例談分式方程的增根與無(wú)解教學(xué)

張靜

[摘要]：分式方程的增根與無(wú)解是分式方程中常見(jiàn)的兩個(gè)概念，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)分式方程后，常常會(huì)對(duì)這兩個(gè)概念混淆不清，認(rèn)為分式方程無(wú)解和分式方程有增根是同一回事，事實(shí)上并非如此。

[關(guān)鍵詞]：增根 整式方程 最簡(jiǎn)公分母 方程化

在八年級(jí)數(shù)學(xué)分式這一章，解分式方程中會(huì)出現(xiàn)增根的現(xiàn)象而導(dǎo)致分式方程無(wú)解，因此解分式方程時(shí)必須檢驗(yàn)。而同學(xué)們?cè)谧鱿嚓P(guān)的練習(xí)題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到無(wú)解，有時(shí)會(huì)遇到增根，那么無(wú)解與增根到底有怎樣的區(qū)別呢？近幾年隨著考試難度的降低，這一知識(shí)點(diǎn)逐漸淡化出很多人的視線?？傮w上說(shuō)分式方程的增根和分式方程分無(wú)解是兩個(gè)不同的概念。

一、概念的意義不同

分式方程的增根是指解分式方程時(shí)，在去分母的過(guò)程中，方程兩邊都乘以了一個(gè)可以使分母為零的整式，從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值。它是化簡(jiǎn)后整式方程的根，但不是分式方程的根，所以分式方程求解中的檢驗(yàn)必不可少。分式方程的無(wú)解是無(wú)論未知數(shù)取何值，都不能使方程左右兩邊的值相等。它包含著兩種情況：（1）原方程化去分母后的整式方程無(wú)解；（2）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個(gè)解卻使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而使原方程無(wú)解.現(xiàn)舉例說(shuō)明如下。

二、分式方程有增根

三、分式方程無(wú)解

1.無(wú)解=增根

很多同學(xué)受思維定式的影響，會(huì)認(rèn)為只要x的值是原分式方程的增根，原分式方程無(wú)解。事實(shí)上原分式方程無(wú)解分兩種情況討論。①分母=0使分式方程無(wú)解；②化簡(jiǎn)后的整式方程無(wú)解，使分式方程無(wú)解。

如：把原方程去分母得m-3=x-1

對(duì)于這道題而言化簡(jiǎn)后的整式方程m-3=x-1即x=m-2永遠(yuǎn)有解，所以無(wú)解和有增根求得的未知數(shù)的值是一樣的。

只需把增根x=1代入m-3=x-1中得m=3

我們順利地解決了這道題，接下來(lái)看下面的例子。

2.無(wú)解≠增根

分析：從兩方面考慮分式方程無(wú)解的條件是：①去分母后所得整式方程無(wú)解，即（a-1）x=a無(wú)解。

對(duì)于這個(gè)含字母系數(shù)的整式方程（a-1）x=a，當(dāng)a-1=0時(shí)，即a=1會(huì)出現(xiàn)0x=1的情況，此時(shí)方程無(wú)解。即無(wú)論x取何值，此時(shí)都不存在未知數(shù)的值使分式方程的左邊=右邊，我們說(shuō)分式方程無(wú)解。

此時(shí)我們要注意不能求出一種情況就認(rèn)為自己已經(jīng)找到了正確答案，此時(shí)還要考慮第②種情況：分式方程有增根，即當(dāng)x=0時(shí)方程無(wú)解，并求出參數(shù)a的值為0。

這告訴我們兩點(diǎn)：①當(dāng)方程中出現(xiàn)無(wú)解時(shí)要特別小心；②當(dāng)化簡(jiǎn)后的整式方程未知數(shù)的系數(shù)含有字母時(shí)，更應(yīng)小心。一定要特別留心未知數(shù)的系數(shù)是否含有字母，若未知數(shù)的系數(shù)含有字母時(shí)，我們一定要小心。

所以增根與無(wú)解既有聯(lián)系又有區(qū)別，考慮問(wèn)題須全面縝密。方程無(wú)解要比方程有增根考慮的情況要多，參數(shù)取得值也多。當(dāng)然這種情況只限于參數(shù)做了未知數(shù)的系數(shù)。否則取得的值就和上面前兩個(gè)例子一樣了。

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