從古溯今探秘一元二次方程

朱明慧

一、買椽多少

例1 我國古代著作《四元玉鑒》記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽。每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽?！逼浯笠鉃椋含F(xiàn)請(qǐng)人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為6210文。如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢。求這批椽的數(shù)量。

【解析】這是古人的生活問題，解決問題的關(guān)鍵在于分析等量關(guān)系，正確列出一元二次方程。我們可以按照如下步驟：

審：審清題意。文中“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽”其大意為：現(xiàn)請(qǐng)人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為6210文。

設(shè)：設(shè)買了x株椽，根據(jù)“如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢”，得到每株椽的價(jià)錢為3（x-1）文。

列：列出方程為3（x-1）x=6210。

解：解得x1=46，x2=-45。

驗(yàn)：椽的個(gè)數(shù)不能為負(fù)數(shù)，故x2=-45舍去。

答：這批椽的數(shù)目為46株。

【點(diǎn)評(píng)】從生活出發(fā)，提出問題，并用一元二次方程的知識(shí)來解決，找準(zhǔn)等量關(guān)系、建立方程模型是解題的關(guān)鍵。

二、執(zhí)竿進(jìn)屋

例2 古算趣題：“笨伯執(zhí)竿要進(jìn)屋，無奈門框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭。有個(gè)鄰居聰明者，教他斜竿對(duì)兩角。笨伯依言試一試，不多不少剛抵足。借問竿長多少數(shù)，誰人算出我佩服?！逼浯笠馐牵罕坎弥窀瓦M(jìn)屋，橫拿豎拿都進(jìn)不去，橫著比門寬4尺，豎著比門高2尺。他的鄰居教他沿著門的對(duì)角線斜著拿竿。笨伯一試，剛好進(jìn)去。問：竹竿有多少尺？

【解析】古題文字很有趣，讀題理清題意是關(guān)鍵。

審：審清題意，等量關(guān)系為“沿著門的對(duì)角線斜著拿竿。笨伯一試，剛好進(jìn)去”。

設(shè)：設(shè)竿長x尺，則門寬（x-4）尺，門高（x-2）尺。

列：根據(jù)勾股定理，列出方程為（x-2）2+（x-4）2=x2。

解：解得x1=2，x2=10。

驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，x-2=0，x-4=-2，故舍去。所以x=10。

答：竹竿長10尺。

【點(diǎn)評(píng)】知識(shí)點(diǎn)和知識(shí)點(diǎn)之間是相通的。我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)需要將所學(xué)過的知識(shí)融會(huì)貫通，建立知識(shí)框架，在讀題審題的過程中運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，建立數(shù)學(xué)模型解決問題。

三、長闊幾何

例3 《算學(xué)寶鑒》中記載了我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝提出的一個(gè)問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長十二步，問長闊各幾何。”譯文：一塊矩形田地的面積等于864平方步，且它的寬比長少12步，長與寬各是多少步？

【解析】同樣按照解決問題的程序分析求解。

審：審清題意。條件“矩形田地的面積等于864平方步”暗示等量關(guān)系：矩形的面積等于長乘寬。

設(shè)：由條件“寬比長少12步”，設(shè)矩形長為x步，則寬為（x-12）步。

列：根據(jù)矩形面積公式，得x（x-12）=864，即x2-12x-864=0。

解：解得x1=36，x2=-24。

驗(yàn)：矩形的邊長不能為負(fù)數(shù)，所以x2=-24舍去。

答：該矩形長36步、寬24步。

【點(diǎn)評(píng)】本題仍然是從實(shí)際問題中抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是從古題中理清題意，選擇恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)表示出長和寬，再根據(jù)矩形的面積公式，得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取正值即可。

古代人能從生活中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并解決問題，我們也應(yīng)該立志奮發(fā)，努力自強(qiáng)，觸類旁通。這些古題跟我們的生活也息息相關(guān)，我們不妨嘗試找?guī)椎琅c生活息息相關(guān)的題目進(jìn)行解答。