談數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的滲透

馮杰華

摘要：初中數(shù)學(xué)蘊(yùn)含了許多經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想，它是解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想與基本策略。抓住數(shù)學(xué)思想方法，是提高解決問題能力的根本所在。因此，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的滲透，可以使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主人。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；分類；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）09-0004

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)內(nèi)容的進(jìn)一步提煉和概括，是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的關(guān)鍵和動(dòng)力。初中數(shù)學(xué)的主要數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸思想、整體思想等。以下是筆者在教學(xué)活動(dòng)中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想教學(xué)的一些體會(huì)：

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，以實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，它可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。數(shù)學(xué)大師華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)離形，缺直觀；形離數(shù)，難入微。”因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)形有機(jī)地結(jié)合起來，發(fā)揮數(shù)與形各自的優(yōu)勢(shì)，從而使學(xué)生更好地找到解決問題的有效途徑。

例1. 某公司推銷一種產(chǎn)品，設(shè)x（件）是推銷產(chǎn)品的數(shù)量，y（元）是推銷費(fèi)，圖3-3-1表示了公司每月付給推銷員推銷費(fèi)的兩種方案，看圖解答下列問題：

（1）求與y的函數(shù)解析式。

（2）解釋圖中表示的兩種方案是如何付推銷費(fèi)的。

（3）如果你是推銷員，應(yīng)如何選擇付費(fèi)方案？

解：（1）y1=20x，y2=10x+300。

（2）y1是不推銷產(chǎn)品沒有推銷費(fèi)，每推銷10件產(chǎn)品得推銷費(fèi)200元，y2是保底工資300元，每推銷 10件產(chǎn)品再提成100元。

（3）若業(yè)務(wù)能力強(qiáng)，平均每月保證推銷多于3O件時(shí)，可選擇y1的付費(fèi)方案；否則，選擇y2的付費(fèi)方案。

圖像在上方的說明它的函數(shù)值較大，反之較?。划?dāng)然，兩圖像相交時(shí)，說明在交點(diǎn)處的函數(shù)值是相等的。

二、分類討論思想

在數(shù)學(xué)中，我們常常需要根據(jù)研究對(duì)象性質(zhì)的差異，分各種不同情況予以分析。這種分類思考是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的邏輯方法，同時(shí)又是重要的解決問題的策略。分類是按照數(shù)學(xué)對(duì)象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的思想方法，掌握分類的方法，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)，對(duì)于加深基礎(chǔ)知識(shí)的理解，提高分析問題、解決問題的能力十分重要。

例2. 已知直角三角形的兩邊長分別是3和4，求第三邊的長。

解：（1）3和4是直角邊時(shí)，則第三邊是斜邊，利用勾股定理容易得到斜邊是5。

（2）3是直角邊，4是斜邊時(shí)，則第三邊是直角邊，仍用勾股定理得到第三邊是■ 。

例3. 王叔叔家有一塊等腰三角形的菜地，腰長為40米，一條筆直的水渠從菜地穿過，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過菜地部分的長為15米（水渠的寬不計(jì)），請(qǐng)你計(jì)算這塊等腰三角形菜地的面積。

分析：本案例是無附圖的幾何問題，在此情況下一般要考慮多種情況的出現(xiàn)，需要對(duì)問題進(jìn)行分情況討論。我們應(yīng)仔細(xì)分析題意、挖掘題目的題設(shè)、結(jié)論中可能出現(xiàn)的不同情況，然后采用分類思想加以解決。

解：（1）當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)（如圖1），由勾股定理，得AE=25m

由DE∥FC，得△ADE∽△AFC

∴■=■，F(xiàn)C=24m，S△ABC=■×40×24=480（m2）

（2）當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí)（如圖2），同理可得S△ABC=■×64×24=768（m2）

點(diǎn)撥：使學(xué)生對(duì)勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)的掌握上升為解決問題的一種能力，并納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，利用知識(shí)產(chǎn)生遷移，成為新的知識(shí)生長點(diǎn)。

在教學(xué)中，教師應(yīng)注意抓住問題的契機(jī)，適時(shí)地滲透分類思想，培養(yǎng)學(xué)生的分類意識(shí)，以提高學(xué)生分析、解決問題的能力。

三、化歸思想

化歸思想就是化未知為已知、化繁為簡、化難為易。如將分式方程化為整式方程，將幾何問題化為代數(shù)問題，將四邊形問題化為三角形問題等。實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有：待定系數(shù)法、配方法、整體代入法以及化動(dòng)為靜、由抽象到具體等。

例4. 如圖，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如圖3-1-3，根據(jù)勾股定理，則a2+b2=c2。若△ABC不是直角三角形，如圖3-1-4和圖3-1-5，試猜想a2+b2與c2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

證明：（1）當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，如圖3-1-4，過B作BD⊥AC，交AC于D。

設(shè)CD為x，則有BD2=a2-x2

根據(jù)勾股定理，得（b-x）2+a2-x2=c2

即a2+b2-2bx=c2?！遙>0，x>0，

∴2bx>0， ∴a2+b2>c2。

（2）當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，如圖3-1-5，過B作BD⊥AC，交AC的延長線于D。

設(shè)CD為x，則有BD2=a2-x2

根據(jù)勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2

（上接第4頁）

即a2+b2+2bx=c2?！遙>0，x>0，

∴2bx>0， ∴a2+b2

勾股定理是我們非常熟悉的幾何知識(shí)，對(duì)于直角三角形三邊具有：a2+b2=c2的關(guān)系，那么銳角三角形、鈍角三角形的三邊又是怎樣的關(guān)系呢？教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過作高這條輔助線，將一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來確定三邊的關(guān)系。

四、整體思想

整體思想的表現(xiàn)形式主要有整體聯(lián)想、整體設(shè)元、整體配方、整體展開、整體補(bǔ)形、整體改造、整體代換、整體求導(dǎo)等。

例5. 已知x=■-1，求■的值。

解：因?yàn)閤=■-1，（x+1）2=（■）2，所以x2+2x=2。

因此，原式=■=■=-1。

用整體思想解題不僅過程簡捷明快，而且富有創(chuàng)造性。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用整體思想解決實(shí)際問題，可使學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)際生活雙向建構(gòu)的過程中，體會(huì)到數(shù)學(xué)的價(jià)值，享受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，體驗(yàn)到充滿生命活力的學(xué)習(xí)過程。

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)內(nèi)容的進(jìn)一步提煉和概括，是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和基本策略。因此，教師在教學(xué)中要體會(huì)教材例題、習(xí)題以及練習(xí)中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想解決問題的意識(shí)，使他們成為數(shù)學(xué)的主人。

參考文獻(xiàn)：

[1] 鄭毓信.數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論[M].成都：四川教育出版社，2001.

[2] 除 駿.淺談知識(shí)的傳授與思想方法的教學(xué)有機(jī)結(jié)合[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2006（12）.

（作者單位：廣東省高要市金渡鎮(zhèn)華僑初級(jí)中學(xué) 526108）