穿衣服與脫衣服

趙廣樂 董亞平

摘要：現(xiàn)行《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書——數(shù)學(xué)1》中刪除了反函數(shù)的概念，一則是為了給學(xué)生減負(fù)，二則是因?yàn)楹瘮?shù)與反函數(shù)的關(guān)系難于理解。然而，反函數(shù)歷來是高校自主招生的熱點(diǎn)難點(diǎn)內(nèi)容，故有志于自主招生的優(yōu)秀高中生，有必要了解反函數(shù)是什么，有什么用。本文用日常的“穿衣服、脫衣服”，類比理解函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)推開了一扇新的窗戶。

關(guān)鍵詞：“穿衣服”；“脫衣服”；函數(shù)；反函數(shù)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711(2014)06-0156

我們?nèi)祟愐惶斓拈_始，始于睜眼穿衣。正常人類穿衣服是有順序的，必先穿內(nèi)衣，然后才能穿外衣。當(dāng)然，超人例外！

我們知道，函數(shù)可以看作來料加工的工廠，函數(shù)對(duì)原料的作用就是一系列的加工過程。同理，人類穿衣服可以看作是人類對(duì)自身的一個(gè)加工(裝扮)過程，亦可以視為函數(shù)！

我們用g來表示穿內(nèi)衣；用來表示穿外衣。冬日清晨，某位同學(xué)早早起床準(zhǔn)備去學(xué)校上學(xué)，此時(shí)，他應(yīng)該先穿內(nèi)衣，即得到g(x)，然后他需要穿好外衣才能抵御冬日的嚴(yán)寒，即得y=f [g(x)]，此時(shí)的y即裝備齊全，準(zhǔn)備出發(fā)的莘莘學(xué)子。傍晚，學(xué)習(xí)忙碌了一天的學(xué)子y回到家中，勢(shì)必要先脫去外衣，然后再開始晚復(fù)習(xí)。事實(shí)上，人類脫外衣的動(dòng)作勢(shì)必要與穿外衣的動(dòng)作相反，才能順利脫下外衣！穿外衣的動(dòng)作為函數(shù)f，那么脫外衣就是其反函數(shù)f -1。此時(shí)，脫去了外衣的學(xué)子可以開始復(fù)習(xí)了呢！深夜，該學(xué)生在入睡之前，要脫去內(nèi)衣f -1(y)，與以清晨起床相同的狀態(tài)入睡，脫內(nèi)衣就是穿內(nèi)衣的反函數(shù)，即g-1，此時(shí)，即得x=g-1[f -1(y)]。

通過上述描述，相信讀者朋友們對(duì)函數(shù)與反函數(shù)的相互關(guān)系已經(jīng)有了一個(gè)大致的了解，讓我們?cè)偻ㄟ^一個(gè)圖表來詳細(xì)詮釋函數(shù)與反函數(shù)的相互關(guān)系！

由上述圖表可知：復(fù)合函數(shù)y=f [g(x)]的反函數(shù)即為y=g-1[f -1(y)]。

我們以指數(shù)函數(shù)及其反函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)為例，詳細(xì)加以說明。

以指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞1)為原函數(shù)，如圖所示：

求其逆對(duì)應(yīng)，得其本意反函數(shù)x=logay，如圖所示：

我們習(xí)慣于使用x表示自變量，y表示函數(shù)值，故將其本意反函數(shù)(逆對(duì)應(yīng))x=logay中的x，y互換，得指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞1)的矯形反函數(shù)y=logax(a＞1)。

如圖所示：

綜上，即得圖示：

例1. y=f(2x-1)的反函數(shù)為()

A. y=f -1(2x-1)B. y=2f -1(x)-1

C. y=■D. y=■+1

解：y=f(2x-1)的逆加工過程為2x-1=f -1(y)，即得y=f(2x-1)的本意反函數(shù)為x=■，我們將其本意反函數(shù)中的x、y互換，即得y=f(2x-1)的矯形反函數(shù) y=■。即本題選C。

例2. f(x)=■，函數(shù)y=g(x)的圖象與y=f -1(x+1)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，則g(3)=。

解一：y= f(x)=■的逆加工過程即為x=f -1(y)=■(本意反函數(shù))，即y= f(x)=■的矯形反函數(shù)為y=f -1(x)=■，則f -1(x+1)=■。由y=g(x)的圖象與y=f -1(x+1)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，知y=g(x)為y=f -1(x+1)的反函數(shù)。由y=f -1(x+1)=■得逆加工過程x=■ g(x)=■g(3)=■。

解二：設(shè) g(3)=a (3，a )在的圖象上(a，3 )在y=f -1(x+1)的圖象上，即得(a+1，3 )在y=f -1(x)的圖象上，即f -1(a+1)=3a+1=f (3)=■a= ■。

