區(qū)域轉(zhuǎn)換二元指數(shù)Lévy模型的相關(guān)期權(quán)定價(jià)

中圖分類號：C813 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

摘要：期權(quán)是金融市場的新寵，我國也將在近期最初期權(quán)交易市場。而期權(quán)定價(jià)一直是研究期權(quán)的核心問題。本文通過對經(jīng)典的BS期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行修正，彌補(bǔ)了BS定價(jià)模型的一些不足。通過風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，得出了在區(qū)域轉(zhuǎn)換二元指數(shù)Lévy模型中的定價(jià)公式。從而研究在新模型中期權(quán)價(jià)格的走勢，并將其與傳統(tǒng)的BS模型進(jìn)行對比，闡述該模型的優(yōu)勢之處。最后通過MATLAB求出期權(quán)價(jià)格的近似解，客觀的反映期權(quán)價(jià)格和各個(gè)因素之間的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：期權(quán)定價(jià)；BS模型；區(qū)域轉(zhuǎn)換；Lévy模型；相關(guān)期權(quán)

第1章 緒論

1.1 本課題研究意義

我國有意在最近推出期權(quán)產(chǎn)品的交易，在上半年也進(jìn)行了期權(quán)市場的模擬，雖然原定年內(nèi)開放的期權(quán)市場由于各種原因而擱淺。但相信用不了多久，我國的期權(quán)市場將會開放，屆時(shí)將對我國的金融市場造成沖擊。投資者將會有更多的投資選擇。在期權(quán)市場開放之際，了解期權(quán)的定價(jià)無疑使提前迎接期權(quán)市場開放的一個(gè)良好途徑，希望通過期權(quán)定價(jià)的研究來更多的了解期權(quán)價(jià)格的定價(jià)規(guī)律和基本運(yùn)作，為我國經(jīng)濟(jì)多樣化提供一定的理論基礎(chǔ)

1.2 主要研究內(nèi)容

首先介紹期權(quán)定價(jià)的基本知識，在這基礎(chǔ)上推導(dǎo)出區(qū)域轉(zhuǎn)換二元指數(shù)Lévy模型的定價(jià)公式。再通過數(shù)值變換的方法將其表示為離散和的形式，通過MATLAB程序來得到期權(quán)價(jià)格的數(shù)值解。最后通過得到的數(shù)值將區(qū)域轉(zhuǎn)換二元指數(shù)Lévy模型和BS模型做對比，并探究在區(qū)域轉(zhuǎn)換二元指數(shù)Lévy模型下影響期權(quán)價(jià)格的因素。

第2章 區(qū)域轉(zhuǎn)換二元指數(shù)Lévy模型

2.1指數(shù)Lévy過程

考慮模型中只包含有兩個(gè)原生資產(chǎn)：可連續(xù)交易的股票和資金賬戶。貨幣資金的市場瞬時(shí)利率為r，則貨幣資金賬戶價(jià)格變化過程{Bt}t∈[0，T]可表示為：

dBt=rBtdt，B0=1.（2.1）

在跳擴(kuò)散模型中，股票價(jià)格為指數(shù)Lévy形式：

St = S0 eLt （2.2）

其中Lévy過程是帶漂移項(xiàng)的維納過程和復(fù)合泊松過程之和：

Lt=（r-σ22-λE（eYi-1））t+σWt+∑Ntn=1Yn（2.3）

若γ為決定隨機(jī)跳躍次數(shù)和隨機(jī)跳躍幅度x=Ls-Ls-的隨機(jī)測度，根據(jù)Rivasseau（2007）的結(jié)論：

Lt=（r-σ22）t+σW+∫t0∫+∞-∞xγ（dx，ds） -∫t0∫+∞-∞（ex-1） k（x）dxds（2.4）

2.2 區(qū)域轉(zhuǎn)換二元指數(shù)Lévy模型的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)

在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中，由于所有投資者對風(fēng)險(xiǎn)不需要額外回報(bào)，使得投資的回報(bào)率期望均為無風(fēng)險(xiǎn)利率，因此只要對資產(chǎn)價(jià)值的期望通過無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，就能得到任何現(xiàn)金流的現(xiàn)值。

考慮一個(gè)歐式看漲期權(quán)，標(biāo)的股票價(jià)格為S1（t），S2（t），執(zhí)行價(jià)格K1，K2，到期日T，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論，歐式看漲相關(guān)期權(quán)在到期日T的支付為：

「S1（0）eL1（T）-K1+「S2（0）eL2（T）-K2+（2.5）

設(shè)ki=（lnKi/Si（0）），i=1，2

則歐式看漲期權(quán)期權(quán)價(jià)格可表示為：

C（k1，k2）=S1（0）S2（0）E{e-R（T）（eL1（T）-ek1）+（eL2（T）-ek2）+（2.6）

第3章 區(qū)域轉(zhuǎn)換二元指數(shù)Lévy模型與BS模型的對比

3.1 區(qū)域轉(zhuǎn)換二元指數(shù)Lévy模型和BS模型下的期權(quán)價(jià)格模擬

假設(shè)樣本中的期權(quán)的到期期限都是1年，即T=1。這里我們選取其中一部分?jǐn)?shù)，ln（K1/S1（0））或ln（K2/S2（0））取-0.4，-0.2，0.0，0.2，0.4，。 MATLAB運(yùn)行結(jié)果如下：

通過對表1和表2給出的兩個(gè)模型下得到的期權(quán)價(jià)格進(jìn)行比較，我們發(fā)現(xiàn)含有Regime-Switching因素和指數(shù)Lévy過程的相關(guān)期權(quán)模型，相對于經(jīng)典的BS模型在總體上要高。通過對其他文獻(xiàn)的閱讀，發(fā)現(xiàn)這是因?yàn)镽egime-Switching 因素指數(shù)Lévy過程都增加了一定的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，從而提高了歐式看漲期權(quán)的價(jià)格。

參考文獻(xiàn)：

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[2]朱鈞鈞，謝識予.狀態(tài)轉(zhuǎn)換和中國股市的獨(dú)特特征——基于馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)換-自回歸模型的分析[J].上海金融創(chuàng)刊30周年征文，2010：50-54.

[3]Ang A.， Bekaert G. Regime Switching in Interest Rates [J]. Journal of Business and Economic Statistics， 2001.

作者簡介：

項(xiàng)偉波（1990-），男，漢族，浙江麗水人，碩士，單位：浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)，研究方向：金融工程。