斜直井眼中鉆柱橫向動態(tài)運(yùn)動非線性模型研究

劉永升， 高德利， 王鎮(zhèn)全， 劉 奎

(1. 中國石油大學(xué)(北京) 石油工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249； 2.中國石油大學(xué)(北京) 油氣資源與探測國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249)

鉆柱作為旋轉(zhuǎn)鉆井的關(guān)鍵部件之一，承擔(dān)著傳遞地面動力至井底的任務(wù)，同時為鉆井液循環(huán)提供流通通道，它是由一根根特定規(guī)格的鉆桿通過接頭連接而成，鉆桿的公稱直徑小于井眼的直徑，所以鉆柱在鉆壓、扭矩的作用下會發(fā)生受井眼約束的彎曲、扭轉(zhuǎn)變形，這些變形和位移導(dǎo)致鉆柱運(yùn)動的復(fù)雜性，會出現(xiàn)自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)、回轉(zhuǎn)等多重耦合非線性運(yùn)動，運(yùn)動的不確定性增加，管柱的運(yùn)動軌跡更加難以預(yù)測，同時也增加了控制難度，這直接影響如何改善鉆柱的受力狀態(tài)和磨損方式[1-2]。在斜井或水平井中，由于重力因素的影響，導(dǎo)致鉆柱與井壁的接觸更加復(fù)雜，從而更難以刻畫鉆柱的運(yùn)動狀態(tài)、運(yùn)動軌跡，也就無法實(shí)施行之有效的控制措施避免鉆柱的磨穿和鍵槽卡鉆事故[3]。

鉆柱的研究通常分為兩部分，即靜力學(xué)分析和動力學(xué)分析，前者主要解決鉆柱的受力和形變問題，后者主要研究鉆柱的動態(tài)運(yùn)動[4]。運(yùn)動行為主要關(guān)注鉆柱與井壁的接觸行為，也就是鉆柱的振動問題，許多研究者在這方面開展了工作。Jansen[5]根據(jù)現(xiàn)場實(shí)際工況和實(shí)鉆數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：鉆柱的旋轉(zhuǎn)會造成井下管柱的劇烈橫向振動，基于這個現(xiàn)象，他將鉆柱簡化為兩端軸承約束的偏心轉(zhuǎn)子動力學(xué)問題，并考慮流體的影響，研究指出鉆柱存在前渦動和后渦動。并且當(dāng)耦合振動的頻率與鉆柱的自然頻率相近的時候，振幅最大，損害越大。Leine等[6]研究了鉆柱系統(tǒng)的不連續(xù)性產(chǎn)生的非線性不穩(wěn)定，并且運(yùn)用分叉理論解釋渦動的出現(xiàn)有助于黏滑振動的減弱。Melakhessou等[7]根據(jù)Jansen提出的非平衡質(zhì)量假設(shè)，建立了4自由度模型(徑向位移ρ，旋轉(zhuǎn)角θ，切向彎曲角φ，相對扭轉(zhuǎn)角β)，該模型可以表征接頭與井壁，鉆柱與井壁的彈性碰撞效應(yīng)，但是無法模擬滑動與滾動現(xiàn)象。Liao等[8]借助Melakhessou等研究成果，兼顧了動子與靜子傾斜因素，將模型拓展為5自由度的非線性動態(tài)運(yùn)動方程，同時改進(jìn)了接觸模型，它可以綜合反映黏滑、滑動和滾動等接觸行為。Khulief等[9]將鉆柱離散化為有限的桿單元，每個單元具有12個自由度，并綜合考慮陀螺回轉(zhuǎn)效應(yīng)、扭轉(zhuǎn)和彎曲耦合變形以及重力因素，借助拉格朗日方法和有限元方法建立系統(tǒng)的運(yùn)動控制方程，該方程證實(shí)可以基本表征垂直井中鉆柱的運(yùn)動狀態(tài)。毋庸置疑，鉆柱的運(yùn)動必然受鉆頭與地層相互作用的影響，Liu等[10-12]研究考慮鉆頭-地層互作用規(guī)律對鉆柱黏滑振動的影響，不同的是這些研究采用了不同的摩擦接觸模型，諸如速度平方模型，摩爾庫倫摩擦模型以及速度弱化摩擦模型，研究得出，鉆頭-地層的非線性接觸規(guī)律是鉆柱做不規(guī)則運(yùn)動的根源。國內(nèi)也有學(xué)者進(jìn)行特定條件下的相關(guān)實(shí)驗(yàn)和理論研究，韓春杰等[13]采用線性分析法，得出了大位移井鉆柱橫向振動和扭轉(zhuǎn)振動的頻譜方程；管志川等[14]開展了水平井中鉆柱非規(guī)則運(yùn)動狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)研究，指出鉆柱近似“8”字形翻滾擺動；李子豐等[15-16]一直專注管柱靜、動力學(xué)的研究，側(cè)重通過有限元的方法表征鉆柱的動力學(xué)行為。值得一提的是上述研究對于垂直井眼中鉆柱的運(yùn)動較為完善，然而由于重力、井眼軌道復(fù)雜化等因素，使得斜井或水平段中鉆柱運(yùn)動行為研究更加困難，隨著頁巖氣、非常規(guī)油氣資源開發(fā)比重增加，大位移井、水平井等逐漸成為主要的開發(fā)井型，鉆柱在井眼中的受力及運(yùn)動狀態(tài)頗為復(fù)雜，傳統(tǒng)垂直井眼鉆柱靜、動力學(xué)應(yīng)用局限性更加突出，自然而然，非直井中管柱的動力學(xué)問題也上升為主要研究難題。

