由定到動(dòng)，層層深入

顧彥

二次函數(shù)最值問(wèn)題處理中，從學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)入手分析，由易到難，由單一到復(fù)合，總結(jié)規(guī)律，探究在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的途徑

二次函數(shù)最值二次函數(shù)型數(shù)形結(jié)合分類討論二次函數(shù)求最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，不僅在高一階段，即使到了高三，有的學(xué)生還是會(huì)直接代入端點(diǎn)去求“最值”.解決這類問(wèn)題往往需要在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)考慮對(duì)稱軸和區(qū)間位置關(guān)系的重要性，并且通過(guò)比較這兩者在圖象中的位置關(guān)系，從而利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題.二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中有著特殊的地位，對(duì)它的研究，是對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)研究其它函數(shù)提供了一種函數(shù)原型.見(jiàn)微知著，也為對(duì)其它復(fù)合函數(shù)問(wèn)題的解決提供原型啟發(fā).因此我在教學(xué)中，將此類問(wèn)題的教學(xué)例題總結(jié)如下.

一、定對(duì)稱軸定區(qū)間

例1.分別求出二次函數(shù)f（x）=x2+2x-3在區(qū)間＼[-4，-2＼]，＼[-4，-1＼]，＼[-4，0＼]，＼[-1，2＼]，＼[-2，2＼]上的最值.

解析：首先求出對(duì)稱軸是固定的x=-1，通過(guò)觀察圖象可知函數(shù)在各給定端點(diǎn)的區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，從而進(jìn)一步可以求出對(duì)應(yīng)的最值（如圖1）.

1.在＼[-4，-2＼]上，函數(shù)f（x）單調(diào)減，所以函數(shù)最大值為f（-4），最小值為f（-2）.

2.在＼[-4，-1＼]上，函數(shù)f（x）仍然單調(diào)減，所以函數(shù)最大值為f（-4），最小值為f（-1）.

3.在＼[-4，0＼]上，函數(shù)f（x）有兩種單調(diào)性，在＼[-4，-1＼]上單調(diào)減，在＼[-1，0＼]上單調(diào)增，所以函數(shù)最大值為f（-4），最小值為f（-1）.

4.在＼[-1，2＼]上，函數(shù)f（x）單調(diào)增，所以函數(shù)最大值為f（2），最小值為f（-1）.

5.在＼[-2，2＼]上函數(shù)f（x）有兩種單調(diào)性，在＼[-2，-1＼]上單調(diào)減，在＼[-1，2＼]上單調(diào)增，所以函數(shù)最大值為f（2），最小值為f（-1）.

繼續(xù)觀察，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)對(duì)稱軸夾在定義域兩個(gè)端點(diǎn)中間時(shí)，對(duì)稱軸的偏左或偏右影響了函數(shù)取另一個(gè)最值時(shí)的自變量取值，而這里的“偏左”“偏右”指的是對(duì)稱軸在端點(diǎn)中點(diǎn)的左邊或右邊.當(dāng)拋物線開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸在區(qū)間的中點(diǎn)（-2，0）的偏右處時(shí)，函數(shù)最大值是取區(qū)間左端點(diǎn).而當(dāng)拋物線開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸在區(qū)間的中點(diǎn)（0，0）偏左處時(shí)，函數(shù)最大值是取區(qū)間右端點(diǎn).

總結(jié)：對(duì)于二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在區(qū)間＼[m，n＼]上求最值時(shí)，應(yīng)當(dāng)先求出對(duì)稱軸x=-b2a，再觀察對(duì)稱軸與定義域的位置關(guān)系.

通過(guò)較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在求二次函數(shù)最值時(shí)考慮對(duì)稱軸與區(qū)間位置關(guān)系的必要性，為后面解題時(shí)使用分類討論的思想方法打基礎(chǔ).

二、定對(duì)稱軸動(dòng)區(qū)間

例2.求出二次函數(shù)f（x）=x2-2x+3在區(qū)間＼[a，a+4＼]上的最值.

解析：求出對(duì)稱軸x=1，由前面的經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)當(dāng)討論定對(duì)稱軸與動(dòng)區(qū)間的位置關(guān)系.

1.如圖2-1，當(dāng)a+4≤1，即a≤-3時(shí)，在＼[a，a+4＼]上，函數(shù)f（x）單調(diào)減，所以函數(shù)最大值為f（a），最小值為f（a+4）.若當(dāng)1∈＼[a，a+4＼]時(shí)，需要增加考慮對(duì)稱軸與區(qū)間＼[a，a+4＼]的中點(diǎn)（a+2，0）的位置關(guān)系.

2.如圖2-2，當(dāng)a+2≤1

3.如圖2-3，當(dāng)a<1

4.如圖2-4，當(dāng)a≥1時(shí)，在＼[a，a+4＼]上，函數(shù)f（x）單調(diào)增，所以函數(shù)最大值為 f（a+4），最小值為f（a）.

三、動(dòng)對(duì)稱軸定區(qū)間

例3.求出二次函數(shù)f（x）=x2-2ax-3在區(qū)間＼[-2，2＼]上的最值.

解析：此題對(duì)稱軸為x=a，但是定義域端點(diǎn)是確定的數(shù)值，此時(shí)仍要注意考慮對(duì)稱軸與定區(qū)間的位置關(guān)系.

1.當(dāng)a≤-2時(shí)，函數(shù)f（x）在＼[-2，2＼]上單調(diào)增，所以函數(shù)最大值為f（2），最小值為f（-2）.若當(dāng)a∈＼[-2，2＼]時(shí)，需要增加考慮對(duì)稱軸與區(qū)間的中點(diǎn)（0，0）的位置關(guān)系.

2.當(dāng)-2

3.當(dāng)0

4.當(dāng)a≥2時(shí)，函數(shù)f（x）在＼[-2，2＼]上單調(diào)減，所以函數(shù)最大值為f（-2），最小值為 f（2）.

四、動(dòng)對(duì)稱軸動(dòng)區(qū)間

例4.求出二次函數(shù)f（x）=-x2+ax+2在區(qū)間＼[a，a+4＼]上的最值.

解析：求出對(duì)稱軸x=a2.

引導(dǎo)學(xué)生由以上例題發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)的最值可能會(huì)出現(xiàn)在那幾個(gè)點(diǎn)？學(xué)生發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)那么多次計(jì)算，即使出現(xiàn)字母系數(shù)，二次函數(shù)的最值仍然只會(huì)是定義域端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值或圖象的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值中較大者或較小者.

由以上探討可知，包括二次函數(shù)型復(fù)合函數(shù)的最值問(wèn)題的解決過(guò)程中，讓學(xué)生有意識(shí)觀察對(duì)稱軸與區(qū)間位置關(guān)系是關(guān)鍵，從而能提高解題的正確率。

參考文獻(xiàn)：

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