拉格朗日中值定理的證明及其應(yīng)用

馬生勇

【摘要】拉格朗日中值定理是微積分中重要定理之一，其證明方法關(guān)鍵在于構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，再應(yīng)用羅爾中值定理推出拉格朗日中值定理的結(jié)論.本文從坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)、分析表達(dá)式、向量運(yùn)算、區(qū)間套定理四個(gè)方面分析構(gòu)造輔助函數(shù)的思路和方法，利用該輔助函數(shù)證明了拉格朗日中值定理，并以具體實(shí)例說(shuō)明如何應(yīng)用拉格朗日中值定理.

【關(guān)鍵詞】羅爾中值定理；拉格朗日中值定理；輔助函數(shù)

1 引言

拉格朗日中值定理是微分學(xué)的重要定理之一，它的證明通常以羅爾中值定理作為預(yù)備定理，其證明方法關(guān)鍵在于構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，而輔助函數(shù)應(yīng)滿足羅爾中值定理的全部條件，證明的過(guò)程就是對(duì)輔助函數(shù)應(yīng)用羅爾中值定理推出拉格朗日中值定理的結(jié)論.羅爾定理中 這個(gè)條件很特殊，它使羅爾定理的應(yīng)用受到限制.如果把這個(gè)條件取消，但仍保留另外兩個(gè)條件，并且相應(yīng)改變結(jié)論，即得微分學(xué)中十分重要的拉格朗日中值定理.本文從坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)、分析表達(dá)式、向量運(yùn)算三種方法證明了拉格朗日中值定理，并從具體實(shí)例說(shuō)明了如何應(yīng)用拉格朗日中值定理.

2 拉格朗日中值定理證明

拉格朗日中值定理的證明過(guò)程就是對(duì)所構(gòu)造的輔助函數(shù)（該輔助函數(shù)應(yīng)滿足羅爾中值定理的全部條件）應(yīng)用羅爾中值定理.由于構(gòu)造輔助函數(shù)的思路不同，拉格朗日中值定理的證法有多種.首先我們給出羅爾中值定理和拉格朗日中值定理[1]如下：

羅爾中值定理 若函數(shù) 滿足以下條件：

（1）在 連續(xù)；

（2）在 可導(dǎo)；

（3） .

則至少存在一點(diǎn) ，使 .

拉格朗日中值定理 若函數(shù) 滿足以下條件：

（1）在 連續(xù)；

（2）在 可導(dǎo)，

則在 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使

.

2.1 利用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造輔助函數(shù)

如果函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)；在 內(nèi)可導(dǎo).

圖2.1

如圖2.1所示，由坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)圖形的不變形可知，只要把坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)到與直線 重合，在新坐標(biāo)下圖形顯然滿足羅爾定理?xiàng)l件，通過(guò)羅爾定理即可得出結(jié)論.為此可引入旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換[2]

.

因?yàn)?/p>

，

所以有逆變換

.

記

.

取旋轉(zhuǎn)角 時(shí)， 在 上連續(xù)；在 內(nèi)可導(dǎo)，由

，

可得

，

即 ，因此， 滿足羅爾定理的條件，故至少存在一點(diǎn) 使 ，亦即

， .

2.2 利用分析表達(dá)式構(gòu)造輔助函數(shù)

由拉格朗日中值定理結(jié)論可知，欲證 ，即要證 ，換言之即證 在區(qū)間 內(nèi)有零點(diǎn).據(jù)此利用羅爾定理可得拉格朗日中值定理.

證明 令 ，則 在區(qū)間 連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且

，

即

.

故由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn) ，使 .

即

.

注意 這輔助函數(shù)所表示的曲線 是曲線 和直線 之差，而這直線通過(guò)原點(diǎn)且與曲線 在 上兩端點(diǎn)的連線平行，從而使得 滿足羅爾中值定理的條件.

2.3 利用向量運(yùn)算構(gòu)造輔助函數(shù)

引理2.1[3]在平面直角坐標(biāo)系中，已知三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ， ， ，則三角形ABC面積為 .

于是可以引用引理證明拉格朗日中值定理如下：

若 在 內(nèi)連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，則 在 內(nèi)連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ，所以由羅爾中值定理知：在 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得 ，而

.

故

.

通過(guò)對(duì)拉格朗日中值定理的證明方法的分類總結(jié)，發(fā)現(xiàn)證明方法的確多種多樣.一般來(lái)說(shuō)大多采用的是構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，我們從分析和幾何的角度加以分析總結(jié)，分析法構(gòu)造輔助函數(shù)主要有原函數(shù)構(gòu)造法；幾何法是利用圖形的特征進(jìn)行分析，從而構(gòu)造出需要的輔助函數(shù)，與分析法有異曲同工之妙，同時(shí)也可以認(rèn)為是上面某些分析方法的幾何解釋.另外我們還總結(jié)了一些特殊方法，它們不需要構(gòu)造輔助函數(shù)，仍可以得證，如區(qū)間套定理證明法.通過(guò)分類總結(jié)，有助于開闊我們的思路，對(duì)微分中值定理的認(rèn)識(shí)也會(huì)更加深入.

