經(jīng)典品讀：幾何綜合法與向量坐標法，孰優(yōu)孰劣

洪昌強

新課標要求我們能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量法在研究幾何問題中的作用.其意圖表明向量是一種數(shù)學工具，具有廣泛的應用，同時也為研究立體幾何提供了新的視角.但新課標又要求我們在學習中能靈活選擇運用向量法與綜合法，從不同角度解決立體幾何問題.而實際上，我們在處理立體幾何問題時，幾何綜合法和向量坐標法的使用情況怎么樣呢？

分析 對于題1，由于本題△ABO所在的平面就是空間直角坐標系xOy，所尋找的點M是在△ABO內(nèi)，其坐標設為（x，y，0），未知數(shù)僅有兩個，列方程和解方程都比較方便. 因此，題1使用坐標法得分率比較高. 對于題2，從本題所提供的幾何圖形來看，建坐標系比較方便，多數(shù)同學開始就選擇了坐標法，把求直線與平面所成角的問題轉(zhuǎn)化為直線與平面法向量所成角問題. 絕大多數(shù)的同學按平常的解題思路，直接設H（x，y，z）. 從統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)，有三分之二的同學，根據(jù)條件OH∥平面PAB得到OH與平面PAB的法向量垂直，即（3，-3，4）·（x，y，z）=3x-3y+4z=0，有一半以上的同學不會建立第二個等式. 為什么只能列出一個式子，而不會列出第二個等式？其原因是，在高中階段，當點在已知直線上時，多數(shù)同學知道利用向量共線來處理. 對于點在平面上（除特殊條件約束外），在空間直角坐標下，中學沒有提及平面方程，絕大多數(shù)同學缺少處理點在平面上的經(jīng)驗. 這也是導致本題用坐標法處理得分低的重要原因之一. 從以上解法知，本題即使將直線PH與平面ABC所成角的正弦值表示為x的函數(shù)，求這個函數(shù)的值域并不是一件容易的事，其中求變量x的取值范圍也并非易事.

向量坐標法的一般的操作步驟是：第一步，建立空間直角坐標系；第二步，計算相關點坐標及各線段對應向量；第三步，通過解方程求相應平面的法向量；第四步，根據(jù)向量數(shù)量積的公式列式并計算. 其解題實質(zhì)就是將幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題進行量化處理. 坐標法雖然運算要求較高，但技巧性不高，容易操作，解題過程程式化，可以通過做一定量的試題來進行強化訓練. 我們處理立體幾何解答題習慣使用坐標法，但對一些點或直線不在特殊位置上，即一些關鍵點不易用坐標表達時，解題思路容易被坐標法捆住. 題2得分低的主要原因就在于此.

2.2 綜合法

對于題1，此題要求我們能從“平面PAC⊥平面ABC”和“△PAC與△ABC是等腰三角形”聯(lián)想到平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，然后在△PAC中過P作PQ⊥OE，交OE于Q，交OA于H，并通過這些定理證明PH⊥平面BOE，再過F作FM∥PH，交BH于M，點M即為所求.

分析 此題為什么只有5%的同學選用綜合法呢？對于題1，欲直接在△ABO內(nèi)找一點M，使FM⊥平面BOE，會遇到兩個較難處理的問題：一個是M點在哪里；另一個是平面BOE內(nèi)能比較容易證明與FM垂直的兩條直線在哪里. 對此，好多同學感到束手無策，因為要尋找所滿足條件的FM離已知條件有些“遠”. 俗話說：此處不留人，自有留人處. 能否在靠近已知條件比較“近”的平面上尋找解題突破口？由已知條件，不難發(fā)現(xiàn)平面PAC與平面BOE具有垂直關系. 解決此題的關鍵是將條件“平面PAC⊥平面ABC”轉(zhuǎn)化為“平面BOE⊥平面PAC”，其“OB⊥AC”是連接兩者的媒介. 從答題情況來看，我們除了心理上信奉坐標法外，還缺乏對條件“平面PAC⊥平面ABC”的深入思考，以及對平面與平面垂直判定定理和性質(zhì)定理的理解，致使提取信息時思維通道被堵. 從統(tǒng)計中我們還發(fā)現(xiàn)，在平面POA內(nèi)作出PH⊥OE，交OA于H后，有60%的同學在計算OH長時出現(xiàn)錯誤或思維發(fā)生障礙.