指數(shù)因素分析法的初步探究

姚金江 顏廷法

摘 要：首先以傳統(tǒng)指數(shù)因素分析法存在的不合理的地方引起質(zhì)疑，然后對(duì)改良此處的共變影響因素分析理論進(jìn)行了論證與評(píng)價(jià)，最后提出了函數(shù)分配法，并將其運(yùn)用到實(shí)際生活中與傳統(tǒng)的分析方法相比較。函數(shù)分配法的理論基礎(chǔ)與計(jì)算過(guò)程相對(duì)來(lái)說(shuō)比較合理、簡(jiǎn)潔，并且在實(shí)際生活的應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)它的計(jì)算結(jié)果符合實(shí)際情況，在一定程度上解決了傳統(tǒng)方法的缺陷。

關(guān)鍵詞：因素分析法；共變影響因素；函數(shù)分配法

因素分析法，是利用統(tǒng)計(jì)指數(shù)體系分析現(xiàn)象總變動(dòng)中各個(gè)因素影響程度的統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域的一種分析方法，又被稱為指數(shù)因素分析法，它包括連環(huán)替代法、定基替代法、差額分析法、指標(biāo)分解法。指數(shù)因素分析法是現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)中一種非常重要且實(shí)用的方法，它是多元統(tǒng)計(jì)分析的一個(gè)重要分支。使用這種方法能夠幫助研究者將幾組數(shù)據(jù)幾個(gè)變量間在時(shí)間的緯度上進(jìn)行分析，分析的結(jié)果能夠?qū)⑹挛锏男再|(zhì)、狀態(tài)以及特點(diǎn)用少數(shù)能表示事物內(nèi)在聯(lián)系的、固有的、決定事物本質(zhì)特征的因素。在保持原有信息量的前提下，使用指數(shù)因素分析法可以使復(fù)雜的數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單化。

一、指數(shù)的編制

指數(shù)理論中的一個(gè)核心問(wèn)題是如何編制統(tǒng)計(jì)總指數(shù)，它也是能否正確反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總變動(dòng)的一個(gè)基本前提。總指數(shù)種類很多，但個(gè)性中體現(xiàn)著共性。以下是幾個(gè)共同的需要注意的問(wèn)題。

（1）合理選擇同度量因素。如上所述，總指數(shù)是用來(lái)反映不能直接對(duì)比，不能直接相加的多種現(xiàn)象總動(dòng)態(tài)。要將不能直接對(duì)比、不能直接相加的多種現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為一種可以對(duì)比、可以相加的現(xiàn)象，這種轉(zhuǎn)化需要借助于同度量因素來(lái)進(jìn)行。

（2）質(zhì)量指標(biāo)總指數(shù)的編制。指數(shù)的概念是從商品的價(jià)格的變動(dòng)中產(chǎn)生的。下面用商品價(jià)格總指數(shù)為例闡述質(zhì)量指標(biāo)總指數(shù)的編制。

以下為編制商品價(jià)格總指數(shù)加權(quán)綜合法：

[方法一]以某一固定期銷售量為同度量因素：Ip=■。（n代表某固定期）

[方法二]以報(bào)告期銷售量為同度量因素：Ip=■。（Pacsche式）

[方法三]以基期銷售量為同度量因素：Ip=■。（Laspeyres式）

若在采用加權(quán)綜合法計(jì)算總指數(shù)的條件不完全具備時(shí)，需要采用加權(quán)平均法。

（3）質(zhì)量指標(biāo)總指數(shù)的編制。

以下是數(shù)量指標(biāo)總指數(shù)加權(quán)綜合法：

[方法一]以某一固定期價(jià)格為同度量因素：Iq=■。（n代表某固定期）

[方法二]以報(bào)告期價(jià)格為同度量因素：Iq=■。（Pacsche式）

[方法三]以基期價(jià)格為同度量因素：Iq=■。 （Laspeyres式）

若掌握的數(shù)據(jù)資料不適合于采用加權(quán)綜合法計(jì)算數(shù)量指標(biāo)總數(shù)時(shí)，則需采用加權(quán)平均法。

二、指數(shù)體系及因素分析

（1）指數(shù)的體系和因素分析的關(guān)系。一些社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的數(shù)值變動(dòng)的解釋，常取決于兩個(gè)或多個(gè)因素的共同作用。由于各種因素變動(dòng)的原因不同，就使得各種因素向不同的方向、程度變動(dòng)著，從而對(duì)復(fù)雜的社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的變動(dòng)產(chǎn)生不同的影響。在這種情況下，可編制相互聯(lián)系的若干指數(shù)，組成指數(shù)體系。應(yīng)用統(tǒng)計(jì)指數(shù)分析現(xiàn)象的總變動(dòng)時(shí)，是從社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)的?？梢?jiàn)，指數(shù)體系是由總變動(dòng)指數(shù)和因素變動(dòng)指數(shù)兩類指數(shù)組成的。

指數(shù)體系與因素分析之間存在著密切的關(guān)系，即前者是后者的依據(jù)。

（2）總量指標(biāo)指數(shù)的兩因素分析。因素分析的內(nèi)容主要包括兩個(gè)方面：分別是從相對(duì)數(shù)和絕對(duì)數(shù)方面來(lái)看的，因此，指數(shù)體系可表示為相對(duì)數(shù)形式：■=■×■。絕對(duì)數(shù)分析：？撞p■q■-？撞p■q■=（？撞p■q■-？撞p0q■）+？撞p■q1-？撞p■q■。

三、指數(shù)因素分析法的探索及其應(yīng)用

（1）函數(shù)分配法。定義：已知實(shí)數(shù)域上的連續(xù)函數(shù)y=f（m1，m2，…mn），e=min（e1，e2，…en）。根據(jù)函數(shù)f的構(gòu)造，要度量mi在y中所起作用的大小，故將y分解為： y=■yi=■kif（m1，m2，…mn），k1+k2+…+kn=1。

