直是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，通常與方程、數(shù)列或者不等式等內(nèi)容滲透或交叉出現(xiàn)。近幾年來(lái)，隨著新課程改革的提出，高考函數(shù)隨之也在理論和實(shí)踐上發(fā)生了深刻的變化。例如，在向量引入教材后，函數(shù)問(wèn)題便增添了生機(jī)與活力，在很大程度上拓展了函數(shù)問(wèn)題的命題空間。在改革的新浪潮下，本文結(jié)合高考試題，在以下幾個(gè)方面深入探討函數(shù)命題的新熱點(diǎn)方向：

二、高考函數(shù)問(wèn)題中的新熱點(diǎn)

1. 與函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)的交叉

極限作為一種運(yùn)算，從歷年高考考查來(lái)看，基本要求比較低，隨著考查力度的增大，它逐步融入到了各知識(shí)點(diǎn)當(dāng)中，這使得函數(shù)與函數(shù)極限的創(chuàng)新交叉受到高考數(shù)學(xué)命題者的青睞。

例1. (2006年重慶高考題)：已知函數(shù)f(x)=(x2+bx+c)ex，其中b，c∈R為常數(shù)。若b2≤4(c-1)，且lim=4，試證：-6≤b≤2。

證明：由f(x)=(x2+bx+c)ex，得f '(x)=(2x2+b)ex+(x2+bx+c)ex，

所以f(0)=c， f ′(0)=b+c。

于是lim=lim= f ′(0)，即b+c=4。

又因?yàn)閎2≤4(c-1)，故b2+4b-12≤0。

所以-6≤b≤2。

點(diǎn)評(píng)：本題集超越函數(shù)、函數(shù)極限于一體，靈活地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定義求極限值是此類(lèi)題型的關(guān)鍵。

2. 與導(dǎo)數(shù)的交叉

以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，以考查函數(shù)諸多性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)極值理論、單調(diào)性質(zhì)、幾何意義及其應(yīng)用為目標(biāo)，是高考導(dǎo)數(shù)與函數(shù)交匯試題的顯著特點(diǎn)和命題趨勢(shì)。高考常以函數(shù)單調(diào)性區(qū)間、單調(diào)性證明等問(wèn)題為載體，考查導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性質(zhì)和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用。

例2. (2007年安徽高考題)：設(shè)a≥0f(x)=x-1-ln2x+2alnx(x>0)。F(x)=xf ′(x)，討論F(x)在(0，+∞)內(nèi)的單調(diào)性并求極值。

解：根據(jù)求導(dǎo)法則得f(x)=1-+，x>0。故

F(x)=x·f ′(x)=x-2lnx+2a，x>0.

于是F ′(x)=F ′(x)=1-+x>0，

列表如下：

故知F(x)在(0，2)內(nèi)是減函數(shù)，在(2,+∞)內(nèi)是增函數(shù)，所以，在x=2處取得極小值，極小值F(2)=2-2ln2+2a。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的交叉試題，只要我們把握住導(dǎo)數(shù)在其概念、單調(diào)性、極值和幾何意義等方面的應(yīng)用，掌握近年來(lái)此類(lèi)試題的考點(diǎn)、常見(jiàn)題型及其求解策略，從而適應(yīng)高考的要求。

3. 與概率統(tǒng)計(jì)交叉

概率與統(tǒng)計(jì)試題是高考的必考內(nèi)容，它是以實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題為載體，以排列組合和概率統(tǒng)計(jì)等知識(shí)為工具，以考查對(duì)五個(gè)概率事件的判斷識(shí)別及其概率的計(jì)算和隨機(jī)變量概率分布性質(zhì)及其應(yīng)用為目標(biāo)。但概率統(tǒng)計(jì)試題的考查與函數(shù)創(chuàng)新交叉，也成為高考熱點(diǎn)。

例3. (2005年湖南高考題)：某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這3個(gè)景點(diǎn)的概率分別為0.4，0.5，0.6，且客人游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響。設(shè)ξ表示客人離開(kāi)該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值。

(1)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)記“函數(shù)f(x)=x2-3ξx+1在區(qū)間[2，+∞)上遞增”為事件A，求A事件的概率。

解：(1)設(shè)A1，A2，A3分別表示客人游覽甲、乙、丙旅游景點(diǎn)3件事件，則A1，A2，A3相互獨(dú)立，且P(A1)=0.4，P(A2)=0.5，P(A3)=0.6。

因?yàn)榭腿擞斡[的景點(diǎn)數(shù)可能為0，1，2，3，相應(yīng)地，客人沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)可能為3，2，1，0，所以ξ的取值為1，3。

P(ξ=3)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=P(1-A1)P(1-A2)P(1-A3)+P(1-A1)P(1-A2)P(1-A3)=2×0.4×0.5×0.6=0.24。

則P(ξ=1)=1-0.24=0.76，于是ξ的分布列為：

數(shù)學(xué)期望Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48。

(2)當(dāng)ξ=1時(shí)，函數(shù)f(x)=x2-3x+1在區(qū)間[2，+∞)上遞增，當(dāng)ξ=3時(shí)，f(x)=x2-9x+1在區(qū)間[2，+∞)上不遞增，因此P(A)=P(ξ=1)=0.76。

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)的交匯在高考中還是初見(jiàn)端倪,雖然難度不大，但具有內(nèi)容新、背景新、結(jié)構(gòu)新的特點(diǎn)，預(yù)計(jì)在今后的高考中將會(huì)設(shè)計(jì)得更加靈活、更能體現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。

4. 與物理問(wèn)題交叉

函數(shù)的知識(shí)是其他學(xué)科(如物理學(xué))的必備基礎(chǔ)，也是研究和解決各種問(wèn)題的基礎(chǔ)。函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含著極其豐富的辨證思想，是對(duì)學(xué)生進(jìn)行辨證唯物主義教育的良好素材。函數(shù)的思想方法已經(jīng)廣泛地滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的整個(gè)過(guò)程和其他學(xué)科當(dāng)中了。

例4. (2007年南昌市高考模擬題)：若已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)=-at ，要使t ∈[0,+∞)上的每一時(shí)刻的瞬時(shí)速度的絕對(duì)值都不大于1，求a實(shí)數(shù)的取值范圍。

解：s(t)=-a。

因?yàn)閟′(x)≤1，所以

-a≤1，

則有

-a≤1

-a≤-1a≥

-1

a≤

+1 ，

當(dāng)t∈[0,+∞)時(shí)，(+1)min=1，所以a≤1。當(dāng)t→+∞時(shí)，，且連續(xù)遞增，所有值都小于1，所以a≥0。

故使在t∈[0,+∞)上恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是0≤a≤1。

點(diǎn)評(píng)：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)函數(shù)s(t)的導(dǎo)數(shù)s'(t)的物理意義就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度。利用導(dǎo)數(shù)的物理意義列出不等式，根據(jù)不等式在t∈[0,+∞)上恒成立，求出a的取值范圍。

三、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，近些年高考試題命題方式呈現(xiàn)出考查基礎(chǔ)知識(shí)和能力相結(jié)合的特點(diǎn)，體現(xiàn)并滲透出新教材的教育理念，結(jié)合了新課程中的新思想和新方法，而且以基礎(chǔ)知識(shí)和綜合能力兩者為重點(diǎn)，在眾多知識(shí)點(diǎn)中尋求交叉點(diǎn)，并以此為考點(diǎn)命題，可以提高學(xué)生的思維能力、預(yù)算能力以及應(yīng)用能力等。

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