解排列組合應(yīng)用題的13種策略

田曉東

摘要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，排列組合問題既是一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。它聯(lián)系實(shí)際、生動(dòng)有趣，但題型多樣、思路靈活、不易掌握。對(duì)此，本文提出了解排列組合應(yīng)用題的13種策略，供學(xué)生參考。

關(guān)鍵詞：排列組合；解題策略；例題

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）09-0151

排列組合問題是高考的必考題，它聯(lián)系實(shí)際、生動(dòng)有趣，但題型多樣、思路靈活、不易掌握。實(shí)踐證明，掌握題型和解題方法、識(shí)別模式、熟練應(yīng)用是解決排列組合應(yīng)用題的有效途徑。

一、相鄰問題捆綁法

將題目A，B，C，D，E中規(guī)定的相鄰的幾個(gè)元素捆綁成一個(gè)組，當(dāng)作一個(gè)大元素參與排列。

例1. 五人并排站成一排，如果A，B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有（ ）

A. 60種 B. 48種 C. 36種 D. 24種

解析：將A，B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，有A4種，答案：D。

二、相離問題插空排

元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端。

例2. 七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（ ）

A. 1440種 B. 3600種 C. 4820種 D. 4800種

解析：除甲乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為A5種，再用甲乙去插6個(gè)空位有A2種，不同的排法種數(shù)是A5A2=3600種，選B。

三、定序問題縮倍法

在排列問題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法。

例3. A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（A、B可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是（ ）

A. 24種 B. 60種 C. 90種 D. 120種

解析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個(gè)元素全排列數(shù)的一半，即■A5=60種，選B。

四、標(biāo)號(hào)排位問題分步法

把元素排到指定位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成。

例4. 將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有（ ）

A. 6種 B. 9種 C. 11種 D. 23種

解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法，選B。

五、有序分配問題逐分法

有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法。

例5. 1. 有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（ ）

A. 1260種 B. 2025種 C. 2520種 D. 5040種

解析：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再?gòu)氖Ｏ碌?人中選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有C10C8C7=2520種，選C。

2. 12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案有（ ）

A. C12C8C4種 B. 3C12C8C4 種

C. C12C8A3種 D. ■種

答案：A。

六、全員分配問題分組法

例6. 1. 4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？

解析：把四名學(xué)生分成3組有C2種方法，再把三組學(xué)生分配到三所學(xué)校有A3種，故共有C2A3=36種方法。

說明：分配的元素多于對(duì)象且每一對(duì)象都有元素分配時(shí)常用先分組再分配。

2. 5本不同的書，全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（ ）

A. 480種 B. 240種 C. 120種 D. 96種

答案：B

七、名額分配問題隔板法

例7. 10個(gè)三好學(xué)生名額分到7個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)名額，有多少種不同分配方案？

解析：10個(gè)名額分到7個(gè)班級(jí)，就是把10個(gè)名額看成10個(gè)相同的小球分成7堆，每堆至少一個(gè)，可以在10個(gè)小球的9個(gè)空位中插入6塊木板，每一種插法對(duì)應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為C9=84種。

八、限制條件的分配問題分類法

例8. 某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國(guó)西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？

解析：因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：

1. 若甲乙都不參加，則有派遣方案A4種；2. 若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學(xué)生有A3方法，所以共有3A3種；3. 若乙參加而甲不參加同理也有3A3種；（4）若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另外兩個(gè)城市有A2種，共有方法7A2種。所以共有不同的派遣方法總數(shù)為A4+3A3+3A3+7A2=4088種。

九、多元問題分類法

元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計(jì)數(shù)，最后總計(jì)。

例9. 1. 由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（ ）

A. 210種 B. 300種 C. 464種 D. 600種

解析：按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有A5個(gè)，A4A3A3，A3A3A3，A2A3A3，A3A3個(gè)，合并總計(jì)300個(gè)，選B。

2. 從1，2，3…，100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個(gè)數(shù)的取法（不計(jì)順序）共有多少種？

解析：被取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被7整除時(shí)，他們的乘積就能被7整除，將這100個(gè)數(shù)組成的集合視為全集I，能被7整除的數(shù)的集合記做A={7，14，21，……98}共有14個(gè)元素，不能被7整除的數(shù)組成的集合記做A={1，2，3，4，……100}共有86個(gè)元素；由此可知，從A中任取2個(gè)元素的取法有C14，從A中任取一個(gè)，又從A中任取一個(gè)共有C14C86，兩種情形共符合要求的取法有C14+C14C86=1295種。

（3）從1，2，3，……，100這100個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計(jì)順序）有多少種？

解析：將I={1，2，3，…100}分成四個(gè)不相交的子集，能被4整除的數(shù)集A={4，8，12，…100}；能被4除余1的數(shù)集B={1，5，9，…97}，能被4除余2的數(shù)集C={2，6，…98}，能被4除余3的數(shù)集D={3，7，11，…99}，易見這四個(gè)集合中每一個(gè)有25個(gè)元素；從A中任取兩個(gè)數(shù)符合要求；從B，D中各取一個(gè)數(shù)也符合要求；從C中任取兩個(gè)數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C25+C25C25+C25種。

十、交叉問題集合法

某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式n（A∪B）=n（A）+n（B）-n（A∩B）。

例10. 從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4×100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？

解析：設(shè)全集={6人中任取4人參賽的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有：n（I）-n（A）-n（B）+n（A∩B）=A6-A5-A5+A4=

252種。

十一、定位問題優(yōu)先法

某個(gè)或幾個(gè)元素要排在指定位置，可先排這個(gè)或幾個(gè)元素；再排其它的元素。

例11. 1名教師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念，若教師不站兩端則有不同的排法有多少種？

解析：老師在中間三個(gè)位置上選一個(gè)有A3種，4名同學(xué)在其余4個(gè)位置上有A4種方法；所以共A3A4=72有種。

十二、多排問題單排法

把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。

例12. 1. 6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是（ ）

A. 36種 B. 120種 C. 720種 D. 1440種

解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個(gè)不同的元素排成一排，共A6種，選C。

2. 8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某1個(gè)元素排在后排，有多少種不同排法？

解析：看成一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，有A4種，某1個(gè)元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有A4種，其余5個(gè)元素任排5個(gè)位置上有A5種，故共有A4A4A5=5760種排法。

十三、“至少”、“至多”問題用間接排除法或分類法

例13.從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取3臺(tái)，其中至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有（ ）

A. 140種 B. 80種 C. 70種 D. 35種

解析1：逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有C9-C4-C5=70種，選C。

解析2：至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)；甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同的取法有C5C4+C5C4=70臺(tái)，選C。

（作者單位：黑龍江省哈爾濱市第二十四中學(xué) 150000）