本文基于拉格朗日方程建立了4自由度的非線性動態(tài)模型，探究鉆柱在非直井眼(斜井段或水平井段)中的動態(tài)運(yùn)動規(guī)律，綜合考慮了鉆柱的扭轉(zhuǎn)、彎曲變形因素以及鉆井液流體作用力的影響，并且完善了鉆柱與井壁的接觸模型，更為真實(shí)的模擬黏滑、滑動及純滾動等接觸行為。文中開展了不同井斜角條件下，鉆柱運(yùn)動規(guī)律的研究，細(xì)致分析了鉆柱運(yùn)動狀態(tài)及變化規(guī)律。該研究渴望為深刻認(rèn)識斜井中鉆柱井下工況提供有益幫助，同時為實(shí)施有效措施避免鉆柱磨穿和鍵槽卡給予理論指導(dǎo)。

1 模型建立

1.1 模型簡化

圖1為井眼中任意兩個扶正器之間的一段鉆柱，由于重力作用，遠(yuǎn)離扶正器的鉆柱將會貼著井壁躺在低邊，如此會導(dǎo)致鉆柱與井壁的接觸復(fù)雜化，在驅(qū)動扭矩的作用下，鉆柱可能的運(yùn)動過程由圖1顯示。為了確定鉆柱的真實(shí)運(yùn)動狀態(tài)，將該模型簡化為兩個空間獨(dú)立但是物理上不獨(dú)立的轉(zhuǎn)子，如圖2所示，α為井斜角，圖中定子代表扶正器處的鉆柱，由于扶正器與井壁間隙較小，為了研究的方便，假設(shè)定子滿眼，即定子不發(fā)生橫向位移；動子代表跨中位置處的鉆柱，由于鉆柱自身質(zhì)量的非均勻性加之流通泥漿的不穩(wěn)定性和附著隨鉆測量儀器，導(dǎo)致鉆柱質(zhì)量偏心，本文參考Jansen的研究，將該處的鉆柱考慮為帶偏心質(zhì)量的動子。靜子與動子之間通過物理關(guān)系表征鉆柱的扭轉(zhuǎn)、彎曲等變化。簡化模型中，靜子受外部驅(qū)動扭矩的作用，靜子和動子受井壁約束，即橫向位移不超過各自與井壁的間隙，同時忽略鉆柱的軸向位移。

圖1 水平段鉆柱形態(tài)Fig.1 The morphology of drill-string in horizontal section

圖2 鉆柱簡化模型Fig.2 The simplified model of drill-string

圖3 鉆柱運(yùn)動平面簡化示意圖Fig.3 The schematic diagram of drill-string movement

1.2 運(yùn)動控制方程建立

由上述簡化模型，應(yīng)用Language方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動控制方程，對于非保守系統(tǒng)而言，Language方程表達(dá)式為

(1)

式中，L=T-V為Language函數(shù)，T和V為系統(tǒng)的動能和勢能，對于本文而言

(2)