上述兩種解法各有優(yōu)劣，解法一過程清晰，思路明了，弊端在于計(jì)算較為繁瑣；解法二小題小結(jié)，簡(jiǎn)潔明快，是解小題的不二選擇，但弊端在于無法清晰體現(xiàn)求反函數(shù)的過程。綜上：學(xué)習(xí)過程中，我們應(yīng)以學(xué)習(xí)解法一為主，考試答題我們應(yīng)以法二為上。

例3. α，β分別是方程log2x+x-3=0，2x+x-3=0的根，則α+β=

。

解：重要觀點(diǎn)：解方程即兩個(gè)函數(shù)求交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

例：解方程ax2+bx+c=0(a＞0)

函數(shù)y=log2x+x-3和y=2x+x-3=0的圖象我們是不會(huì)畫的，但不要緊，我們可以通過移項(xiàng)，將題目轉(zhuǎn)化成我們會(huì)畫的函數(shù)：log2x=-x+3和2x=-x+3，即α為y=log2x與y=-x+3交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；β為y=2x與y=-x+3交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。而事實(shí)上，y=2x與y=log2x互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對(duì)稱。如圖所示：

由圖即知：α+β=3

例4. y=■求函數(shù)的值域

解析：大多數(shù)數(shù)學(xué)參考書上，對(duì)于此類問題的求解皆采用分離系數(shù)法，事實(shí)上，利用反函數(shù)求此類函數(shù)的值域快捷而便利。cxy+dy=ax+b (cy-a)x=b-dy x=■，此時(shí)，我們已經(jīng)得到函數(shù)y=■的本意反函數(shù)x=■(其中cy-a≠0，即y≠■)，由反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域可知y=■，函數(shù)y=■的值域?yàn)閧yy≠■}。

函數(shù)的本質(zhì)是一對(duì)一或者多對(duì)一的映射。就反函數(shù)而言，中心詞是“函數(shù)”，換言之，反函數(shù)亦是函數(shù)，通俗些理解，不過是反過來的函數(shù)而已。注意到多對(duì)一的函數(shù)，反過來就是一對(duì)多，不再是函數(shù)，故我們說：一個(gè)函數(shù)若有反函數(shù)該函數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

例5. “函數(shù)存在反函數(shù)”是“函數(shù)單調(diào)”的條件。

解：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)必一一對(duì)應(yīng)，即函數(shù)單調(diào) 該函數(shù)一一對(duì)應(yīng)

該函數(shù)存在反函數(shù)。

但一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)，未必單調(diào)，如圖所示：

綜上：“函數(shù)存在反函數(shù)”是“函數(shù)單調(diào)”的必要不充分條件。

例6. 函數(shù)y=f(x)=kx+3，f [f(x)]=x，則k+3=

解析：函數(shù)與反函數(shù)互為逆加工過程。若視f為穿衣服的過程，那么f -1即為脫衣服的過程，則f -1[f(x)]=x，即給x穿衣，再脫去同一件衣服，相當(dāng)于x對(duì)沒有進(jìn)行加工。這也是反函數(shù)f -1記號(hào)使用的好處，其運(yùn)算可以仿照冪運(yùn)算：x2×x-2=x0=1，即f -1與f 可以互相抵消。這就好像正負(fù)電子相遇會(huì)發(fā)生湮滅一樣！

由f [f(x)]=x，即知f(x)=f -1(x)，即y=f(x)=kx+3的反函數(shù)亦為其本身，換言之，y=f(x)=kx+3的圖象即關(guān)于y=x對(duì)稱k=-1

k+3=2。

對(duì)于大多數(shù)高中學(xué)生而言，數(shù)學(xué)是枯燥無味的代名詞，是折磨人腦力的魔鬼，更有甚者，認(rèn)為數(shù)學(xué)純粹是無聊的數(shù)字游戲，對(duì)人生和未來毫無用處。

事實(shí)上，數(shù)學(xué)源于生活、高于生活、用于生活。我們的日常生活中處處可見數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)的思想方法亦來源于生活。各位對(duì)數(shù)學(xué)心懷厭惡的讀者、各位還在為數(shù)學(xué)成績(jī)苦苦掙扎的學(xué)子，只要我們勤思善想、勤于觀察、勤于思考，數(shù)學(xué)并非遙不可及。數(shù)學(xué)就在你我身邊！

參考文獻(xiàn)：

[1] 熊斌,陳雙雙.高中數(shù)學(xué)解題高手[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，2010.

[2] 韓旭．?dāng)?shù)學(xué)那玩意——自主招生秘籍[M]．杭州：浙江大學(xué)出版社，2011.

(作者單位：內(nèi)蒙古包頭市第一中學(xué)014040)