3 拉格朗日中值定理的應(yīng)用

拉格朗日中值定理在微積分學(xué)中是一個(gè)重要的理論基礎(chǔ).它作為中值定理的核心，有著廣泛的應(yīng)用，在很多題型中都起到了化繁為簡(jiǎn)的作用.下面通過(guò)舉例說(shuō)明拉格朗日中值定理在四個(gè)方面的應(yīng)用.

3.1 證明不等式

證明不等式的方法很多，但對(duì)于某些不等式，用初等解法不一定解得出來(lái).拉格朗日中值定理在不等式中有很重要的應(yīng)用，往往能夠化難為易.在應(yīng)用中關(guān)鍵是取適當(dāng)函數(shù) ，利用中值公式 將所要證明的不等式與導(dǎo)函數(shù) 聯(lián)系起來(lái)，在根據(jù) 的某些性質(zhì)證出所要求的不等式.比如描述函數(shù)的增量與自變量增量關(guān)系的不等式或者中間一項(xiàng)可以表示成函數(shù)增量形式等題型.

例 3.1 證明 對(duì)一切 都成立.

證明 設(shè) ，取閉區(qū)間 .

因?yàn)?在 上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件.

所以，至少存在一點(diǎn) ，使得

.

即

. （3.1）

因?yàn)?，即 ，又 .

所以

， （3.2）

又因?yàn)?，所以由（3.1）﹑（3.2）知

，

即

.

3.2 函數(shù)單調(diào)性的判定

由拉格朗日中值定理得到下面的結(jié)論：設(shè)函數(shù) 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，則

（1）如果 ，則 上單調(diào)遞增.

（2）如果 ，則 上單調(diào)遞減.

下面我們具體的看一下它的應(yīng)用.

例 3.2 證明 在 上單調(diào)增加.

證明 若令 ，

則只需證明 單調(diào)增加.

，

對(duì)函數(shù) 應(yīng)用拉格朗日中值定理得到

，

得到

.

因此，由上面結(jié)論推出 單調(diào)增加，從而 在 上單調(diào)增加.

3.3 證明方程根的存在性

在拉格朗日中值定理的條件下，若加上條件 ，則可知在開區(qū)間 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得 這是拉格朗日中值定理的特殊情形，稱為羅爾中值定理，可用于證明方程的根的存在性.證明方程根的存在性時(shí)所給根的范圍就是區(qū)間 ，把所給方程設(shè)為函數(shù) ，就可用拉格朗日中值定理證明方程根的存在性.

例 3.5 證明 若方程 有正根 ，則方程 必有一個(gè)小于 的正根.

證明 設(shè) = ， .

易證 在 上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，并且 .

所以，由羅爾中值定理可知，至少存在一點(diǎn) ，使得 ，

即方程 ，有一個(gè)小于 的正根.

由上面的例題，我們見到了中值定理在求解初等數(shù)學(xué)題中的優(yōu)越性.因此，將微積分的方法應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)中，將它作為教學(xué)的輔助手段是可取的.

3.4 證明等式

用拉格朗日中值定理證明等式也是拉格朗日中值定理應(yīng)用中很重要的一項(xiàng)，在證明等時(shí)中起到了化繁為簡(jiǎn)的作用，為以后的等式證明提供了方面.

例 3.7 設(shè) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ，試證 ， ，使得 .

證明 令 ，則 在 上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，故存在

，使得 ，由條件 ，可得

，

再令 ，則 在 上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，故存在 ，使得

，綜合上述兩式可得 ，

即

.

用初等數(shù)學(xué)的方法解數(shù)學(xué)題，有時(shí)需要很高的技巧，并且很繁瑣，往往此時(shí)利用微積分方法會(huì)化繁為簡(jiǎn)，化難為易.利用拉格朗日中值定理解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使它們滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，然后運(yùn)用定理結(jié)論或推論，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃位蜻\(yùn)算等得出所要的結(jié)論.

結(jié)束語(yǔ)

著名的拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基礎(chǔ)定理之一，在理論和應(yīng)用上都有著及其重要的意義.該定理敘述簡(jiǎn)單明了，并有明確的幾何意義，一般掌握問(wèn)題不大，但要深刻認(rèn)識(shí)定理的內(nèi)容，特別是點(diǎn)的含義，就有較大難度.熟練掌握定理本質(zhì)，在解題時(shí)會(huì)化繁為簡(jiǎn)，化難為易.利用拉格朗日中值定理解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使它們滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，然后運(yùn)用定理結(jié)論或推論，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃位蜻\(yùn)算等得出所要的結(jié)論.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉士強(qiáng).數(shù)學(xué)分析（上）[M].南寧：廣西民族出版社，2000.

[2]劉振航.關(guān)于拉格朗日中值定理的證明[J].天津商學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，22（3）：35-36.

[3]張婭莉，汪斌.拉格朗日中值定理的證明和應(yīng)用[J].信陽(yáng)農(nóng)業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2005，15（4）：88-90.