(3)

(4)

式中：λ為接觸判斷參數(shù)；Ft為切向接觸力；Ffx，F(xiàn)fy為流

體作用于動子的阻力；Mext為驅(qū)動扭矩。

(5)

式中，ct為旋轉(zhuǎn)阻力系數(shù)。

將式(2)～式(5)代入式(1)得系統(tǒng)的運(yùn)動控制方程組

(6)

(7)

(8)

(9)

上述二階非線性微分方程可以用矩陣表達(dá)成一般的振動方程的形式

(10)

式中：[M]，[C]和[K]分別為質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；{F}為外部激勵向量。

2 接觸模型

鉆柱的動態(tài)行為是受井眼約束的，其運(yùn)動范圍局限在鉆柱與井壁的間隙(δ)之間，也就是說鉆柱的徑向位移ρ不能超過δ。引入接觸判斷參數(shù)λ識別鉆柱與井壁是否發(fā)生接觸行為，當(dāng)ρ<δ時，表明二者沒有發(fā)生接觸，所以令λ=0；當(dāng)ρ≥δ時，表明二者存在接觸行為，接觸點(diǎn)的相對速度Vrelative可以用來判別接觸類型。當(dāng)Vrelative=0時，表明鉆柱與井壁沒有相對滑移，而表現(xiàn)為鉆柱沿井壁的純滾動，此時接觸的切向力可以通過力和力矩平衡導(dǎo)出式(17)；當(dāng)Vrelative≠0時，鉆柱與井壁接觸存在相對滑移，接觸切向力用庫倫摩擦定律表征，如圖4所示，具體計(jì)算公式為

δ=0.5(Db-d)

(11)

(12)

(13)

(14)

Ft max=-sgn (Vrelative)·μ·Fnorml

(15)

(16)

(17)

(18)

圖4 鉆柱與井壁接觸行為Fig.4 Contact behavior between drill-string and borehole

3 流體作用力

鉆柱內(nèi)外充滿了鉆井液，并且伴隨強(qiáng)烈的湍流特性，所以在一定程度上影響鉆柱的受力和運(yùn)動。文中鉆柱受鉆井液作用力參考Fritz[17]基于轉(zhuǎn)動的細(xì)長桿在窄間隙流體中的受力模型，表示為

(19)

(20)

式中：mf流體附加質(zhì)量力；Df為流體的摩擦因數(shù)。

4 數(shù)值計(jì)算與結(jié)果

利用本文建立的非線性動態(tài)模型開展數(shù)值計(jì)算研究，應(yīng)用4階龍格-庫塔數(shù)值計(jì)算方法求解方程，基本計(jì)算參數(shù)參考Liu等，具體見表1。本文開展了五種不同井斜角(90°，75°，45°，15°,0°)下鉆柱運(yùn)動規(guī)律分析研究，結(jié)果分析如下。

4.1 鉆柱運(yùn)動軌跡

圖5展示了不同井斜角下動子的運(yùn)動軌跡圖。 從圖中對比看出，井斜角對鉆柱的運(yùn)動有著重要影響，隨著井斜角的減小，鉆柱的重力分量也隨之減小，對鉆柱的運(yùn)動影響減弱，直至最終充分發(fā)展成為垂直井眼中滿眼的回旋運(yùn)動。圖5(a)為水平段(α=90°)鉆柱的運(yùn)動軌跡圖，水平井眼中鉆柱由于重力完全作用，時刻有傾向井眼低邊的趨勢，造成了鉆柱與井壁接觸面積增加，使得二者的接觸行為不僅表現(xiàn)為單純的彈性碰撞，而且夾雜了復(fù)雜的摩阻特征，在扭矩的驅(qū)使下，鉆柱運(yùn)動穩(wěn)定后體現(xiàn)為沿旋轉(zhuǎn)方向的30°(240°～270°)扇形區(qū)域活動，鉆柱隨摩擦扭矩的集聚-釋放，體現(xiàn)為局部的黏滑、翻滾運(yùn)動。不難發(fā)現(xiàn)，這種局部的摩擦翻滾運(yùn)動是引起鉆柱磨損和發(fā)生鍵槽卡鉆的主要原因。隨著井斜角的減小，鉆柱與井壁局部的黏滑減弱，滑動摩擦距離增長，翻滾幅度拓寬，直至發(fā)展成為垂直井眼中均勻隨機(jī)接觸碰撞，如圖5(b)～圖5(e)所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)值

