淺談數(shù)形結(jié)合思想在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

張曉鵬

一、數(shù)形結(jié)合方法概說

所謂數(shù)形結(jié)合方法，就是在研究數(shù)學(xué)問題時，由數(shù)思形、以形思數(shù)、數(shù)形結(jié)合考慮問題的一種思想方法。

數(shù)學(xué)研究的是現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，只是為了方便，人們才分別將數(shù)量關(guān)系和空間形式從現(xiàn)實世界中單獨抽取出來進行研究，因而形成了代數(shù)與幾何。但是，現(xiàn)實世界本身是同時兼?zhèn)鋽?shù)與形兩種屬性的，當數(shù)學(xué)發(fā)展到一定階段時必然要將數(shù)形結(jié)合起來，充分地運用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法來解決各種數(shù)學(xué)問題，解析幾何就是數(shù)形結(jié)合的典范。運用數(shù)形結(jié)合方法研究數(shù)學(xué)問題，對于溝通代數(shù)、三角與幾何的聯(lián)系，具有重要指導(dǎo)意義。理解并掌握數(shù)形結(jié)合方法，有助于增強學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高分析問題和解決問題的能力。

數(shù)形結(jié)合是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念和數(shù)感，進行形象思維與抽象思維的交叉運用，使多種思維互相促進，和諧發(fā)展的主要形式;數(shù)形結(jié)合教學(xué)又有助于培養(yǎng)學(xué)生靈活運用知識的能力。

從初中學(xué)習(xí)數(shù)軸開始，我們就建立起了有理數(shù)與數(shù)軸上點的對應(yīng)關(guān)系。這可以算是數(shù)與形結(jié)合的開端。即而，學(xué)習(xí)實數(shù)之后，把這種對應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)閷崝?shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)。因而數(shù)形結(jié)合通常是與數(shù)軸、平面直角坐標系相聯(lián)系的。新一輪課程改革中的數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點是促進學(xué)生全面、和諧、持續(xù)的發(fā)展，它要求學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、技能和方法，逐漸形成自己的數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待生活中的人和事物，學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法解決生活中的實際問題。

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷。所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解 決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題 簡單化，抽象問題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù) 學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合。 這種思想方法體現(xiàn)在解題中，就是指在處理數(shù)學(xué)問題時，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語言與直觀 的幾何圖象有機結(jié)合起來思索，促使抽象思維和形象思維的和諧復(fù)合，通過對規(guī)范圖形或示 意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到簡捷解決。

二、數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系

數(shù)學(xué)的研究對象大致可以分為兩類：一類是研究數(shù)量關(guān)系的;一類是研究空間形式的。整個數(shù)學(xué)，不論初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)，都是以形和數(shù)作為研究對象的。數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個基本概念的提煉、演變、發(fā)展而逐步展開的。

三、數(shù)形結(jié)合思想方法在初等數(shù)學(xué)中的重要性

“數(shù)形結(jié)合”作為數(shù)學(xué)中的一“數(shù)”與“形”作為數(shù)學(xué)中最古老最重要的兩個方面，一直就是一對矛盾體。正如矛和盾總是同時存在一樣，有“數(shù)”必有“形”，有“形”必有“數(shù)”。華羅庚先生曾說過：“數(shù)與形本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系，切莫分離！”寥寥數(shù)語，把數(shù)形之妙說得淋漓盡致。

數(shù)形結(jié)合這種重要思想，在高中數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位。關(guān)于這一點，查查近年高考試卷，就可見一斑。在多年來的高考題中，數(shù)形結(jié)合應(yīng)用廣泛，大多是“以形助數(shù)”，比較常見的是在解方程和不等式、求函數(shù)的最值問題、求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)等問題中，巧妙運用“數(shù)形結(jié)合”思想解題，可以化抽象為具體，效果事半功倍。

四、數(shù)形結(jié)合方法的具體應(yīng)用

縱觀多年的高考試題，巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”。數(shù)形結(jié)合思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域、最值問題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問題中，運用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識。

五、數(shù)形結(jié)合思維總結(jié)

數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域，最值問題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問題中，運用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題 與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代 數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義;第二是恰當設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化;第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。