中考數(shù)學(xué)“課題學(xué)習(xí)”類試題的分析與思考

鄭宇敏

摘要：“課題學(xué)習(xí)”作為《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的一個(gè)新生事物，越來(lái)越受到各地命題專家的青睞。在本文中，筆者借鑒中考試題中的三個(gè)案例，從不同側(cè)面進(jìn)行分析與探究，旨在拋磚引玉，引領(lǐng)讀者在今后的課堂教學(xué)中對(duì)“課題學(xué)習(xí)”有一個(gè)準(zhǔn)確的定位，以便全面落實(shí)新課程所倡導(dǎo)的教學(xué)目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：圖形折疊；數(shù)學(xué)模型；面積分割

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711(2014)07-0086

新課標(biāo)在“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計(jì)與概率”這些知識(shí)性領(lǐng)域之外，設(shè)置了“實(shí)踐與綜合運(yùn)用”的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，并在第三學(xué)段以“課題學(xué)習(xí)”為主題加以呈現(xiàn)?！罢n題學(xué)習(xí)”的基本目標(biāo)是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的完整過(guò)程：體驗(yàn)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系并形成對(duì)數(shù)學(xué)整體性的認(rèn)識(shí)；獲得一些研究問(wèn)題的方法和經(jīng)驗(yàn)，并發(fā)展思維能力；通過(guò)克服困難和獲得成功的體驗(yàn)增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的自信心。因此“課題學(xué)習(xí)”被認(rèn)為是新課程改革最富有特色的新增內(nèi)容，不少中考命題將“課題”引入到中考舞臺(tái)，其中最引人注目的地方是將課題研究放置到壓軸題的高度。

仔細(xì)翻閱近幾年中考數(shù)學(xué)命題中的“課題學(xué)習(xí)”型試題，都是以壓軸題的內(nèi)容或形式呈現(xiàn)出課題研究的影子，這絕對(duì)是中考命題的新動(dòng)向，應(yīng)引起廣大師生的高度重視，本文試將各地中考數(shù)學(xué)命題中所涉及的課題素材壓軸題加以分析，以及如何在平時(shí)教學(xué)中搞好課題學(xué)習(xí)談一些認(rèn)識(shí)，希望起到拋磚引玉的效果。

一、百花齊放的“課題學(xué)習(xí)”型試題

案例1(2009年山西·太原卷)

問(wèn)題解決：

如圖1，將正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在邊CD上一點(diǎn)E(不與點(diǎn)C、D重合)處，壓平后得到折痕MN。

當(dāng)=時(shí)，求的值。

方法指導(dǎo)：

為了求得的值，可先求BN、AM的長(zhǎng)，不妨設(shè)：AB=2。

類比歸納

在圖1中，若=，則的值為；若=，則的值為；若=(n為整數(shù))，則的值為(用含n的式子表示)。

聯(lián)系拓廣：

如圖2，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在邊CD上一點(diǎn)E(不與點(diǎn)C、D重合)，壓平后得到折痕MN，設(shè)=(m>1)，=，則的值為(用含m、n的式子表示)。

評(píng)注：該題創(chuàng)設(shè)了一個(gè)以正方形紙片的折疊為背景的問(wèn)題，為學(xué)生提供了一個(gè)動(dòng)手操作實(shí)踐的數(shù)學(xué)環(huán)境，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的思維方法。以此為導(dǎo)航，讓學(xué)生猜想問(wèn)題結(jié)論的規(guī)律，該課題的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般進(jìn)行不完全歸納的數(shù)學(xué)思想，更加注重知識(shí)形成過(guò)程的引領(lǐng)，符合新課程落實(shí)“過(guò)程性目標(biāo)”的指導(dǎo)思想，即要求學(xué)生能夠理解并掌握在正方形中解決問(wèn)題的思考方法，然后概括出解決問(wèn)題的思維模式，去類比發(fā)現(xiàn)相似問(wèn)題的解決方案。試題滲透了圖形的軸對(duì)軸變換思想，以及通過(guò)構(gòu)造方程用代數(shù)法處理幾何問(wèn)題的數(shù)形結(jié)合思想，考查了正方形、矩形、平行四邊形的性質(zhì)及判定、三角形全等的性質(zhì)及判定、直角三角形的勾股定理及軸對(duì)稱的性質(zhì)。

案例2(2010年福建莆田卷)

某課題組在探究“泵站問(wèn)題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：

直線I同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在直線I上存在點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小。解法：作點(diǎn)A關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與直線I的交點(diǎn)即為P，且PA+PB的最小值為A′B。

請(qǐng)利用上述模型解決下列問(wèn)題：

(1)幾何運(yùn)用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)為2，E是斜邊AB的中點(diǎn)，P是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值為 。

(2)幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N使BM+MN的值最小，求這個(gè)最小值。

(3)代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式+(0≤x≤4)的最小值。

評(píng)注：本題是一道以實(shí)際問(wèn)題建模的應(yīng)用題，試題一開(kāi)始就給出一個(gè)在課本出現(xiàn)的實(shí)際問(wèn)題，但命題者引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用解決思想問(wèn)題的常見(jiàn)方法——建立數(shù)學(xué)模型(模型拓展)、從特殊到一般地分析問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想、歸納類比、概括、模擬等方法解決問(wèn)題，幫助學(xué)生完成模仿到創(chuàng)造的思維過(guò)程，符合中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