4.2 運(yùn)動相圖對比分析

相圖可以真實(shí)反應(yīng)鉆柱的運(yùn)動狀態(tài)，本文選取了兩種不同井斜角下鉆柱運(yùn)動的相圖進(jìn)行分析。圖6(a)和圖6(b)代表井斜角α=90°，α=15°時鉆柱X方向的運(yùn)動相圖，從圖中發(fā)現(xiàn)，前者出現(xiàn)了明顯的“臺階”，表明鉆柱與井壁發(fā)生了隨機(jī)的彈性碰撞；后者曲線過渡平滑并且伴隨隨機(jī)“跳躍”，表明鉆柱在此發(fā)生了由沿井壁摩擦滑動的運(yùn)動到翻滾的過渡，這與Liao等在垂直井中研究的結(jié)果相似。圖6(c)(α=90°,Y-方向)表明鉆柱在井眼底邊做無規(guī)則的小幅黏滑翻滾運(yùn)動，圖中δy與鉆柱與井壁的間隙δ基本相等，足以證明鉆柱運(yùn)動穩(wěn)定后傾向井眼低邊。圖6(c)(α=15°,Y-方向)說明重力因素影響甚微，鉆柱的整個運(yùn)動趨于滿眼的回旋運(yùn)動。

4.3 旋轉(zhuǎn)響應(yīng)

為了刻畫鉆柱在驅(qū)動扭矩下不同部位的旋轉(zhuǎn)響應(yīng)，文中提取了不同井斜角條件下扶正器位置(靜子)和跨中位置(動子)處的旋轉(zhuǎn)角速度進(jìn)行對比分析，如圖7所示。從圖中可以得出，不同井斜角下靜子旋轉(zhuǎn)較平穩(wěn)，主要得益于扶正器的作用，使得鉆柱與井壁的間隙變小，導(dǎo)致碰撞、摩擦減少，即使發(fā)生接觸，幅度變化也甚小。相反，動子的旋轉(zhuǎn)速度受井壁影響頗大。當(dāng)在水平段中時，由于摩擦扭矩的集聚-釋放，動子旋轉(zhuǎn)速度波動幅度較大，而對于近垂直井眼中動子旋轉(zhuǎn)速度表現(xiàn)為低幅高頻變化的特性，這和傳統(tǒng)垂直井眼中隨鉆測量數(shù)據(jù)一致。

圖5 不同井斜角下鉆柱的運(yùn)動軌跡Fig.5 The trajectory of drill-string in different inclinations

圖7 不同位置鉆柱旋轉(zhuǎn)速度變化曲線Fig.7 Rotation speed of drill-string at different positon

5 結(jié) 論

本文針對現(xiàn)場實(shí)際面臨的問題并結(jié)合垂直井中鉆柱運(yùn)動的研究成果，應(yīng)用動力學(xué)普遍原理，建立了水平段或斜井段中鉆柱運(yùn)動的4自由度非線性動態(tài)模型，基于該模型開展了不同井斜角下鉆柱運(yùn)動特性的分析研究，研究結(jié)論如下：

(1)當(dāng)井斜角為90°時，由于摩阻扭矩較大，鉆柱將會沿著自身旋轉(zhuǎn)方向的約30°扇形域的井壁蠕動，并伴隨隨機(jī)的黏滑和翻滾。隨著井斜角的減小，局部的摩擦翻滾幅度增加并逐漸擴(kuò)展成為整個井眼內(nèi)的帶有隨機(jī)碰撞的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。

(2)井斜角越大，局部的摩擦翻滾運(yùn)動越顯著，容易引起鉆柱磨損和鉆桿磨穿，所以在井眼軌道設(shè)計(jì)時，如果設(shè)計(jì)允許，應(yīng)盡量不要增大井斜角。

(3)斜井段和水平段鉆柱運(yùn)動較垂直井段更為復(fù)雜，不單是考慮重力因素，更重的是由重力產(chǎn)生的復(fù)雜接觸行為，比如摩擦蠕動，摩擦翻滾而不僅僅是單純的彈性碰撞接觸。

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