定義：yi=kif（m1，m2，…mn）為自變量m1在函數(shù)y中所起的作用，并稱之為y對(duì)m1的函數(shù)分配。已知y=f（m1，m2，…mn），求ki。

假設(shè)1（函數(shù)分配在加法上的累積性假設(shè)） ：已知函數(shù)y=m1+m2+…+mn，y對(duì)m1，m2，…mn的函數(shù)分配分別為y1，y2，…yn。那么yi=■y，即ki=■。特別地，當(dāng)m1=m2=…=mn時(shí)，有y1=y2=…=yn=■y。

假設(shè)2（函數(shù)分配在乘法上的均勻性假設(shè)）： 已知函數(shù)y=m1，m2，…mn，y對(duì)m1，m2，…mn的函數(shù)分配分別為y1，y2，…yn，則當(dāng)m1=m2=…=mn時(shí)，有y1=y2=…=yn=■y。

結(jié)論：函數(shù)y=m1，m2，…mn，y=m1，m2，…mn？綴Q。y對(duì)m1，m2，…mn的函數(shù)分配分別為y1=y2=…=yn，則y1=y2=…=yn=■y。

證：由于對(duì)于任意的有理數(shù)mi，總存在一個(gè)足夠小的正數(shù)？著i，使得■=ki（ki？綴z），因此我們?nèi)?？?min（？著1，？著2，…？著n），則mi對(duì)？著的商都為整數(shù)，記■=li（li？綴Z）即mi=？著eli，將其帶入y=m1+m2+…+mn得y=l1l2…ln？著n。

可見(jiàn)函數(shù)y可以被分解為l1l2…ln個(gè)n維空間的小球？著n，記其中任意一個(gè)小球?yàn)閝=z1，z2，…zn （z1=z2=…=zn=？著），根據(jù)假設(shè)2，當(dāng)z1=z2=…=zn =？著時(shí)，q對(duì)任意一個(gè)自變量zi的函數(shù)分配都為qi=■=■，由于y=l1l2…lnq，其中l(wèi)1l2…ln為常數(shù)，因此y對(duì)mi的函數(shù)分配就是l1l2…ln倍的q對(duì)zi的函數(shù)分配，yi=l1l2…lnq=l1l2…ln■=■。

證明完畢。

（2）函數(shù)分配法在指數(shù)因素分析中的應(yīng)用。例1：表1是我國(guó)2010年和2011年我國(guó)出口主要貨物數(shù)量和金額的有關(guān)數(shù)據(jù)，根據(jù)以下數(shù)據(jù)建構(gòu)指數(shù)體系，利用函數(shù)分配法分別分析價(jià)格和銷售量的變動(dòng)對(duì)銷售額的影響。

解：由以上得到的公式：fx=■？駐y？駐x+y？駐x，fy=■？駐x？駐y+x？駐y，運(yùn)

用到模型？撞■=？撞■+？撞■中，可得fp=■？駐q？駐p+q0？駐p，fq=■？駐p？駐q+p0？駐q。

由以上數(shù)據(jù)（表2略）表明，函數(shù)分配法有明顯的優(yōu)勢(shì)，因?yàn)樵谠擃}目中派氏指數(shù)[2][3][7]的模型得出的結(jié)果在絕對(duì)量上夸大了價(jià)格因素，縮減了數(shù)量因素；而拉氏指數(shù)的模型得出的結(jié)果在絕對(duì)量上夸大了數(shù)量因素，縮減了價(jià)格因素；函數(shù)分配法中，其物價(jià)和銷售量產(chǎn)生影響的絕對(duì)數(shù)分別為205564403.5和-40438840.5，相對(duì)數(shù)分別為25.5%和-5.0%。我們可以看到，通過(guò)函數(shù)分配法的計(jì)算得到的結(jié)果正好介于這兩者之間。并且在計(jì)算的環(huán)節(jié)非常簡(jiǎn)便快捷，精確度高，減少了誤差，符合指數(shù)分析的發(fā)展趨勢(shì)。

四、總結(jié)及討論

統(tǒng)計(jì)指數(shù)因素分析方法最早的理論基礎(chǔ)是由拉氏物價(jià)指數(shù)和派氏物量指數(shù)所構(gòu)成的指數(shù)體系，它在各種社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變動(dòng)因素分析中發(fā)揮了極其重要的作用。雖然該理論存在一定的缺陷，但是在眾多優(yōu)秀國(guó)內(nèi)外專家、學(xué)者的研究探索下，該理論得到一定程度的完善。目前，出現(xiàn)了很多有影響的改進(jìn)理論，如理想指數(shù)理論、函數(shù)指數(shù)理論、共變影響因素理論和共變影響分配理論等。這些理論和設(shè)想在一定程度上克服了傳統(tǒng)因素分析理論的缺陷，但只是片面地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了轉(zhuǎn)嫁，使數(shù)學(xué)理論與社會(huì)生活實(shí)際分析相脫離，造成公式的無(wú)意義化，都沒(méi)能從根本上解決這個(gè)問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙建明.關(guān)于統(tǒng)計(jì)指數(shù)編制方法的因素分析法[J].鷺江職業(yè)大

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[2]帕爾科夫斯.指數(shù)理論與經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)[M].北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，

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[3]朱建平，孫小素.應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009.

（1. 山東郯城小埠嶺初級(jí)中學(xué)，2.山東臨沂大學(xué)理學(xué)院）

（項(xiàng)目資助：山東省自然基金，ZR2011FL017，大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目：201310452011）