通過(guò)做此題，讓學(xué)生明白面對(duì)一個(gè)全新的問(wèn)題，應(yīng)如何利用已有的知識(shí)去解決；面對(duì)一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，應(yīng)如何將其轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題去處理；面對(duì)一個(gè)抽象的問(wèn)題，應(yīng)如何將其轉(zhuǎn)化為形象具體的問(wèn)題去解答，即將陌生問(wèn)題熟悉化、隱形問(wèn)題明朗化、抽象問(wèn)題具體化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，這就是命題者的初衷。

案例3(2010年陜西卷)

問(wèn)題探究：

(1)試在圖1中作一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分。

(2)如圖2，點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，試在圖2中過(guò)點(diǎn)M作一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分。

(3)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OBCD是某市將要籌建的高新技術(shù)開(kāi)發(fā)用地示意圖，其中DC//OB，OB=6，BC=4，CD=4，開(kāi)發(fā)區(qū)綜合服務(wù)管理委員會(huì)(其占地面積不計(jì))設(shè)在點(diǎn)P(4，2)處。為了方便駐區(qū)單位，準(zhǔn)備過(guò)點(diǎn)P修一條筆直的道路(路的寬度不計(jì))，并且使這條路所在的直線l將直角梯形OBCD分成面積相等的兩部分。你認(rèn)為直線l是否存在？若存在，求出直線的表達(dá)式；若不存在，試說(shuō)明理由。

評(píng)注：該命題的“問(wèn)題探究”讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖操作探究發(fā)現(xiàn)，等分矩形面積的直線必須過(guò)矩形的對(duì)稱中心，而且矩形的每一條對(duì)角線所在的直線都是平分矩形面積的直線，而且這兩條直線都通過(guò)交點(diǎn)，這點(diǎn)正好是矩形的對(duì)稱中心，由此拓展到過(guò)矩形對(duì)稱中心的任意一條直線都可以把矩形分成面積相等的兩部分。對(duì)于“問(wèn)題解決”中的梯形，可以通過(guò)作高將其轉(zhuǎn)化為矩形和三角形。

(如圖4，過(guò)點(diǎn)D作D′A⊥OB，垂足為點(diǎn)A)，而直線l所通過(guò)的點(diǎn)P(4，2)正好是矩形ABCD的對(duì)稱中心，因此，直線l只要平分△AOD的面積即可。這樣可以利用一次函數(shù)的知識(shí)，用待定系數(shù)法確定直線l的k值。整個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)循序漸進(jìn)，以畫(huà)圖操作為基礎(chǔ)，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平分中心對(duì)稱圖形面積的直線應(yīng)滿足的必要條件，然后讓學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題的探究中進(jìn)行拓廣應(yīng)用，符合辯證唯物主義“實(shí)踐——認(rèn)識(shí)——再實(shí)踐——再認(rèn)識(shí)”事物的規(guī)律，其中滲透了類比化歸、數(shù)形結(jié)合、方程函數(shù)思想。

二、感情與啟示

研究意識(shí)與能力已成為人的一項(xiàng)基本素質(zhì)，也是衡量人才水平的一個(gè)重要指標(biāo)，故肩負(fù)著考查學(xué)生此項(xiàng)能力重任之一的“課題式”壓軸題越來(lái)越顯示出其重要作用，已成為中考數(shù)學(xué)壓軸題中的一朵奇葩，必將是命題者進(jìn)行探究的新課題。近幾年中考數(shù)學(xué)試卷中的“課題學(xué)習(xí)”型題所考查的側(cè)重點(diǎn)是不同的。從數(shù)學(xué)能力角度看，考查過(guò)探究性質(zhì)、數(shù)學(xué)建模、化歸和推理、論證與能力。從數(shù)學(xué)思想方法的角度看，考查過(guò)數(shù)形結(jié)合、類比、歸納概括、數(shù)學(xué)模型和轉(zhuǎn)化(化歸)等數(shù)學(xué)思想方法。從試題的結(jié)構(gòu)看，百花齊放，不拘一格，活潑新穎。但也有美中不足之處：有些題難度過(guò)大，越過(guò)絕大多數(shù)學(xué)生的實(shí)際水平，通過(guò)率太低，考試的可區(qū)分性受到影響。

在我們當(dāng)前的教學(xué)中，有部分教師只是照本宣科地多講知識(shí)結(jié)論，對(duì)人們發(fā)現(xiàn)知識(shí)和形成知識(shí)的過(guò)程，以及獲得知識(shí)和解決問(wèn)題的方法卻很少涉及。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)教師給予學(xué)生的不僅僅是知識(shí)本身，更重要的是要教給學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)和創(chuàng)造知識(shí)的過(guò)程，幫助學(xué)生掌握學(xué)習(xí)方法，特別是終身學(xué)習(xí)的方法和解決問(wèn)題的策略，作為教師要把培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)獲得知識(shí)、創(chuàng)造性獲得知識(shí)作為職業(yè)目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

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[3] 潘小梅.以賽促研，提升教師專業(yè)素養(yǎng)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2010(11).